第四章 三角函数、解三角形（教用Word）-2022版高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为________、________、________. ②按终边位置不同分为________和________． (2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成______________________________． 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角 长度等于________长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示． (2)角α的弧度数 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝. (3)角度与弧度的换算 ①1°＝________ rad；②1 rad＝()°. (4)扇形的弧长、面积公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝________＝________. 3．任意角的三角函数 (1)定义：设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______(x≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. 三角函数线 有向线段______为正弦线；有向线段______为余弦线；有向线段______为正切线 自我校对： 1．(1)正角　负角　零角　象限角　轴线角 (2)α＋k·360°(k∈Z)或a＋k·2π(k∈Z) 2．(1)半径　(3)　(4)lr　r2α 3．(1)y　x　　(2)MP　OM　AT 若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在(　　) A．第一或第三象限　　　　 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【解析】　当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角； 当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．故选A. 【答案】　A [方法指导] (1)终边相同角的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角． (2)象限角的两种判断方法 ①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． ②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． (3)求或nθ(n∈N*)所在象限的方法 ①将θ的范围用不等式(含有k)表示． ②两边同除以n或乘以n. ③对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． 　 【变式训练】 1．终边在直线x－y＝0上的角的集合为(　　) A．{α|α＝＋kπ，k∈Z}　 B．{α|α＝＋kπ，k∈Z} C．{α|α＝＋2kπ，k∈Z} D．{α|α＝＋2kπ，k∈Z} 已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解】　(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)． (2)由已知得，l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10 cm，α＝2 rad. [名师点拨] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)． (2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [注意]　运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．　 【变式训练】 2．若某圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数为(　　) A.　　　 B． C．3　　　 D． 一、利用三角函数定义求值 已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝________. 【解析】　因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，所以cos α＝＝－， 即x＝或x＝－(舍去)，所以P(－，－6)， 所以sin α＝－，所以tan α＝＝， 则＋＝－＋＝－. 【答案】　－ 二、三角函数值的符号判定 若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是(　　) A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【解析】　由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则角α为第二或第三象限角．由＜0可知cos α，tan α