专题1 第3讲 解三角形-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

第3讲　解三角形 [考情分析]　正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查：一是求边长、角度、面积等，二是利用三角恒等变换，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围等问题． 考点一　求值问题 1．正弦定理及其变形 在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径). 变形：a＝2R sin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理及其变形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A．变形： b2＋c2－a2＝2bc cos A，cos A＝. 　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 【解】　(1)由余弦定理的变形公式得 cos C＝＝＝， 因为C∈(0，π)， 所以C＝， 又sin C＝cos B， 所以＝cos B，即cos B＝， 又B∈(0，π)， 所以B＝. (2)由(1)可得A＝， 则sin A＝sin ＝sin (＋)＝×＋×＝，由正弦定理有＝， 从而a＝·c＝c， 又S△ABC＝ac sin B＝3＋，即ac＝4(＋1)， 将a＝c代入，解得c＝2(负值已舍去). 【解题技法】　解三角形的基本策略 (1)涉及边与角的余弦的积或边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理将边化为角；涉及边的平方时，一般用余弦定理． (2)涉及三角形面积问题，要根据条件选择适当的面积公式；对于三角形周长问题，往往利用配方法进行和与积的转化． 　(2025·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin B＝b cos A，c－2b＝1，a＝. (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin (A＋2B)的值． 解：(1)已知a sin B＝b cos A， 由正弦定理＝， 得a sin B＝b sin A＝b cos A，显然cos A≠0，得tan A＝，由0＜A＜π，故A＝. (2)由(1)知cos A＝，且c＝2b＋1，a＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得7＝b2＋(2b＋1)2－2×b(2b＋1)＝3b2＋3b＋1，解得b＝1或b＝－2(舍去)，故c＝3. (3)由正弦定理＝，且b＝1，a＝，sin A＝， 得sin B＝＝，且a＞b，则B为锐角，故cos B＝， 故sin 2B＝2sin B cos B＝， 且cos 2B＝1－2sin2B＝1－2×()2＝. 故sin(A＋2B)＝sin A cos 2B＋cos A sin 2B＝×＋×＝. 考点二　推断与证明问题 　(2025·济宁二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a(2－cos B)＝b(1＋cos A). (1)证明：b＋c＝2a； (2)若△ABC的面积为bc，证明：△ABC为等边三角形． 【证明】　(1)由正弦定理得sin A(2－cos B)＝sin B(1＋cos A)， 即2sin A－sin A cos B＝sin B＋sin B cos A， 所以2sin A＝sin B＋sin A cos B＋cos A sin B， 所以2sin A＝sin B＋sin (A＋B)， 所以2sin A＝sin B＋sin C， 由正弦定理得2a＝b＋c. (2)因为bc sin A＝bc，所以sin A＝， 因为2a＝b＋c，cos A＝＝＝≥，所以A为锐角，所以A＝. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc， 又a＝，代入化简得b＝c，所以a＝b＝c， 所以△ABC为等边三角形． 【解题技法】　三角形中的证明问题有两类：一是角的关系，可以利用三角恒等变换转化为同名三角函数，或是某个三角函数值求角；二是边的关系，可以利用正、余弦定理转化为边的关系，证明时可从复杂的一边入手，证明两边相等，也可用作差法：左边－右边＝0. 　(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　) A．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形 B．若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形 C．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形 D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形 解析：选BC．