专题1 提升点2 三角形中的“特征”线-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

　三角形中的“特征”线 类型一　三角形的中线问题 　(2025·温州一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C＝ac－2c cosB． (1)求c； (2)若D为AB边的中点，CD＝，∠ACB＝60°，求△ABC的周长． 【解】　(1)方法一：由题意，得2sin B cos C＝c sin A－2cos B sin C，则2sin (B＋C)＝c sin A， 所以2sin A＝c sin A， 因为在△ABC中，sin A>0， 所以c＝2. 方法二：由题意，得2b·＝ac－2c·，所以a2＋b2－c2＝a2c－a2－c2＋b2， 因此2a2＝a2c，因为a>0，所以c＝2. (2)方法一：利用向量关系，可得＝(＋)， ||2＝(b2＋a2＋ab)＝2， 又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB， 所以4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 因此ab＝2，a＋b＝， 所以△ABC的周长为＋2. 方法二：因为∠ADC＋∠BDC＝π， 所以cos ∠ADC＋cos ∠BDC＝0. 因此＋＝0，所以a2＋b2＝6， 又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB， 所以4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 因此ab＝2，a＋b＝， 所以△ABC的周长为＋2. 方法三：以△ABC的边CA，CB为邻边，将△ABC补成平行四边形(图略)，利用平行四边形边长与对角线长的关系可得，22＋(2)2＝2(a2＋b2)，所以a2＋b2＝6. 又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB， 所以4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 因此ab＝2，a＋b＝， 所以△ABC的周长为＋2. 【解题技法】 　(2025·台州一模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c－b＝2a cosB． (1)求角A； (2)若△ABC的面积为4，D为AC边的中点，求BD长度的最小值． 解：(1)在△ABC中，由2c－b＝2a cos B及正弦定理得，2sin C－sin B＝2sin A cos B，则sin B＝2sin (A＋B)－2sin A cos B＝2(sin A cos B＋cos A sin B)－2sin A cos B＝2cos A sin B，而sin B>0，则cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝. (2)依题意，S△ABC＝bc sin A＝4，由(1)知A＝，得bc＝16， 在△ABD中，由余弦定理得BD2＝()2＋c2－2··c·cos A＝＋c2－bc≥bc－bc＝8，当且仅当b＝2c＝4时取等号，所以BD的最小值为2. 类型二　三角形的角平分线问题 　(2025·福州一模)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－2b cos A＝b. (1)求证：A＝2B； (2)若∠BAC的平分线交BC于点D，AD＝1，sin B＝，求＋的值． 【解】　(1)证明：由正弦定理可得sin C－2sin B cos A＝sin B，因为A＋B＋C＝π， 所以sin (A＋B)－2sin B cos A＝sin A cos B－sin B cos A＝sin (A－B)＝sin B， 因为A∈(0，)，B∈(0，)， 所以A－B∈(－，)， 因为y＝sin x在(－，)上单调递增， 所以A－B＝B，即A＝2B． (2)因为sin B＝，B为锐角， 所以cos B＝，sin ∠BAC＝sin 2B＝2sin B cos B＝， 依题意有S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，由(1)可知∠BAC＝2B， 所以bc sin ∠BAC＝(b＋c)×AD×sin B， 又因为AD＝1，所以bc＝(b＋c)，化简得8bc＝5(b＋c)， 两边同除以bc可得8＝5()，所以＋＝. 【解题技法】　 　(2025·武汉调研)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c－b＝2a sin (C－). (1)求角A； (2)若a＝，D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，且AD＝1，求△ABC的面积． 解：(1)2c－b＝2a sin (C－)＝a(sin C－cos C)，结合正弦定理得2sin C－sin B＝sin A(sin C－cos C)， 所以2sin C－sin (A＋C)＝sin A sin C－sin A cos C， 整理得2sin C＝sin A sin C＋cos A sinC． 又sin C≠0，所以sin A＋cos A＝2，即sin (A＋)＝1. 又0<A<π，所以A＝. (2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，即(b＋c)·AD·sin ＝bc sin ，整理得b＋c＝bc. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC，得b2＋c2－bc＝6， 即(b＋c)2－3bc＝6，将b＋c＝bc代入得3b2c2－3bc＝6，(bc－2)(bc＋1)＝0，所以bc＝2. 所以S△ABC＝bc sin ＝. 类型三　三角形的高线问题 　(2025·广东六校联考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C＋c sin B＝a. (1)求角B的大小； (2)若AB边上的高为，求cos ∠ACB． 【解】　(1)在△ABC中，A＝π－(B＋C). 所以sin A＝sin [π－(B＋C)]＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋sin C cos B． 由正弦定理，得a＝b cos C＋c cos B， 又a＝b cos C＋c sin B， 所以sin B＝cos B， 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)易知A为锐角，如图，过点C作AB边上的高CD，交AB于点D，则CD＝，且△BCD和△ACD都是直角三角形． 因为B＝，所以△BCD是等腰直角三角形， 所以BD＝CD＝，AD＝AB－BD＝c. 由勾股定理得，BC2＝BD2＋CD2，AC2＝AD2＋CD2，所以BC＝c，AC＝c. 在△ABC中， 由余弦定理得cos ∠ACB＝. 因此cos ∠ACB＝＝－. 【解题技法】　 注意　若h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. 　(2025·北京卷改编)在△ABC中，cos A＝－，a sin C＝4. (1)求c； (2)若△ABC面积为10，求BC边上的高． 解：(1)因为cos A＝－，A∈(0，π)， 所以sin A＝＝， 由正弦定理有a sin C＝c sin A＝c＝4， 解得c＝6. (2)设BC边上的高为AD． 因为△ABC的面积是10， 则S△ABC＝bc sin A＝b×6×＝10， 解得b＝5， 由余弦定理可得a＝＝＝9可以唯一确定， 这表明此时△ABC是存在的，且BC边上的高满足S△ABC＝a·AD＝AD＝10，即AD＝. 学科网（北京）股份有限公司 $