专题3 提升点6 立体几何中的截面及动态问题-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

提升点6 立体几何中的截面及动态问题 类型一 截面问题 “截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解. 角度1 截面形状的判断 ［例1］ 如图，在正方体中，点，分别是棱，的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面图形为（ ） A. 矩形 B. 三角形 C. 正方形 D. 等腰梯形 【答案】D 【解析】如图，取 的中点，连接，，，， 由题意得，， 又 平面， 平面， 所以 平面， 同理 平面， 又，， 平面， 所以平面 平面，故过线段 且与平面 平行的截面图形为四边形，显然为等腰梯形. 首先根据条件作出相应的截面图形，再结合线面位置关系的判定与性质加以分析，得到截面图形所满足的特征性质，确定其形状. ［对点训练］．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.其空间结构体如图所示， 易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D； 等腰三角形的底边是正三棱锥的一条侧棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B； 截面所得等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C. 角度2 截面图形面积或周长的计算 ［例2］ 已知正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点，则过点的平面截该三棱柱外接球所得截面面积的取值范围为______________________. 【答案】 ， 【解析】正三棱柱 的外接球的球心 为上、下底面的外接圆圆心的连线 的中点，如图所示，连接，，，设外接球的半径为，下底面外接圆的半径为,,则. ①当过点 的平面过球心时，截得的截面圆最大，截面圆的半径即为球的半径，所以截面圆的面积最大为； ②当过点 的平面垂直 时，截得的截面圆的面积最小，截面圆的半径为1， 所以截面圆的面积最小为 . 综上，截面面积的取值范围为 ，. （1）求截面图形的面积的前提是确定截面的形状，转化为平面图形求解. （2）求截面周长的关键步骤： ①确定截面的形状； ②找出截面图形的边与立体图形棱线的关系； ③根据立体图形中的已知条件，利用勾股定理、余弦定理等计算截面图形的边长； ④求和得出周长. ［对点训练］．如图，在棱长为2的正方体中，点是棱上的动点，过，，三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为的两部分，则该截面的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D. 如图所示，过点 作，交 于点，连接，则四边形 就是过点，，的正方体的截面，且. 设, 则台体 的体积，解得（负值已舍去），此时，. 又，所以截面的周长为. 类型二 动态问题 “动态”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何问题更趋向多元化. 角度1 定性研究动点的轨迹 ［例3］ （多选）如图所示，正方体的棱长为4，为的中点，为平面上一动点，则下列命题正确的是（ ） A. 若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆 B. 若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 C. 若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线 D. 若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线 【答案】ACD 【解析】如图所示，对于A，根据正方体的性质可知， 平面，所以 为 与平面 所成的角，所以， 所以，所以点 的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆，故A正确； 对于B，在 中， ， 取 的中点，连接， 因为 为 的中点，所以， 且， 因为，所以，即点 在过点 且与 垂直的平面内， 又，所以点 的轨迹为以 为圆心，为半径的圆， 其面积为 ，故B错误； 对于C，连接，因为 平面， 平面，所以， 所以点 到直线 的距离为， 所以点 到点B的距离等于点 到定直线 的距离，又点B不在直线 上，所以点 的轨迹为以B为焦点，为准线的抛物线，故C正确； 对于D，以D为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设， 则，， 因为 与 所成的角为， 所以,， 所以，整理得, 所以点 的轨迹为双曲线，故D正确. 解立体几何中与动点轨迹有关问题的关键还是利用线面的平行、垂直关系，在此类问题中要么容易看出动点符合什么样的轨迹（定义），要么通过计算（建系）求出具体的轨迹表达式. ［对点训练］． 1．如图，斜线段与平面 所成的角为 ，为斜足，平面 上的动点满足 ，则点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 双曲线的一支 2．已知正方体的棱长为1，动点在正方体的侧面上，且点到点的距离为，点的轨迹是一条曲线，那么这条曲线的形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】1．C 2．B 【解析】 1．选C.由题可知，当 点运动时，在空间中，满足条件的 绕 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成 角的平面截圆锥，所得图形为椭圆. 2．选B.如图所示，连接，，因为 平面， 平面,所以.在 中，，解得.所以点 是正方形 内（含边界）到点B的距离等于 的动点，其轨迹就是圆心为B，半径 的圆在正方形 内（含边界）的部分.动点 到B的距离为常数. 角度2 定量研究动点的轨迹 ［例4］ （1） 已知正三棱锥的六条棱长均为6，是及其内部的点构成的集合.设集合，则集合表示的区域的面积为（ ） A. B. C. D. （2） [2024·潍坊模拟]如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】（1） B （2） B 【解析】 （1） 设 为 的中心，连接,（图略），在正三角形 中，，在 中，，当 时，连接（图略），根据勾股定理可得，易知 的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆，由于集合，故集合 表示的区域的面积为 . （2） 方法一：以D为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为1，所以，，，，，所以，，.因为点 在截面 上，所以设，所以,所以.因为，所以，即，所以点 在线段 上，则点 的轨迹长度是.方法二：如图2所示，连接，，，则，，又,， 平面，所以 平面，又 平面，所以，同理可得，又，， 平面，所以 平面.因为，所以 平面，又 截面，所以点 在平面 与截面 的相交线段上，即点 的轨迹为线段，又，所以点 的轨迹长度为. 当涉及动点轨迹的长度、图形的面积和图形的体积以及体积的最值时，一般要用未知变量表示轨迹，然后借助于函数的性质求解. ［对点训练］．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别是棱,,的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是________. 【答案】 【解析】因为,所以点 在平面 上. 如图所示，分别取，,的中点，，，连接,,,,， 则点 的轨迹是正六边形. 因为正方体 的棱长为2， 所以正六边形 的边长为， 所以点 的轨迹围成图形的面积. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $