专题2 第1讲 等差、等比数列-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

第1讲　等差、等比数列 [考情分析]　等差数列、等比数列是高考必考内容，主要以选择题、填空题的形式考查等差数列、等比数列的基本运算、性质，解答题的第一问求数列的通项公式及等差、等比数列的判断(证明)，属于中档题目． 考点一　等差、等比数列的基本运算 等差数列：an＝a1＋(n－1)d， Sn＝＝na1＋d； 等比数列：an＝a1qn-1＝amqn－m， Sn＝ 　(1)(多选)(2025·广东二调)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且4S5－5S4＝20，a6＝1，则下列选项正确的是(　　) A．a1＝－11 B．S9＝－9 C．当n＝5时，Sn取得最小值 D．记bn＝a2n，则数列{bn}的前n项和为2n2－9n (2)(2025·哈尔滨一模)已知数列{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．若3a4，a8，5a6成等差数列，则＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得 4(5a1＋d)－5(4a1＋d)＝20，a1＋5d＝1， 解得a1＝－9，d＝2，故A错误； S9＝9a1＋d＝－9，故B正确； Sn＝na1＋d＝n2－10n＝(n－5)2－25， 所以当n＝5时，Sn取得最小值，故C正确； 因为an＝a1＋(n－1)d＝2n－11，所以bn＝a2n＝4n－11，所以{bn}为等差数列，所以数列{bn}的前n项和为＝＝2n2－9n，故D正确． (2)设等比数列{an}的公比为q，由3a4，a8，5a6成等差数列可得3a4＋5a6＝2a8，即3a4＋5a4q2＝2a4q4，因为a4≠0，所以2q4－5q2－3＝0，解得q2＝3或q2＝－(舍去)，所以＝＝＝＝＝. 【答案】　(1)BCD　(2)A 【解题技法】　破解等差(等比)数列基本量问题的关键 等差(等比)数列{an}的通项公式及前n项和公式共涉及a1，an，Sn，n，d(q)五个基本量，可以通过列方程(组)，达到“五量二式，知三求二”的目的． 注意　在等比数列的前n项和公式中，若不确定q是否等于1，应注意分q＝1和q≠1两种情况讨论． 　1.(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝(　　) A．－20 B．－18 C．16 D．18 解析：选C．设等差数列{an}的公差为d，d≠0，因为a3，a4，a6成等比数列，且a1＝－2，所以a＝a3a6，即(－2＋3d)2＝(－2＋2d)(－2＋5d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以a10＝a1＋9d＝－2＋9×2＝16. 2．(2025·南京、盐城二模)已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B．因为a1＋a2＝3，{an}的公比为2，所以a1＋2a1＝3，解得a1＝1，所以an＝2n-1，所以ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak(1＋2＋22＋…＋29)＝(210－1)2k-1＝24(210－1)，所以k＝5. 考点二　等差、等比数列的性质 1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列{an}，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列{an}，有aman＝apaq＝a. 2．前n(n∈N*)项和的性质 (1)对于等差数列有Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列；对于等比数列有Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(q＝－1且n为偶数的情况除外). (2)对于等差数列，有S2n－1＝(2n－1)an. 　(1)(2025·长春质量监测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝S9＝6，则S12的值为(　　) A．0 B．3 C．6 D．12 (2)(多选)(2025·湖南一模)设{an}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中正确的是(　　) A．0＜q＜1 B．a7＝1 C．K9＞K5 D．K6与K7均为Kn的最大值 【解析】　(1)方法一(基本量法)：设等差数列{an}的公差为d，由S3＝S9＝6得，3a1＋d＝6，① 9a1＋d＝6，② 由①②得，a1＝，d＝－，所以S12＝12a1＋d＝12×＋66×(－)＝－＝0. 方法二：设b1＝S3，b2＝S6－S3，b3＝S9－S6，b4＝S12－S9.