09-专题3 提升点6 立体几何中的截面及动态问题-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何中的截面及动态问题，依据高考评价体系梳理了截面形状判断、面积周长计算、动态轨迹定性与定量研究等核心考点，通过真题分析明确截面问题（如正方体截面）、轨迹问题（如三棱锥动点轨迹）等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“题型突破+素养融合”策略，如例1用线面平行性质判断截面形状培养空间观念，例4通过坐标法推导轨迹方程发展推理能力。设解题技法总结与对点训练，助学生掌握作图、建系等技巧，教师可精准教学，提升高考冲刺效率。

提升点6 立体几何中的 截面及动态问题 1 类型一 截面问题 “截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗 透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、 交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求解， 二是利用空间向量的坐标运算求解. 二 轮 专 题 复 习 2 角度1 截面形状的判断 ［例1］ 如图，在正方体中，点， 分别是棱，的中点，点是棱 的中点，则过 线段且平行于平面 的截面图形为( ) D A.矩形 B.三角形 C.正方形 D.等腰梯形 二 轮 专 题 复 习 3 【解析】 如图，取的中点，连接，，， ， 由题意得， ， 又 平面， 平面 ， 所以平面 ， 同理平面 ， 又，， 平面 ， 所以平面平面，故过线段且与平面 平行的截面图 形为四边形 ，显然为等腰梯形. 二 轮 专 题 复 习 4 首先根据条件作出相应的截面图形，再结合线面位置关系的判定与性质加 以分析，得到截面图形所满足的特征性质，确定其形状. 二 轮 专 题 复 习 ［对点训练］ 一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球 与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一 个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图 形中的( ) C A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 6 解析：选C.其空间结构体如图所示， 易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D； 等腰三角形的底边是正三棱锥的一条侧棱， 这条棱不可能与内切球有交点， 所以排除B； 截面所得等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切 球在两个面上的切点，所以正确答案是C. 二 轮 专 题 复 习 7 角度2 截面图形面积或周长的计算 ［例2］ 已知正三棱柱的各棱长均为2，为棱 的中点， 则过点 的平面截该三棱柱外接球所得截面面积的取值范围为_________. ， 二 轮 专 题 复 习 8 【解析】 正三棱柱的外接球的球心 为上、下 底面的外接圆圆心的连线 的中点，如图所示，连接 ，，，设外接球的半径为 ，下底面外接圆的半 径为,,则 . 二 轮 专 题 复 习 9 ①当过点 的平面过球心时，截得的截面圆最大，截面圆的半径即为球的 半径，所以截面圆的面积最大为 ； ②当过点的平面垂直 时，截得的截面圆的面积最小，截面圆的半径为 1， 所以截面圆的面积最小为 . 综上，截面面积的取值范围为 ， . 二 轮 专 题 复 习 10 （1）求截面图形的面积的前提是确定截面的形状，转化为平面图形求解. （2）求截面周长的关键步骤： ①确定截面的形状； ②找出截面图形的边与立体图形棱线的关系； ③根据立体图形中的已知条件，利用勾股定理、余弦定理等计算截面图形 的边长； ④求和得出周长. 二 轮 专 题 复 习 11 ［对点训练］ 如图，在棱长为2的正方体 中，点是棱上的动点，过 ， ， 三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之 比为 的两部分，则该截面的周长为( ) D A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 12 解析： 选D. 如图所示，过点作，交于点，连接 ， 则四边形就是过点，， 的正方体的截面，且 . 设 , 则台体的体积 ， 解得（负值已舍去），此时， . 又，所以截面的周长为 . 二 轮 专 题 复 习 13 类型二 动态问题 “动态”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一 些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更 新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何问题更趋向多元化. 