对于A，若a cos A＝b cos B，由正弦定理得sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，又A，B∈(0，π)，则2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若b cos C＋c cos B＝b，则由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin (B＋C)＝sin A＝sin B，又A，B∈(0，π)，则A＝B或A＝π－B(舍去)，则△ABC是等腰三角形，故B正确；对于C，若＝＝，由正弦定理得＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，又A，B，C为三角形内角，所以A＝B＝C，故△ABC是等边三角形，故C正确；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得ac＝b2＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，所以b＝a＝c，故△ABC是等边三角形，故D错误． 考点三　最值(范围)问题 　已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且b cos C＋c cos B＝2a cos A． (1)求A； (2)若a＝2，求△ABC周长的最大值． 【解】　(1)由b cos C＋c cos B＝2a cos A及正弦定理得 sin B cos C＋sin C cos B＝2sin A cos A， 所以sin (B＋C)＝2sin A cos A， 因为B＋C＝π－A，化简得sin A＝2sin A cos A， 因为0＜A＜π，所以sin A≠0， 所以cos A＝，所以A＝. (2)方法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，因为bc≤()2， 所以(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－＝， 即4≥，所以0<b＋c≤4， 当且仅当b＝c＝2时等号成立． 所以△ABC的周长C△ABC＝a＋b＋c≤6. 即△ABC周长的最大值为6. 方法二：由正弦定理＝2R＝＝， 得△ABC的周长C△ABC＝a＋b＋c＝2＋sin B＋sin C， 因为A＋B＋C＝π， 所以C＝－B， 所以C△ABC＝2＋sin B＋sin (－B) ＝2＋(sin B＋sin cos B－cos sin B) ＝2＋4sin (B＋)， 因为0＜B＜，所以当B＝时，C△ABC取得最大值为6. 方法三：如图1所示，延长BA到点P，使得AP＝AC， 则AB＋AC＝AB＋AP＝BP， 要使△ABC的周长最大，则需满足BP长度最大． 将问题转化为已知一边a＝2，一对角P＝30°，求另一边BP的长度的最大值，由图2可得，当BP为该圆直径时，BP最大． 即|BP|max＝＝＝4， 所以C△ABC＝BC＋BP≤2＋4＝6. 即C△ABC的最大值为6. 【解题技法】　三角形中常见的求最值、范围问题的解题策略 (1)一般用正弦定理将所求的量转化为关于某一个角的三角函数，求该三角函数的最值与取值范围． (2)转化为关于边的等式、函数、不等式，再用基本不等式或函数的单调性等来处理． 　(2025·东北四市联合考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝. (1)求角A的大小； (2)若BC＝2，求·的最大值． 解：(1)方法一：因为tan A＋tan B＝， 所以由余弦定理得tan A＋tan B＝＝， 由正弦定理得tan A＋tan B＝， 又＋＝＝＝， 所以＝， 显然cos B≠0. 又在△ABC中，sin C＞0， 所以sin A＝cos A，所以tan A＝1， 又0<A<π，所以A＝. 方法二：tan A＋tan B＝＋ ＝ ＝ ＝， 因为tan A＋tan B＝， 所以＝， 所以＝， 得＝c， 即＝sin C， 因为sin C≠0， 所以tan A＝1， 又A∈(0，π)，所以A＝. (2)方法一：由余弦定理可得a2＝c2＋b2－2cb cos A＝c2＋b2－cb＝4，又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立， 所以4＋bc≥2bc， 则bc≤， ·＝cb cos A≤×＝2＋2， 所以·的最大值为2＋2. 方法二：·＝bc cos A＝bc ＝×sinB sin C ＝4sin B sin C＝2[cos (B－C)－cos (B＋C)] ＝2[cos (B－C)＋]， 因为0＜B＜，0<C<， 所以－＜B－C＜， 则·≤2(1＋)＝2＋2，当且仅当B＝C时等号成立． 故·的最大值为2＋2. 方法三：如图，以A为坐标原点，以AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则可设B(n，0)，C(m，m)，则·＝mn. 由|BC|＝2得(m－n)2＋m2＝2m2＋n2－2mn＝4， 显然m，n＞0，所以4＝2m2＋n2－2mn≥2mn－2mn， 所以mn≤＝2＋2，当且仅当m＝n时等号成立， 所以·＝mn≤2＋2，当且仅当m＝n时等号成立， 所以·的最大值为2＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $