专题2 第3讲 数列的求和-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

第3讲　数列的求和 [考情分析]　高考对数列求和的考查主要以解答题的形式呈现；考查等差、等比数列的判定，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中等偏下． 考点一　分组求和与并项求和 　已知正项数列{an}满足a1＝1，a－a＝8n.　 (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＝sin (an)＋2an，求{cn}的前2n项和S2n. 【解】　(1)由a－a＝8n，得当n≥2时， a＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＋a ＝8(n－1)＋8(n－2)＋…＋8×1＋1 ＝8[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝8×＋1＝(2n－1)2， 因为an>0，故an＝2n－1. 当n＝1时，a1＝1符合an＝2n－1， 所以an＝2n－1. (2)因为cn＝sin [(2n－1)]＋22n-1＝sin (nπ－)＋22n-1， 所以S2n＝[sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin (2nπ－)]＋(21＋23＋25＋…＋24n-1)＝(1－1＋1－1＋…＋1－1)＋＝. 【解题技法】　(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和． (2)若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和或并项求和． 　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)bn＝(－1)n(an＋n－1)，求数列{bn}的前2n项和S2n. 解：(1)因为an＋1＝an＋2n，即an＋1－an＝2n，所以当n≥2时，an－an－1＝2(n－1)，an－1－an－2＝2(n－2)，…，a2－a1＝2， 累加得an－a1＝＝n2－n， 又a1＝1，所以an＝n2－n＋1(n≥2)， 经检验当n＝1时，a1＝1也符合上式， 所以an＝n2－n＋1. (2)因为bn＝(－1)n(an＋n－1)， 所以bn＝(－1)n(n2－n＋1＋n－1)＝(－1)nn2， 所以S2n＝－12＋22－32＋42－…－(2n－1)2＋(2n)2 ＝22－12＋42－32＋…＋(2n)2－(2n－1)2 ＝(2＋1)(2－1)＋(4＋3)(4－3)＋…＋[2n－(2n－1)](2n＋2n－1) ＝1＋2＋3＋4＋…＋2n－1＋2n＝＝2n2＋n. 考点二　错位相减法求和 　(2025·全国一卷)已知数列{an}中，a1＝3，＝＋. (1)证明：数列{nan}是等差数列； (2)给定正整数m，设函数f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f′(－2). 【解】　(1)证明：因为a1＝3，＝＋， 所以(n＋1)an＋1＝nan＋1，即(n＋1)an＋1－nan＝1，又1×a1＝3， 所以数列{nan}是以3为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)得nan＝3＋1×(n－1)，即an＝1＋，故f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm＝3x＋2x2＋…＋(1＋)xm，f′(x)＝3＋4x＋…＋(m＋2)xm-1， 所以xf′(x)＝3x＋4x2＋…＋(m＋2)xm， 当x≠1时，两式相减得，(1－x)f′(x)＝3＋x＋x2＋…＋xm-1－(m＋2)xm＝3＋－(m＋2)xm， 所以f′(x)＝＋－， 所以f′(－2)＝＋－ ＝1－－－ ＝－. 【解题技法】　运用错位相减法求和的关键 判断模型 判断数列{an}，{bn}是不是一个为等差数列，一个为等比数列 错开位置 为两式相减不会看错列做准备 相减 相减时一定要注意最后一项的符号 　(2025·合肥质量检测)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝3，a2＋a4＝2b2，a1a3＝b3. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列的前n项和． 解：(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q， 则 即 因为q≠0，所以d＝q＝3， 所以an＝3n，bn＝3n. (2)由(1)知，＝， 令Sn＝＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋， 则Sn＝＋＋＋…＋， 两式相减得，Sn＝1＋＋＋＋…＋－＝－＝(1－)－， 所以Sn＝－，即数列的前n项和为－. 考点三　裂项相消法求和 　(2025·定州一模)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝3，an＋1＝＋3. (1)证明：数列{an}为等差数列； (2)求数列的前n项和Tn. 【解】　(1)证明：因为an＋1＝＋3，所以nan＋1＝2Sn＋3n，当n≥2时，(n－1)an＝2Sn－1＋3(n－1)， 两式相减得nan＋1－(n＋1)an＝3，① 则(n＋1)an＋2－(n＋2)an＋1＝3，② ②－①得(n＋1)an＋2＋(n＋1)an＝(2n＋2)an＋1，所以an＋2＋an＝2an＋1(n≥2). 因为nan＋1＝2Sn＋3n，又a1＝3，所以当n＝1时，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9； 当n＝2时，2a3＝2S2＋6＝24＋6＝30，则a3＝15，所以a1＋a3＝2a2，满足an＋2＋an＝2an＋1， 所以当n∈N*时，an＋2＋an＝2an＋1，故数列{an}为等差数列． (2)由(1)可知数列{an}是首项为3，公差为6的等差数列， 所以an＝3＋6(n－1)＝6n－3，Sn＝＝3n2， 则＝·＝[－]， 所以Tn＝[1－＋－＋－＋…＋－]＝[1－]＝. 【解题技法】　裂项相消法求数列前n项和的基本步骤 注意　消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 　(2025·广东一模)已知等差数列{an}满足an，an＋1是关于x的方程x2－4nx＋bn＝0的两个根． (1)求a1； (2)求数列的前n项和Sn. 解：(1)根据题意，由根与系数的关系可得an＋an＋1＝4n，an·an＋1＝bn，因为数列{an}是等差数列，设公差为d， 所以a1＋(n－1)d＋a1＋nd＝4n，即2dn＋2a1－d＝4n， 则解得所以a1＝1. (2)由(1)知，{an}是首项为1，公差为2的等差数列，则an＝2n－1， 所以bn＝an·an＋1＝(2n－1)(2n＋1)，所以(－1)n·＝(－1)n·＝(－1)n(＋)， 所以Sn＝－(1＋)＋(＋)－(＋)＋…＋(－1)n·(＋)＝－1＋(－1)n. 学科网（北京）股份有限公司 $