专题五 第36练 数列的递推式和通项公式 - 备战2022年新高考数学【高考高手】必刷小题（新高考Word版）

第36练　数列的递推式和通项公式 【真题热身练】 1.B　因为b1>c1,不妨设b1=,c1=,p=(a1+b1+c1)=a1, 则S1==; a2=a1,b2==a1,c2==a1, S2==;显然S2>S1.同理,a3=a1,b3==a1, c3==a1, S3==,显然S3>S2. 2.10　令an=,则a1==1,a2==3,a3==6, S3=1+3+6=10. 故答案为10. 3.4　本题考查等差数列、等比数列的前n项和. 由等差数列的前n项和公式和等比数列的前n项和公式得 Sn=na1+d+ =n2+n+qn+. 对照已知条件Sn=n2-n+2n-1,得 d=2,q=2,所以d+q=4. 4.1　121　由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3. 再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2), 两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2). 又因为a2=3a1,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列. 所以S5==121. 5.-　由an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,两边同除以SnSn+1得-=1,即-=-1,则为等差数列,首项为=-1,公差为d=-1, ∴=-n.∴Sn=-. 6.(-2)n-1　∵Sn=an+, ① ∴当n≥2时,Sn-1=an-1+. ② ①-②,得an=an-an-1, 即=-2. ∵a1=S1=a1+,∴a1=1. ∴数列{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列,an=(-2)n-1. 7.　将a8=2代入an+1=,可求得a7=; 将a7=代入an+1=,可求得a6=-1; 将a6=-1代入an+1=,可求得a5=2. 由此可知数列{an}是一个周期数列,且周期为3,所以a1=a7=. 【模拟突破练】 1.D　由题意可知,若数列{an}为“梦想数列”, 则-=0,可得=, 所以,“梦想数列”{an}是公比为的等比数列,若正项数列为“梦想数列”, 则=,所以,=2, 即正项数列{bn}是公比为2的等比数列, 因为b1+b2+b3=1,因此,b6+b7+b8=25(b1+b2+b3)=32. 2.A　an===-, 所以其前n项和为-+-+…+-=1-.故选A. 3.BCD　当n=2k(k∈N*)时,由已知条件得a2k+a2k+1=2k·(-1)k(2k+1), 所以S2 019=a1+a2+a3+…+a2 019=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2 018+a2 019)=a1-2+4-6+8-10+…-2 018=a1+1 008-2 018=a1-1 010,所以S2 019-a1=-1 010.m+S2 019=m+a1-1 010=-1 009,所以m+a1=1,所以ma1≤2=,当且仅当m=a1=时等号成立,此时ma1取得最大值.故选BCD. 4.D　杨辉三角的规律为第n行的第x列为,故a1+a2+a3+…+a10=+++…+=1+3+6+10+15+21+28+36+45+55=220.故选D. 5.BD　因为an+an+1+an+2=m(n∈N*),m∈R,所以an+1+an+2+an+3=m, 从而得到an=an+3, 所以数列{an}是周期为3的周期数列, 所以a2 021=a3×673+2=a2,所以A正确,B错误; 因为S6=a1+a2+…+a6=2m, S12=a1+a2+…+a12=(a1+a2+a3)+…+(a10+a11+a12)=4m, 所以2S6=S12,所以C正确; 又因为S2 021=(a1+a2+a3)×673+a1+a2=674m-a3, 因为m的值不确定,所以S2 021与a3的大小不确定,所以D错误.故选BD. 6.B　因为Sn+1+2Sn-1=3Sn对n≥2恒成立,所以Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1), 所以an+1=2an,n≥2, 所以从第二项开始,{an}是公比为2的等比数列, 由于不知道a1与a2的关系,故无法判断{an}是公比为2的等比数列,故不满足充分性; 当{an}是公比为2的等比数列, 所以an+1=2an,n≥1, 所以Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1),n≥2, 所以Sn+1+2Sn-1=3Sn对n≥2恒成立,满足必要性; 故Sn+1+2Sn-1=3Sn对n≥2恒成立是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件.故选B. 7.BD　当n=1时,S1=a1=a+2, 当n≥2时,Sn=n2+an+1; Sn-1=(n-1)2+a(n-1)+1, 两式相减Sn-Sn-1=an=2n-1+a. ∴a2=a+3,a3=a+5. ∴a2-a1≠a3-a2,故{an}不是等差数列,选B. Sn=n2+an+1,将其视为连续曲线,对