专题2 第2讲 数列的通项公式-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

第2讲　数列的通项公式 [考情分析]　求数列的通项公式是高考的重点内容，对于等差、等比数列的通项公式可直接利用公式求解，但也有些数列以递推关系给出，需要通过构造转化为等差或等比数列再求解，体现了化归与转化思想在数列中的应用．题型既有选择、填空题，也有解答题，难度中等． 技法一　累加、累乘法 　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝________． (2)已知数列{an}满足a1＝1，(n－1)an＝n·2nan－1(n∈N*，n≥2)，则数列{an}的通项公式为________________． 【解析】　(1)由题可知an≠0， 因为an－an＋1＝nanan＋1， 所以＝－＝n， 则＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋＝(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1＋1＝＋1＝(n≥2)，所以an＝(n≥2)， 又a1＝1也满足上式， 所以an＝. (2)当n≥2时，有(n－1)an＝n·2nan－1，故＝·2n，则有＝·2n-1，＝·2n-2，…，＝×22.上述n－1个式子累乘，得＝(·2n)·(·2n-1)·(·2n-2)·…·(×22)＝n·2n＋(n-1)＋(n-2)＋…+2＝n·2. 因为a1＝1，所以an＝n·2(n≥2)，而当n＝1时，a1＝1×20＝1，也满足上式，故数列{an}的通项公式为an＝n·2. 【答案】　(1)　(2)an＝n·2 【解题技法】　(1)an－an－1＝f(n)型，可用“累加法”求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1(n≥2). (2)＝f(n)型，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1(n≥2). 注意　验证a1是否满足求得的an(n≥2). 　1.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝2nanan＋1，则an＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D．由题可知an≠0，对an－an＋1＝2nanan＋1两边同时除以anan＋1得－＝2n，则－＝2n-1，－＝2n-2，…，－＝2，将上面(n－1)个式子相加可得－＝2＋…＋2n-2＋2n-1＝＝2n－2(n≥2)，所以＝2n－2＋1＝2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也符合该式，所以an＝. 2．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，＝，则a8＝________． 解析：由题意知，＝， 即＝4·. 又＝≠0，所以数列是首项为，公比为4的等比数列． 所以＝×4n-1＝2-5×22n-2＝22n-7， 当n≥2时，an＝××…××a1＝22n-9×22n-11×…×2-5×1＝2＝2n2－8n＋7， 所以a8＝27＝128. 答案：128 技法二　构造辅助数列 类型1　形如an＋1＝pan＋f(n)型 　(1)(2025·江西联考改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＋an＝2n.则an＝ ________． (2)(2025·广州模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2n-1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________． 【解析】　(1)因为2Sn＋an＝2n，①所以当n＝1时，2S1＋a1＝2，即2a1＋a1＝2，所以a1＝. 当n≥2时，2Sn－1＋an－1＝2(n－1)，② ①－②，得2an＋an－an－1＝2， 即an＝an－1＋， 所以an－1＝(an－1－1)(n≥2)， 又a1－1＝－≠0， 所以{an－1}是以－为首项，为公比的等比数列． 则an－1＝(－)×()n-1＝－， 所以an＝1－. (2)方法一：两边先同时除以2n-1，变为＝·＋1，即＋2＝(＋2)，而a1＝2，＋2＝6，于是数列是首项为6，公比为的等比数列，因此＋2＝6×()n-1，即an＝3n－2n-1，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2n-1，n∈N*. 方法二：由a1＝2，an＋1＝3an＋2n-1，n∈N*，可得an＋1＋2n＝3(an＋2n-1)，又a1＋21-1＝3，所以{an＋2n-1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n-1＝3n，则an＝3n－2n-1，n∈N*. 【答案】　(1)1－　(2)an＝3n－2n-1，n∈N* 【解题技法】　(1)若数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)，构造an＋1＋λ＝p(an＋λ). (2)若数列{an}满足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0，1)，构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]. 类型2　形如an＋1＝pan＋qan－1(a1＝a，a2＝b)型 　已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，则这个数列的通项公式为an＝____________________． 【解析】　因为an＝2an－1＋3an－2， 所以an＋an－1＝3(an－1＋an－2). 又a1＋a2＝7，所以当n≥2时，{an＋an－1}是首项为7，公比为3的等比数列，则an＋an－1＝7×3n-2(n≥2).① 又an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，a2－3a1＝－13， 所以当n≥2时，{an－3an－1}是首项为－13，公比为－1的等比数列，则an－3an－1＝－13×(－1)n-2(n≥2).② ①×3＋②得4an＝7×3n-1＋13×(－1)n-1， 所以an＝×3n-1＋×(－1)n-1(n≥2). 因为a1＝×31-1＋×(－1)1-1＝5，满足上式， 所以an＝×3n-1＋×(－1)n-1. 【答案】　×3n-1＋×(－1)n-1 【解题技法】　an＋1＝pan＋qan－1(a1＝a，a2＝b)可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求通项公式an. 类型3　形如an＋1＝型 　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则an＝________． 【解析】　由a1＝1，an＋1＝，得an≠0，＝＝＋1，则＋1＝2(＋1)，而＋1＝2，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，＋1＝2n，因此an＝. 【答案】　 【解题技法】　形如an＋1＝(an≠0)的数列，两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝p′bn＋q型，求出的表达式，再求an. 类型4　形如an＋1＝pa(p＞0，an＞0)型 　已知数列{an}满足a1＝1，a＝10an(an>0)，则an＝________． 【解析】　对题中等式两边取以10为底的对数可得2lg an＋1＝lg an＋1，即lg an＋1－1＝(lg an－1)，又lg a1－1＝－1，所以数列{lg an－1}是以－1为首项，为公比的等比数列，所以lg an－1＝(－1)×()n-1＝－()n-1， 即lg an＝1－()n-1＝1－21-n，即an＝101－21-n. 【答案】　101－21-n 【解题技法】　若an＋1＝pa(p＞0，an＞0)，则构造＝q，最终求得通项公式． 　1.在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝，则an＝________． 解析：由题知an≠0，对an＋1＝取倒数得＝＋2，即－＝2，又＝1，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝. 答案： 2．在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为______________________________． 解析：因为an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，设an＋1＋x(n＋1)＋y＝3(an＋xn＋y)，整理可得an＋1＝3an＋2xn＋2y－x， 所以 解得 所以an＋1＋2(n＋1)－2＝3(an＋2n－2). 又a1＋2×1－2＝a1＝3，所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列． 所以an＋2n－2＝3×3n-1＝3n， 即an＝3n－2(n－1). 答案：an＝3n－2(n－1) 学科网（北京）股份有限公司 $