专题1 第3讲 解三角形 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

专题强化训练 [A　基本技能] 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，cos B＝，则A＝(　　) A． B． C． D．或 解析：选A．在△ABC中，cos B＝，所以sin B＝＝，又a＝2，b＝3，所以由正弦定理可得sinA＝＝＝.又b>a，所以A为锐角，所以A＝. 2．(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos ∠BAC＝，则△ABC的面积为(　　) A．6 B．8 C．24 D．48 解析：选C．方法一(利用余弦定理)：由余弦定理得cos ∠BAC＝，所以＝，即AB2－12AB＋36＝0，解得AB＝6.因为cos ∠BAC＝，0＜∠BAC＜π，所以sin ∠BAC＝＝＝，所以S△ABC＝AB×AC×sin∠BAC＝×6×10×＝24. 方法二：同方法一得AB＝6，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝，则S△ABC＝AB×BC＝×6×8＝24. 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S.若a＝1，C＝且4S＝cos B＋b cos A，则B＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A．因为4S＝cos B＋b cos A，a＝1，所以4×ab sin C＝a cos B＋b cos A，即2b sin C＝a cos B＋b cos A，由正弦定理得2sin B sin C＝sin A cos B＋sin B cos A，所以2sin B sin C＝sin (A＋B)＝sin C，因为sin C≠0，所以sin B＝，因为0＜B＜，所以B＝. 4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，＝sin2，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选A．由cosB＝1－2sin2，得sin2＝，所以＝，即cos B＝.由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等． 5．设M，N为某海边相邻的两座山峰的山顶．M，N到海平面的距离分别为100 m，50 m．现欲在M，N之间架设高压电网，需计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到∠MPN＝45°，则M，N之间的距离为(　　) A．50 m B．50 m C．50 m D．50 m 解析：选A． 如图，由题可知∠MPM1＝30°，∠NPN1＝45°，MM1＝100 m，NN1＝50 m，所以PM＝200 m，PN＝50 m，又∠MPN＝45°，所以MN2＝40 000＋5 000－2×200×50×＝25 000，所以MN＝50 m． 6．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，B＝2D＝120°，记△ABC与△ACD的面积分别为S1，S2，则S2－S1＝(　　) A．2 B． C．1 D． 解析：选B．在△ABC中，由余弦定理得cos B＝，即－＝，得BC2－AC2＝－2BC－4①，在△ACD中，由余弦定理得cos D＝，即＝，得CD2－AC2＝2CD－4②，又S1＝AB·BC sin 120°＝BC，S2＝AD·CD sin 60°＝CD，所以S2－S1＝CD－BC＝(CD－BC)③，由②－①，得CD2－BC2＝2(CD＋BC)，由CD＋BC＞0，得CD－BC＝2，代入③得S2－S1＝. 7．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2＝b2＋bc，则(　　) A．sin2A－sin2B＝sinB sin C B．c＝b(1＋2cos A) C．A＝2B D．△ABC不可能为锐角三角形 解析：选ABC．因为a2＝b2＋bc，由正弦定理可得sin2A＝sin2B＋sinB sin C，故A正确；由a2＝b2＋bc＝b2＋c2－2bc cos A，可得b＝c－2b cos A，即c＝b(1＋2cos A)，故B正确；由b＝c－2b cos A，可得sin B＝sin C－2sin B cos A＝sin (A＋B)－2sin B·cos A＝sin A cos B－sin B cos A＝sin (A－B)，所以A＝2B或B＋A－B＝π(舍去)，故C正确；在△ABC中，由余弦定理可得cos A＝＝＝，设a＝，b＝2，c＝3，满足a2＝b2＋bc，此时角A最大，且cos A＝>0，即A为锐角．所以△ABC可能为锐角三角形，故D错误． 8．(多选)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，AB＝2，BC＝，·＝2，则下列结果正确的是(　　) A．∠ABC＝45° B．AC＝ C．BD＝ D．△ADC的面积为 解析：选ACD．对于A，由·＝2得||·||·cos ∠ABC＝2，解得cos ∠ABC＝，因为0＜∠ABC＜180°，所以∠ABC＝45°，故A正确； 对于B，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝4＋2－2×2××＝2，所以AC＝，故B错误； 对于C，易知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以∠ACD＝30°，又∠ADC＝135°，在△ACD中，由正弦定理得＝，所以AD＝1，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cos ∠DAB＝1＋4－2×1×2×＝3，所以BD＝，故C正确； 对于D，∠CAD＝∠DAB－∠CAB＝15°，S△ADC＝AD·AC·sin ∠CAD＝×1××sin 15°＝sin (45°－30°)＝，故D正确． 