因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以b1，b2，b3，b4成等差数列，所以b1＋b4＝b2＋b3，即S3＋(S12－S9)＝(S6－S3)＋(S9－S6)，又S3＝S9＝6，所以S12＝0. 方法三：因为数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，所以数列是等差数列，令cn＝，即数列{cn}为等差数列，设其公差为d，因为S3＝S9＝6，所以c3＝＝＝2，c9＝＝＝，则6d＝c9－c3＝－2＝－，所以d＝－，所以c12＝c3＋9d＝2＋9×(－)＝0，即＝0，所以S12＝0. (2)对于A，B，由已知数列{an}各项均为正数，因此乘积Kn也为正数，q＞0，又K5＜K6，K6＝K7＞K8，所以＝a6＞1，＝a7＝1，B正确，又＝a8＜1，故q＝＝＜1，即0＜q＜1，A正确；对于C，由a7＝1得a5a9＝a6a8＝a＝1，所以K4＝K9，而a5＝＞1，K5＞K4，因此K9＜K5，C错误；对于D，由上知a1＞a2＞…＞a6＞1＝a7＞a8＞…，{Kn}先增后减，K6与K7均为Kn的最大值，D正确． 【答案】　(1)A　(2)ABD 【解题技法】　等差、等比数列的性质问题的求解策略 抓关系 抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解 用性质 数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题 　1.已知等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝(　　) A．2 B．3 C． D． 解析：选C．设数列{an}共有2m＋1(m∈N*)项，由题意得S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，则S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q(a2＋a4＋…＋a2m)＝2＋q＝，解得q＝. 2．已知数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，满足(2n＋3)Sn＝(3n－1)Tn，则＝(　　) A．2 B．3 C．5 D．6 解析：选A．因为数列{an}，{bn}均为等差数列，可得a7＋a8＋a9＝3a8＝×15a8＝S15，且b6＋b10＝b1＋b15， 又由T15＝，可得b6＋b10＝T15. 因此＝＝·＝×＝×＝2. 考点三　等差(等比)数列的判定与证明 类别 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q(q≠0) 通项法 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn-1(a1，q≠0) 中项法 2an＝an－1＋an＋1(n≥2) a＝an－1an＋1 (n≥2，an－1anan＋1≠0) 前n项和法 Sn＝an2＋bn (a，b为常数) Sn＝kqn－k (k为常数且k≠0，q≠0，1) 　(2025·贵阳联考)已知Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－n. (1)求证：数列{an＋1}为等比数列； (2)求数列{Sn}的前n项和Tn. 【解】　(1)证明：由Sn＝2an－n可得， 当n＝1时，a1＝2a1－1，解得a1＝1， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－(n－1)， 所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1－1， 即an＝2an－1＋1， 所以＝＝2，为常数，且a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)得an＋1＝2·2n-1＝2n，则an＝2n－1， 所以Sn＝2an－n＝2n+1－n－2， 所以Tn＝S1＋S2＋…＋Sn＝(22＋23＋…＋2n+1)－[3＋4＋…＋(n＋2)]＝－＝2n+2－4－. 【解题技法】　判定数列是等差(等比)数列的关键 (1)会转化：将所给的关系式进行变形、转化，利用等差(等比)数列的判定方法进行判定． (2)举反例：判定一个数列不是等差(等比)数列，只需说明某连续三项不是等差(等比)数列即可． 注意　在解答题中证明数列为等差(等比)数列只能使用定义法或等差(等比)中项法． 　已知数列{an}的前n项和Sn，且2Sn－nan＝n. (1)求证：{an}是等差数列； (2)若当且仅当n＝6时，Sn最大，比较与－1的大小． 解：(1)证明：由题意知，2Sn－nan＝n，① 则有2Sn＋1－(n＋1)an＋1＝(n＋1)，② ②－①得2an＋1－(n＋1)an＋1＋nan＝， 即nan＝(n－1)an＋1＋，③ 则(n＋1)an＋1＝nan＋2＋，④ ④－③得2an＋1＝an＋2＋an， 所以{an}是等差数列． (2)设等差数列{an}的公差为d， 当n＝1时，2a1－a1＝， 即a1＝. 由题意可知即 解得－＜d＜－， 则a9＋a5＝2a1＋12d＝1＋12d＜0， 且a5＞0，所以＜－1. 学科网（北京）股份有限公司 $