专题1 第1讲 三角恒等变换与平面向量 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

专题强化训练 [A　基本技能] 1．(2025·永州三模)已知tan α＝，则sin 2α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选C．因为tan α＝，所以sin 2α＝＝＝＝＝. 2．(2025·河南二模)已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝a＋tb，若|c|＝2，则正实数t的值为(　　) A．1 B． C．2 D．3 解析：选B．因为a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝a＋tb，所以c＝(1，t)，又|c|＝2，所以＝2，解得t＝或t＝－(舍去)，所以正实数t的值为. 3．(2025·宁波模拟)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a⊥b，则|a－3b|＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．方法一(平方法)：由a⊥b，得a·b＝0，所以|a－3b|2＝(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝1－0＋9＝10，所以|a－3b|＝. 方法二(向量法)：因为|a|＝|b|＝1，a⊥b，所以不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则a－3b＝(1，0)－3(0，1)＝(1，－3)，所以|a－3b|＝＝. 4．已知sin(α＋β)＝2cos (α－β)，tan α＋tan β＝，则tan αtan β＝(　　) A．3 B．－3 C． D．－ 解析：选D．由sin (α＋β)＝2cos (α－β)，得sin αcos β＋cos αsin β＝2cos αcos β＋2sin αsin β，两边同时除以cos αcos β，得tan α＋tan β＝2＋2tan αtan β，又tan α＋tan β＝，所以tan αtan β＝－. 5．在△ABC中，＝，点E在BD上，若＝x＋，则x＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选C．因为＝，所以＝，所以＝x＋＝－x＋(－)＝(－x－)＋＝(－x－)＋×＝(－x－)＋，因为点E在BD上，所以所以x＝－. 6．(2025·漳州一模)已知α∈，若sin (＋2α)＋cos ＝0，则α＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A．因为sin (＋2α)＝－cos 2α，所以－cos 2α＋cos (α－)＝0，即cos 2α＝cos (α－)， 即cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α). 又因为α∈(0，)，所以cos α＋sin α＞0， 所以cos α－sin α＝，即cos (α＋)＝. 又α∈(0，)，所以α＋∈(，)， 所以α＋＝，所以α＝. 7．(2025·信阳等五市联考)已知角α和β的终边关于直线y＝x对称，且sin α＋2sin β＝，则sin β＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选D．设角α的终边与单位圆的交点为(m，n)，则由题意可知角β的终边与单位圆的交点为(n，m)， 所以sin α＝n，cos α＝m，sin β＝m，cos β＝n， 所以由sin α＋2sin β＝，得cos β＋2sin β＝， 所以(cos β＋sin β)＝，cos β＋sin β＝1， sin (θ＋β)＝1，其中sin θ＝，cos θ＝， 所以θ＋β＝＋2kπ，k∈Z，即β＝＋2kπ－θ，k∈Z， 所以sin β＝sin (＋2kπ－θ)＝cos θ， 所以sin β＝. 8．如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端A，B，C，D，E，F，G，H恰好可以围成一个正八边形，设∠ACG＝α，∠EBH＝β，则tan (α＋β)＝(　　) A．－3 B．－2 C．－2＋1 D．－－1 解析：选D． 依次连接花瓣顶点，连接AC，BE，BH，设线段AE与CG的交点为O，线段BH与线段AE的交点为M，因为∠COB＝∠AOB＝，所以∠AOC＝，又OC＝OA，所以∠ACG＝∠ACO＝，设OA＝a，则OB＝OE＝a，所以OM＝MB＝a，所以tan ∠EBH＝tan ∠EBM＝＝＋1，所以tan α＝1，tan β＝＋1， 所以tan (α＋β)＝＝＝－－1. 9．(多选)(2025·菏泽一模)已知平面向量a＝(2，sin θ)，b＝(cos θ，1)，则下列说法正确的有(　　) A．向量a，b不可能垂直 B．向量a，b不可能共线 C．