第6章 第4节 解三角形（Word教用）-2022版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

第四节　解三角形 第一课时　余弦定理、正弦定理 1．正弦定理 (1)定理：在△ABC中，＝＝＝2R， 其中R为△ABC的外接圆半径． (2)变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理 (1)定理：在△ABC中， a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos_C． (2)变形：cos A＝， b2＋c2－a2＝2bccos A等． 3．三角形面积公式 (1)正弦定理推论： S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B． (2)其他常用公式方法 S＝底×高；S＝absin C；S＝×C×r，(C为周长，r为内切圆半径)等． 考点一 (2021·济南市学习质量评估)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＋a＝2bcos A． (1)求角B的大小； (2)若a＝5，c＝3，边AC的中点为D，求BD的长． 【解】　(1)由2c＋a＝2bcos A及正弦定理， 得2sin C＋sin A＝2sin Bcos A， 又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以2sin Acos B＋sin A＝0， 因为sin A≠0，所以cos B＝－， 因为0＜B＜π，所以B＝. (2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2a·ccos∠ABC＝52＋32＋5×3＝49，所以b＝7，所以AD＝. 因为cos∠BAC＝＝＝， 所以BD2＝AB2＋AD2－2·AB·ADcos∠BAC＝9＋－2×3××＝，所以BD＝. 【规律方法】 应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解． (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解． (3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解． (4)利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理． [针对训练] 1．(一题多解)(2021·广西五市联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么A∶B∶C为(　　) A．1∶1∶3　　　　　　 B．1∶2∶3 C．1∶3∶2 D．1∶4∶1 【解析】　选B．法一：由正弦定理＝， 得sin B＝＝. 因为B为锐角，所以B＝60°， 则C＝90°，故A∶B∶C＝1∶2∶3，选B． 法二：由a2＝b2＋c2－2bccos A， 得c2－3c＋2＝0， 解得c＝1或c＝2. 当c＝1时，△ABC为等腰三角形，B＝120°，与已知矛盾， 当c＝2时，a<b<c，则A<B<C，排除选项A，C，D，故选B． 考点二　利用正、余弦定理判断三角形形状 (1)(一题多解)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 (2)在△ABC中，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为________． 【解析】　(1)法一：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以asin A＝a即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形． 法二：因为bcos C＋ccos B＝asin A， 所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2 A， 即sin(B＋C)＝sin2 A，所以sin A＝sin2 A， 故sin A＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形． (2)因为c－acos B＝(2a－b)cos A，所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A， 所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A， 故cos A(sin B－sin A)＝0， 所以cos A＝0或sin A＝sin B， 即A＝或A＝B， 故△ABC为等腰或直角三角形． 【答案】　(1)A　(2)等腰或直角三角形 [针对训练] 2．(2021·广西桂林阳朔三校调研)在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．非钝角三角形 【解析】　选B．因为a∶b∶c＝3∶5∶7，所以可设a＝3t，b＝5t，c＝7t，由余弦定理可得cos C＝＝－，所以C＝120°，△ABC是钝角三角形，故选B． 3．(2021·河北衡水中学三调)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且