9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b2＋c2＝18，sin A＝，则△ABC的周长为________． 解析：由sin A＝，得cos A＝±. 因为a2＝9＜b2＋c2，所以cos A＝. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得9＝18－bc，得bc＝， 所以b＋c＝＝， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝＋3. 答案：＋3 10．在△ABC中，BC＝2，S△ABC＝·，则△ABC外接圆的半径为________． 解析：因为S△ABC＝·，所以×AB×AC×sin A＝×||×||×cos A，又AB＝||，AC＝||， 所以sin A＝cos A，又sin2A＋cos2A＝1，所以sin2A＝， 因为A∈(0，π)，所以sinA＞0，则sin A＝， 记△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理得2R＝＝＝6，所以R＝3. 答案：3 11．已知在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，则该平面四边形ABCD面积的最大值为________． 解析： 连接AC，如图，则AC2＝5－4cos B＝25－24cos D，所以5＝－cos B＋6cos D　①.平面四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ACD＝×1×2×sin B＋×3×4×sin D＝sin B＋6sin D　②，①2＋②2，得S2＋25＝cos2B－12cosB cos D＋36cos2D＋sin2B＋12sinB·sin D＋36sin2D＝37－12cos(B＋D)，所以S2＝12－12cos (B＋D)，则当B＋D＝π时，有S＝24，所以Smax＝2. 答案：2 12．(2025·陕西省适应性检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，且sin (A＋C)＝2sin A cos (A＋B). (1)求证：a，b，2a成等比数列； (2)若△ABC的面积是1，求c的长． 解：(1)证明：由题意和三角形内角和定理得sin B＝－2sin A·cos C， 由正弦定理得，b＝－2a cos C， 因为C＝，所以b＝a， 则b2＝a·2a，所以a，b，2a成等比数列． (2)因为S△ABC＝ab sin C＝ab＝1， 所以ab＝2.　① 由(1)知，b＝a，　② 联立①②解得a＝，b＝2. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝2＋4－4×(－)＝10，所以c＝. [B　综合运用] 13．(2025·武汉调研)如图，∠AOD与∠BOC是对顶角，且∠AOD＝∠BOC＝，AC＝2，BD＝2，BC＝AD． (1)证明：O为BD的中点； (2)若sin 2A＋cos B＝，求OC的长． 解：(1)证明：设BO＝x，CO＝y，则DO＝2－x，AO＝2－y. 在△BOC和△AOD中，BC＝AD，由余弦定理得，x2＋y2－2xy cos ＝(2－x)2＋(2－y)2－2(2－x)(2－y)cos ， 整理得x＝. 所以BO＝BD，即O为BD的中点． (2)由正弦定理得，＝＝＝， 由BO＝DO，得sin C＝sin A． 若C＝A，则△BOC和△DOA为全等的等腰直角三角形，A＝，B＝，不符合条件． 所以C＋A＝π，此时A＝π－C＝π－(－B)＝B＋， sin 2A＋cos B＝sin (2B＋)＋cos B＝cos 2B＋cos B， 所以(2cos2B－1)＋cosB＝，由0＜B＜，解得cos B＝，此时sin B＝，sin C＝sin (－B)＝(sin B＋cos B)＝.在△BOC中，由正弦定理＝，得OC＝. 14．(2025·辽宁名校联盟一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足＝a. (1)求角B的大小； (2)若b＝，求△ABC面积的最大值； (3)求sin A sin C＋sin B sin C＋sin B sin A的取值范围． 解：(1)由正弦定理得＝sin A，即sin Bsin A＝sin A(1＋cos B)，因为0＜A＜π，所以sin A≠0， 所以sin B＝1＋cos B，所以sin (B－)＝， 又0＜B＜π，所以－＜B－＜， 所以B－＝，B＝. (2)由余弦定理得，cos B＝＝， 将b＝代入得，a2＋c2＝3＋ac， 又a2＋c2≥2ac，所以ac≤3， 当且仅当a＝c＝时，等号成立， 所以△ABC的面积为ac sin B＝ac≤， 故△ABC面积的最大值为. (3)sin A sin C＋sin B sin C＋sin B sin A ＝sin A sin C＋(sin A＋sin C) ＝sin A sin (－A)＋[sin A＋sin (－A)] ＝sin 2A＋sin2A＋sinA＋cos A ＝sin (2A－)＋sin (A＋)＋， 令x＝A＋，则2A－＝2x－， 所以sin (2A－)＋sin (A＋)＋可化为sin2x＋sinx－＝(sin x＋)2－. 因为A∈(0，)， 所以x∈(，)， 所以sin x∈(，1]， 由二次函数的图象与性质得， 当sin x∈(，1]时，(sin x＋)2－＞()2＋×－＝，(sin x＋)2－≤12＋×1－＝，故sin A sin C＋sin B sin C＋sin B sin A的取值范围为(，]. 学科网（北京）股份有限公司 $