二 轮 专 题 复 习 14 角度1 定性研究动点的轨迹 ［例3］ （多选）如图所示，正方体 的 棱长为4，为的中点，为平面 上一动点，则 下列命题正确的是( ) ACD A.若与平面所成的角为，则点 的轨迹为圆 B.若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 C.若点到直线与直线的距离相等，则点 的轨迹为抛物线 D.若与所成的角为，则点 的轨迹为双曲线 二 轮 专 题 复 习 15 【解析】 如图所示，对于A，根据正方体的性质可知， 平面 ， 所以为与平面所成的角，所以 ， 二 轮 专 题 复 习 16 所以，所以点 的轨迹为以D为圆心，2为 半径的圆，故A正确； 对于B，在 中， ， 取的中点，连接 ， 因为为的中点，所以 ， 且 ， 因为，所以，即点在过点且与 垂直的平面内， 二 轮 专 题 复 习 17 又，所以点的轨迹为以为圆心， 为半径的圆， 其面积为 ，故B错误； 对于C，连接，因为 平面， 平面 ，所以 ， 所以点到直线的距离为 ， 所以点到点B的距离等于点到定直线的距离，又点B不在直线 上， 所以点的轨迹为以B为焦点， 为准线的抛物线，故C正确； 对于D，以D为原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴建立 空间直角坐标系， 二 轮 专 题 复 习 则，， ， 设 ， 则， ， 因为与所成的角为 ， 所以, ， 所以，整理得 , 所以点 的轨迹为双曲线，故D正确. 二 轮 专 题 复 习 解立体几何中与动点轨迹有关问题的关键还是利用线面的平行、垂直关系， 在此类问题中要么容易看出动点符合什么样的轨迹（定义），要么通过计 算（建系）求出具体的轨迹表达式. 二 轮 专 题 复 习 20 ［对点训练］ 1.如图，斜线段与平面 所成的角为 ， 为斜足， 平面 上的动点满足 ，则点 的轨迹是( ) C A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线的一支 解析：选C.由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的绕 旋 转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成 角的平面截圆锥，所得图形为椭圆. 二 轮 专 题 复 习 21 2.已知正方体的棱长为1，动点 在正方体的侧面 上，且点到点的距离为，点 的轨迹是一条曲线，那么这 条曲线的形状是( ) B A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 22 解析：选B.如图所示，连接，， 因为 平面， 平面,所以.在 中， ， 解得.所以点 是正方形 内（含边界）到点B的距离等于 的动点，其轨迹就是圆心为B， 半径的圆在正方形内（含边界）的部分.动点 到B的距离为 常数 . 二 轮 专 题 复 习 23 角度2 定量研究动点的轨迹 ［例4］ （1）已知正三棱锥的六条棱长均为6，是 及其 内部的点构成的集合.设集合，则集合 表示的区域的 面积为( ) B A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 24 【解析】 设为的中心，连接,（图略），在正三角形 中，，在 中， ，当时，连接 （图略）， 根据勾股定理可得，易知的轨迹是以 为圆心， 半径为1的圆，由于集合，故集合 表示的区域的面积 为 . 二 轮 专 题 复 习 （2）（2024·潍坊模拟）如图所示，在棱长为1的正方体 中，点为截面 上的动点，若 ，则点 的轨迹长度是( ) B A. B. C. D.1 二 轮 专 题 复 习 26 【解析】 方法一：以D为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系， 二 轮 专 题 复 习 27 因为正方体棱长为1，所以，，， ， ，所以，， . 因为点在截面 上，所以设 ，所以 , 所以.因为 ，所以 ，即，所以点 在线段 上，则点的轨迹长度是 . 二 轮 专 题 复 习 28 方法二：如图2所示， 连接，，，则，， 又, ， 平面，所以 平面， 又 平面 ，所以 ，同理可得，又，， 平面 ，所以 平面.因为，所以 平面 ， 又 截面，所以点在平面与截面 的相交线段上，即 点的轨迹为线段，又，所以点的轨迹长度为 . 二 轮 专 题 复 习 29 当涉及动点轨迹的长度、图形的面积和图形的体积以及体积的最值时，一 般要用未知变量表示轨迹，然后借助于函数的性质求解. 二 轮 专 题 复 习 ［对点训练］ 如图，已知正方体 的棱长为2，，，分别是棱,, 的中点， 设 是该正方体表面上的一点，若 ，则点 的轨迹围成图形 的面积是_____. 二 轮 专 题 复 习 31 解析：因为,所以点在平面 上. 如图所示，分别取，,的中点，，， 连接,,, , ， 则点的轨迹是正六边形 . 因为正方体 的棱长为2， 所以正六边形的边长为 ， 所以点的轨迹围成图形的面积 . 二 轮 专 题 复 习 32 $