|a＋b|不可能为3 D．若θ＝，则a在b上的投影向量为b 解析：选BD．由题意知a＝(2，sin θ)，b＝(cos θ，1). 对于A，若向量a⊥b，则a·b＝2cos θ＋sin θ＝0，即tan θ＝－2， 显然能成立，故A错误； 对于B，若向量a∥b，则有2×1－sin θcos θ＝0，即2－sin 2θ＝0， 即sin 2θ＝4，显然不成立，故B正确； 对于C，|a＋b|＝ ＝＝，tan φ＝， 则当cos (θ－φ)＝时，|a＋b|＝3，故C错误； 对于D，若θ＝，则a＝(2，1)，b＝(0，1)， 则a在b上的投影向量为()＝b＝b，故D正确． 10．(多选)(2025·广州段考)已知0<β<α<，且sin (α－β)＝，tan α＝5tan β，则(　　) A．sin αcos β＝ B．sin βcos α＝ C．sin 2αsin 2β＝ D．α＋β＝ 解析：选BC．因为tan α＝5tan β，即＝， 所以sin αcos β＝5cos αsin β， 所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝4cos αsin β＝， 所以sin βcos α＝，B正确； sin αcos β＝，A错误； sin 2αsin 2β＝2sin αcos α·2sin βcos β＝4sin αcos β·sin βcos α＝4××＝，C正确； sin (α＋β)＝sin αcos β＋sin βcos α＝＋＝，因为0<β<α<，所以0<β＋α<，所以α＋β＝，D错误． 11．(多选)(2025·河南模拟)已知O为坐标原点，点P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，A(1，1)，则下列说法正确的是(　　) A．·＝cos (α－β) B．若＝，则||＝|| C．△AOP和△AOQ的面积之和的最大值为1 D．若∠PAO＝，则·＝||2 解析：选ABD．对于A，由题意得，·＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)，故A正确； 对于B，若＝，则||＝1，又因为Q(cos β，sin β)，所以Q(1，0)或Q(0，1)，若Q(1，0)，则P(0，1)，此时||＝||＝，若Q(0，1)，则P(1，0)，此时||＝||＝，故B正确； 对于C，|AO|＝＝，|OP|＝＝1，|OQ|＝＝1，所以S△AOP＋S△AOQ＝|AO||OP|·sin∠AOP＋|AO||OQ|sin ∠AOQ＝(sin ∠AOP＋sin ∠AOQ)≤×2＝，当且仅当∠AOP＝∠AOQ＝时，等号成立，所以△AOP和△AOQ的面积之和的最大值为，故C错误； 对于D，若∠PAO＝，注意到P(cos α，sin α)在单位圆上，当且仅当PA与单位圆相切时，∠PAO取最大值，此时恰为，故△AOP为以OA为斜边的等腰直角三角形，所以·＝×1×＝||2＝1，故D正确． 12．(2025·贵阳摸底考试)已知角α的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(5，12)，将角α的终边绕着原点O逆时针旋转得到角β，则sin β＝________． 解析：由题意知，sin α＝＝，cos α＝＝，sin β＝sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝. 答案： 13．(2025·北京卷)已知α，β∈[0，2π]，且sin (α＋β)＝sin (α－β)，cos (α＋β)≠cos (α－β)，写出满足条件的一组α＝________，β＝________． 解析：由题意得α＋β，α－β的终边关于y轴对称，且不与y轴重合，故α＋β＋α－β＝π＋2kπ，k∈Z且α＋β≠＋lπ，l∈Z，即α＝＋kπ，k∈Z，取α＝，β＝可满足题设要求． 答案：　(答案不唯一) 14．(2025·上海二模)已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝π，点D在线段BC上，且S△ACD＝2S△ABD，则·的值为_______________________________________________． 解析：由题意，设等腰三角形ABC在BC边上的高为h，因为S△ACD＝2S△ABD，所以×CD×h＝2××BD×h，所以CD＝2BD，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋||·||·cos ∠BAC＝×42＋×4×4×(－)＝8. 答案：8 [B　综合运用] 15．(2025·青岛联考)已知A1，A2，A3，A4，A5五个点，满足：·＝0(n＝1，2，3)，||||＝n(n＝1，2，3)，则||的最小值为________． 解析：由题知 所以 设||＝t，t>0， 因为 所以||＝，||＝2t，||＝， 如图，当与方向相反，且与方向相反时，||有最小值，最小值为＝ ≥＝＝1， 当且仅当t2＝，即t＝时等号成立． 答案：1 学科网（北京）股份有限公司 $