专题3 提升点6 立体几何中的截面及动态问题 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

专题强化训练 [A　基本技能] 1．过一个圆锥的侧面一点(不是母线的端点)作圆锥的截面，则截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分中的(　　) A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①②④ 解析：选A．根据截面与圆锥的位置关系所得的图形，如图所示， 故截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分． 2．如图，A是平面α内一定点，B是平面α外一定点，且AB＝4，直线AB与平面α所成的角为45°，设平面α内动点M到点A，B的距离相等，则线段AM的长度的最小值为(　　) A．4 B．2 C．2 D． 解析：选A．过点B作BB′⊥平面α，垂足为B′，连接AB′(图略)，则直线AB与平面α所成的角为∠BAB′＝45°，所以△BAB′为等腰直角三角形，B′A＝B′B＝4.在平面α内过点B′作AB′的垂线l(图略)，则点M在直线l上，且AM＝≥AB′＝4，当且仅当点M与点B′重合时，等号成立． 3．已知过BD1的平面与正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1分别交于点M，N，则下列关于截面BMD1N的说法中，不正确的是(　　) A．截面BMD1N可能是矩形 B．截面BMD1N可能是菱形 C．截面BMD1N可能是梯形 D．截面BMD1N不可能是正方形 解析：选C．如图1，当点M，N分别与顶点重合时，显然截面BMD1N是矩形；如图2，当M，N分别为棱AA1，CC1的中点时，显然截面BMD1N是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知截面BMD1N不可能为正方形；根据对称性，其他情况下截面BMD1N为平行四边形． 4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点P在正方形BCC1B1内(含边界)，且点P到点A的距离为，点P的轨迹是一条曲线，那么这条曲线的形状是(　　) 解析：选B．如图所示，连接PB，PA，因为AB⊥平面BCC1B1，PB⊂平面BCC1B1，所以AB⊥PB．在Rt△APB中，PA＝＝＝，解得BP＝.因为<1，所以点P是正方形BCC1B1内(含边界)到点B的距离等于的动点，其轨迹就是圆心为B，半径r＝的圆在正方形BCC1B1内(含边界)的部分． 5．(2025·长沙一模)如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且AP＝2，则点P的轨迹的长度为(　　) A．π B．π C．π D．π 解析：选D． 由于AP＝2＞＝4，因此P在半球面形成的轨迹为圆周． 如图，记圆柱上底面圆心为M，点P的轨迹所在圆的圆心为N，则A，M，N共线，AN⊥PN， 则AM＝＝2，设PN＝r，MN＝d， 在△ANP和△MNP中， 由勾股定理得 解得 于是点P的轨迹的长度为2πr＝π. 6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是(　　) A． B． C． D． 解析：选D． 如图，连接D1A，AC，D1C，因为E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，所以AC∥EF，又EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以EF∥平面ACD1，同理可得EG∥平面ACD1，又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，所以平面ACD1∥平面EFG. 因为直线D1P∥平面EFG， 所以点P在直线AC上． 在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2， 所以S△ACD1＝××＝. 当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，所以线段D1P长度的最小值是＝＝. 7．(2025·台州一模)已知球O的半径为3，P是球O表面上的定点，S是球O表面上的动点，且满足(2＋)·＝0，则线段OS轨迹的面积为(　　) A．3π B．3π C．6π D．6π 解析：选C．如图，以球O的球心为坐标原点，OP所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 因为球O的半径为3，则P(3，0，0)，O(0，0，0)， 设S(x，y，z)， 则＝(－x，－y，－z)，＝(3－x，－y，－z)， 所以2＋＝(3－3x，－3y，－3z)， 又＝(3，0，0)，(2＋)·＝0， 则3(3－3x)＝0，解得x＝1. 在线段OP上取点H，使OH＝1，所以线段OS的轨迹为圆锥OH的侧面， 又OS＝3，则SH＝＝2，所以圆锥OH的侧面积为S＝πSH·OS＝6π， 所以线段OS轨迹的面积为6π. 8．