专题1 第1讲 三角恒等变换与平面向量-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

第1讲　三角恒等变换与平面向量 [考情分析]　三角恒等变换与平面向量是高考的命题热点，三角恒等变换主要考查：(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式；(2)二倍角公式、半角公式的应用等；多以选择题、填空题的形式出现或隐含于解答题中，平面向量主要考查向量的模、夹角、数量积、系数的最值或范围等；难度为中等偏下． 考点一　三角恒等变换 1．两角和与差公式变形 sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β； tan α±tan β＝tan (α±β)·(1∓tan αtan β). 2．倍角公式变形 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝； 升幂公式：cos α＝2cos2－1，cosα＝1－2sin2； 配方变形：1±sin α＝(sin ±cos )2. 　(1)(2025·全国二卷)已知0＜α＜π，cos ＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． (2)(2025·郑州质量预测)若tan (α－β)＝3，＝18，则tan2α＝(　　) A．－ B．－2 C．－ D．－ 【解析】　(1)cos α＝2cos2－1＝2×()2－1＝－， 因为0＜α＜π，所以＜α＜π，则sinα＝＝＝，则sin(α－)＝sin αcos －cos α·sin ＝×－(－)×＝. (2)因为＝· ＝tan (α＋β)·tan (α－β)＝18， 且tan (α－β)＝3，所以tan (α＋β)＝6，故tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－. 【答案】　(1)D　(2)D 【解题技法】　给值求值问题的解题策略 给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示出来，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＋α＝－等，要善于观察各个角之间的关系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系． 　已知α∈，且4cos α－tan ＝，则α＝________． 【解析】　4cos α－tan (－α) ＝4cos α－ ＝4cos α－＝ ＝＝， 所以2sin 2α＝sin α＋cos α＝2sin (α＋). 因为α∈(，)， 所以2α∈(，π)，α＋∈(，)， 则2α＝α＋或2α＋α＋＝π，得α＝(舍去)或α＝. 【答案】　 【解题技法】　给值求角的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－，)，选正弦较好． 　1.(2025·陕西适应性检测)已知sin (α－)＋cos α＝，则cos ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选D．因为sin (α－)＋cos α＝， 所以sin α－cos α＋cos α＝， 即sin α＋cos α＝sin (α＋)＝， 则cos (2α＋)＝1－2sin2(α＋)＝1－2×＝. 2．(多选)(2025·南京、盐城一模)已知cosαcos β＝，cos (α＋β)＝，则(　　) A．sin αsin β＝ B．cos (α－β)＝ C．tan αtan β＝－ D．sin 2αsin 2β＝ 解析：选BC．因为cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，且cos αcos β＝，则sin αsin β＝－，故A错误； 由cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－＝，故B正确； 由tan αtan β＝＝＝－，故C正确； 由sin 2αsin 2β＝2sin αcos α·2sin βcos β＝4sin αsin βcos αcos β＝4×(－)×＝－，故D错误． 3．已知α，β∈，sin (α－β)＝，tan α＝3tan β，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．因为sin (α－β)＝，所以sin αcos β－cos αsin β＝　①.因为tan α＝3tan β，所以＝，即sin αcos β＝3cos αsin β　②.由①②得，sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1，因为α，β∈(0，)，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 考点二　平面向量 1．平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则 (1)cos θ＝. (2)|a·b|≤|a||b|. 2．常用结论 (1)向量a在向量b上的投影向量为·. (2)在△ABC中，给出＝(＋)，等价于已知AD是△ABC中BC边上的中线． (3)已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 　(1)(2025·广州综合测试)在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，＝4，点F是线段DE的中点，若＝λ＋μ，则μ＝(　　) A． B．1 C． D． (2)(2025·高三名校联考)在△ABC中，点F为AB的中点，＝2，BE与CF交于点P，且满足＝λ，则λ的值为________． 【解析】　(1) 如图，＝＋＝－， 所以＝＋＝＋＝＋－＝＋，故μ＝. (2) 如图，连接AP，由题意＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)·2＋λ·＝(2－2λ)＋λ，因为F，P，C三点共线，所以2－2λ＋λ＝1，解得λ＝. 【答案】　(1)C　(2) 【解题技法】　(1)根据平面向量基本定理恰当地选取基底，且变形要有方向，不能盲目转化． (2)在一般向量的线性运算中，只需要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比． 　(1)(2025·武汉四调)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，(a－b)⊥a，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． (2)(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中，||＝||＝，||＝2，设C(3，4)，则|2＋|的取值范围是(　　) A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12] 【解析】　(1)由题知(a－b)·a＝0， 所以a2－a·b＝0， 所以a2＝a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a|2， 又|a|＝1，|b|＝2， 所以cos 〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]， 所以〈a，b〉＝. (2)因为||＝||＝，||＝2， 由＝－平方可得，·＝0， 所以〈，〉＝. 2＋＝2(－)＋－＝＋－2，||＝＝5， 所以|2＋|2＝2＋2＋42－4(＋)· ＝2＋2＋4×25－4(＋)·＝104－4(＋)·， 又|(＋)·|≤|＋|||＝×5＝10， 即－10≤(＋)·≤10，所以|2＋|2∈[64，144]， 即|2＋|∈[8，12]. 【答案】　(1)C　(2)D 【解题技法】　(1)数量积的计算通常有①借“底”数字化；②借“系”坐标化． (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知的向量模和夹角进行计算． 　1.(多选)(2025·皖南八校联考)已知向量a，b满足|a－2b|＝，|a|＝|b|＝1，则(　　) A．a与b的夹角为 B．a与b的夹角为 C．|2a－3b|＝ D．a⊥(a＋2b) 解析：选ACD．对于A，B，设a与b的夹角为θ(0≤θ≤π)，因为|a－2b|＝，所以(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＝7，得a·b＝－，所以cos θ＝＝－，θ＝，故A正确，B错误；对于C，|2a－3b|＝＝＝＝，故C正确；对于D，a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1－1＝0，故a⊥(a＋2b)，故D正确． 2．(2025·天津卷)在△ABC中，D为AB中点，＝，记＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)；若||＝5，AE⊥CB，则·＝________． 解析： 如图，因为＝，所以－＝(－)，所以＝＋. 因为D为AB边的中点，所以＝＋＝a＋b； 又因为||＝5，AE⊥CB，所以2＝(a＋b)2＝a2＋a·b＋b2＝25， ·＝(a＋b)·(a－b)＝a2＋a·b－b2＝0， 所以a2＋3a·b＝4b2，所以a2＋4a·b＝180， 所以·＝(a＋b)·(－b＋a) ＝a2＋a·b－b2＝(a2＋2a·b－8b2) ＝(a2＋2a·b－2a2－6a·b) ＝(－a2－4a·b)＝－15. 答案：a＋b　－15 学科网（北京）股份有限公司 $