第5章 第3节 三角恒等变换（Word教用）-2022版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

第三节　三角恒等变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的关系 答案 ①sin αcos β－cos αsin β　②　③cos αcos β－sin αsin β　④cos2α－sin2α　⑤ 【知识拓展】 1．公式的常用变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)；tan αtan β＝1－＝－1；sin αcos α＝sin 2α. 2．降幂公式：sin2α＝；cos2α＝. 3．升幂公式：1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2；1＋sin α＝2；1－sin α＝2. 4．常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝ (α－β)＋β；β＝－＝ (α＋2β) －(α＋β)；α－β＝ (α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－(－α)等． 考点一　三角函数式的化简 (2021·江苏海安高级中学模拟)计算：sin 21°cos 9°＋sin 69°sin 9°的结果为(　　) A．－ B． C．－ D． 【解析】　sin 21°cos 9°＋sin 69°sin 9°＝sin 21°cos 9°＋cos 21°sin 9° ＝sin 30°＝. 【答案】　D (2021·吉林松原模拟)若sin α＝，且α∈，则tan(α＋)＝(　　) A．－ B． C．7 D． 【解析】　若sin α＝，且α∈， 则cos α＝－＝－＝－， 所以tan α＝＝＝－， 故tan＝＝＝. 【答案】　D 设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________． 【解析】　由sin 2α＝－sin α，得sin 2α＋sin α＝0， ∴2sin αcos α＋sin α＝0⇒sin α(2cos α＋1)＝0. ∵α∈，∴sin α≠0， ∴2cos α＋1＝0⇒cos α＝－， ∴sin α＝，∴tan α＝－， ∴tan 2α＝＝＝. 【答案】　 【名师点评】 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次． [针对训练] 1．(2021·长沙模拟)化简：＝________. 【解析】　＝＝＝4sin α. 答案：4sin α 2．化简：. 【解】　原式＝ ＝ ＝ ＝cos 2x. 考点二　三角恒等变换的综合应用 (2021·临沂模拟)如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1.连接BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于？ 【解析】　设∠PAB＝α，连接PB． 因为AB是直径所以∠APB＝90°. 又AB＝1，所以PA＝cos α，PB＝sin α. 因为PC是切线，所以∠BPC＝α. 又PC＝1， 所以S四边形ABCP＝S△APB＋S△BPC＝PA·PB＋PB·PC·sin α. ＝cos αsin α＋sin2α ＝sin 2α＋(1－cos 2α) ＝(sin 2α－cos 2α)＋ ＝sin(2α－)＋， 由已知sin(2α－)＋＝， 所以sin(2α－)＝， 又α∈(0，)，所以2α－∈(－，)，所以2α－＝，所以α＝， 故当点P位于AB的中垂线与半圆的交点时，四边形ABCP的面积等于. 【规律方法】 1．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 2．形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． [针对训练] 3．如图是半径为1的半圆，且四边形PQRS是半圆的内接矩形，设∠SOP＝α，求α为何值时矩形的面积最大，并求出最大值． 【解】　因为∠SOP＝α，所以PS＝sin α，SR＝2cos α，故S矩形PQRS＝SR·RS＝2cos α·sin α＝sin 2α，故当α＝时，矩形的面积有最大值1. 考点三　条件求值问题 角度一　给角求值 计算＝________. 【解析】　 ＝ ＝ ＝ ＝＝2. 【答案】　2 给角求值问题的解题策略 在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一定关系． [基本思路]　观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为： 　 角度二　给值求值 已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 【解】　(1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α. 因为sin2 α＋cos2 α＝1