(2025·金华一模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，P为正方体内部一动点，球O为正方体内切球，过点P作直线与球O交于M，N两点，若△OMN面积的最大值为4，则满足条件的点P形成的几何体体积为(　　) A． B．π C．128－ D．128－ 解析：选D．因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，则正方体内切球球O的半径R＝×4＝2，所以S△OMN＝OM·ON·sin ∠MON＝×2×2×sin ∠MON＝4sin ∠MON，因为∠MON∈(0，π)，则(sin ∠MON)max＝1， 若△OMN面积的最大值为4，则OM⊥ON，由于点P在MN上，则OP≥R＝×2＝2，则满足条件的点P形成的几何体为正方体去掉以O为球心，2为半径的球体，故其体积为(4)3－×23＝128－. 9．(多选)如图，一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆柱底面圆半径为r，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ(0<θ<)，则下列对椭圆E的描述中，正确的是(　　) A．短轴长为2r B．离心率为cos θ C．焦距为2r tan θ D．面积为 解析：选ACD．由题意知，椭圆短轴长2b＝2r，长轴长2a＝，所以c＝＝r tan θ， 故e＝＝sin θ，焦距2c＝2r tan θ， 由椭圆在底面射影即为底面圆，则cos θ等于圆的面积与椭圆面积的比值，所以椭圆面积为.综上，A，C，D正确，B错误． 10．(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，H分别是AB，BC，AA1，CC1的中点，用一个平面α截该正方体，截面面积为S，则下列结论正确的是(　　) A．若α经过点B，A1，C1，则S＝ B．若α经过点B，G，H，则S＝ C．若α经过点E，F，G，则α经过点D1 D．若α经过点E，F，D1，则α经过AA1的一个三等分点 解析：选ABD．对于A，如图1，若α经过点B，A1，C1，则截面为等边三角形A1BC1，面积为×××sin ＝，A正确； 　　 对于B，如图2，若α经过点B，G，H，则截面为菱形BHD1G， BD1＝，GH＝AC＝， 所以菱形BHD1G的面积为××＝，B正确； 对于C，如图3，若α经过点E，F，G，设I，J分别是C1D1，A1D1的中点，则截面为正六边形GEFHIJ，不经过点D1，C错误； 　　 对于D，如图4，延长EF，交DA的延长线于M，交DC的延长线于Q，连接D1M，交AA1于N，连接D1Q，交CC1于P，连接EN，FP，则截面为五边形EFPD1N， 由于E是AB的中点，F是BC的中点， 所以AE＝BE，则AM＝BF＝BC， 所以＝＝， 所以N是AA1的三等分点，D正确． 11．(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AB，AD的中点，点P在正方形A1B1C1D1内部(含边界)运动，则下列结论正确的是(　　) A．若PB1∥MN，则动点P的轨迹是一条直线 B．若PN⊥MN，则动点P的轨迹长度为 C．若·＝，则动点P的轨迹长度为 D．若△AC1P的面积为，则动点P的轨迹为椭圆的一部分 解析：选BCD． 如图，以D为坐标原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，C1(0，1，1)，N(，0，0)，M(1，，0)，B1(1，1，1). 因为点P位于正方形A1B1C1D1内(含边界)，故可设P(x，y，1)(其中0≤x≤1，0≤y≤1). 对于A，＝(，，0)，＝(1－x，1－y，0)，由已知PB1∥MN，可得∥，所以＝，整理得x＝y.连接B1D1，因为点P在正方形A1B1C1D1内部(含边界)运动，所以点P的轨迹是线段B1D1，A不正确；对于B，＝(x－，y，1)，若PN⊥MN，则·＝0，所以(x－，y，1)·(，，0)＝(x－)＋y＝0，即x－＋y＝0，又0≤x≤1，0≤y≤1，所以点P的轨迹长度为，B正确；对于C，＝(x－1，y－，1)，＝(x－，y，1)，·＝(x－1)(x－)＋(y－)y＋1＝，整理得(x－)2＋(y－)2＝，故点P的轨迹是以(，，1)为圆心，为半径的圆，其轨迹长度为l＝2π×＝，C正确；易知AC1＝，设P到AC1的距离为h，则×AC1×h＝，解得h＝1， 所以点P位于以AC1为旋转轴，1为半径的圆柱侧面上，如图所示．因为P在正方形A1B1C1D1内部(含边界)，所以P位于正方形A1B1C1D1与圆柱侧面的交线上，根据圆柱侧面与平面的位置关系，可得P的轨迹为椭圆的一部分，D正确． 12．如图，已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝2，且点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点．过点A，E，F作三棱柱截面交C1B1于点P，则线段B1P的长度为________． 