第五章 平面向量（教用Word）-2022版高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

第1讲　平面向量的概念及线性运算 　　　　　　　　　　　　 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________． (2)零向量：长度为________的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于________的向量． (4)平行向量：方向相同或________的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向________的向量． (6)相反向量：长度相等且方向________的向量． 2．向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝________； 结合律：(a＋b)＋c＝____________ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝__________，当λ>0时，λa与a的方向________； 当λ<0时，λa与 a的方向________； 当λ＝0时， λ a＝________ λ(μ a)＝________； (λ＋μ)a＝________； λ(a＋b)＝________ 3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得__________． 自我校对： 1．方向　模　0　1个单位　相反　相同　相反 2．b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反　0　(λμ)a　λa＋μ a　λa＋λb 3．b＝λa 给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； ⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中真命题的序号是________． 【解析】　①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点． ②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反． ③是正确的，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形． ④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤是错误的，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线． 故填③. 【答案】　③ [方法指导] 辨析向量有关概念的五个关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．　 【变式训练】 1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 一、向量的线性运算 (1)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　) A.＝－＋　 B．＝－ C.＝＋ D．＝－ (2)在四边形ABCD中，＝，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则(　　) A.＝＋ B．＝＋ C.＝＋ D．＝＋ 【解析】　(1)因为＝3，所以＝， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故选A. (2)在四边形ABCD中，如图所示，因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．由已知得＝，由题意知△DEF∽△BEA，则＝，所以＝＝(－)＝×＝，所以＝＋＝＋＝＋，故选B. 【答案】　(1)A　(2)B 二、根据向量线性运算求参数 (1)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． (2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________． 【解析】　(1)＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋， 所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. (2)设＝y，因为＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y). 因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)． 所以y∈，因为＝x＋(1－x)， 所以x＝－y，所以x∈. 【答案】　(1)　(2) [名师点拨] 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何