解析：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝2，又因为点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，可得AF＝AE＝. 如图所示，延长AF交CC1的延长线于M点， 连接ME交B1C1于点P，连接FP，则四边形AFPE为截面，过点E作BC的平行线交CC1于N，因为△AA1F≌△MC1F，所以MC1＝2，又△MPC1∽△MEN，所以＝＝，所以PC1＝，则B1P＝2－＝. 答案： 13．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为________． 解析：由题意得△ACD1是边长为的正三角形，且球O与以点D为公共点的三个面的切点恰为△ACD1三边的中点， 故所求截面的面积是该正三角形ACD1的内切圆的面积，截面如图所示，△ACD1内切圆的半径是×tan 30°＝，则所求的截面圆的面积是π×()2＝. 答案： 14．在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，点P在正方形DCC1D1(包括边界)上运动，且满足∠APD＝∠MPC，则点P的轨迹长度为________． 解析：如图1，在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，MC⊥平面DCC1D1，又PD，PC⊂平面DCC1D1，所以AD⊥PD，MC⊥CP.又∠APD＝∠MPC，所以Rt△ADP∽Rt△MCP，所以＝＝2，即PD＝2PC． 　　 如图2，在平面DCC1D1中，以D为原点，DC，DD1所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则D(0，0)，C(6，0)，设P(x，y)(0≤x≤6，0≤y≤6).由PD＝2PC，知＝2，整理得(x－8)2＋y2＝16，0≤x≤6，圆心(8，0)，半径r＝4，所以点P的轨迹为圆(x－8)2＋y2＝16与四边形DCC1D1的交线，即为图2中的.其中CM＝2，FM＝4，则∠FMC＝.由弧长公式知的长度为×4＝. 答案： [B　综合运用] 15．(2025·昆明一模)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝2AB＝2BC＝2. (1)证明：平面PAC⊥平面PCD；　 (2)若PA＝2，动点M在△PAD内(含边界)且MB2＋MD2＝5. ①求动点M的轨迹的长度； ②设直线CM与平面PBD所成角为θ，求sin θ的取值范围． 解：(1)证明：由AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝1可知， △ABC为等腰直角三角形，AC＝，∠BAC＝∠CAD＝， 又因为AD＝2，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos ＝2， 所以AD2＝AC2＋CD2，则AC⊥CD． 因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD， 又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以CD⊥平面PAC，又因为CD⊂平面PCD， 所以平面PAC⊥平面PCD． (2)①依题意，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，设M的坐标为(0，y，z)， 由MB2＋MD2＝1＋y2＋z2＋(y－2)2＋z2＝5， 化简得y2－2y＋z2＝0，即(y－1)2＋z2＝1. 取线段PD的中点N(0，1，1)， 则动点M的轨迹是以线段AD的中点为圆心，1为半径的，故其长度为. ②方法一：设AD的中点为O，∠MOD＝α，≤α≤π，由①可设M(0，1＋cos α，sin α)，C(1，1，0)， 则＝(－1，0，2)，＝(－1，2，0)，＝(－1，cos α，sin α). 设平面PBD的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则即 令x1＝2，则n＝(2，1，1)， 则sin θ＝|cos 〈，n〉| ＝ ＝＝. 因为≤α≤π，所以≤α＋≤， 所以－≤sin (α＋)≤， 所以≤－sin (α＋)≤， 所以≤sin θ≤，综上所述，sin θ∈[，]. 方法二：由①知M(0，y，z)，且(y－1)2＋z2＝1，C(1，1，0)，则＝(－1，y－1，z)，又由方法一知平面PBD的一个法向量为n＝(2，1，1)，所以sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝，令y＋z－3＝t，因为点M的轨迹是以(0，1，0)为圆心，半径为1的圆弧在△PAD内部(含边界)的部分，在平面yAz中，直线y＋z－3＝t与点M的轨迹总有公共点，由图可知，0≤t＋3≤2，所以－3≤t≤－1，即|y＋z－3|∈[1，3]，所以sin θ∈[，]. 学科网（北京）股份有限公司 $