专题4 提升点7 体育比赛与闯关问题 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

　　　　　　　　　　　　　　　　　专题强化训练 [A　基本技能] 1．甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制(先胜4局者胜，比赛结束).已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4∶2获胜的概率为(　　) A. B． C． D． 解析：选C.根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，则甲以4∶2获胜的概率为C×()3×()2×＝. 2．“五道方”是一种民间棋类游戏，甲、乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛．若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.因为约定连胜两场者赢得比赛，所以比赛6场后甲赢得比赛的情况为：第一场甲胜，第二场乙胜，第三场甲胜，第四场乙胜，第五场甲胜，第六场甲胜，所以所求概率为×××××＝. 3．甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛(每两个球队都要比赛一场)，每场比赛的计分方法是：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分．全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分．则(　　) A．甲胜乙 B．乙胜丙 C．乙平丁 D．丙平丁 解析：选C.甲、乙、丙、丁四支足球队总比赛场次为6场，总得分为6＋5＋4＋1＝16(分)，由比赛计分规则：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，可知在6场比赛中有2场比赛是平局，即3×4＋2×2＝16，丁得1分，即1＋0＋0＝1，所以丁在3场比赛中有1场是平局；丙得4分，即3＋1＋0＝4，所以丙在3场比赛中有1场是平局；而乙得分5分，即3＋1＋1＝5，所以乙在3场比赛中有2局是平局，所以乙胜甲，乙平丙，乙平丁，丙胜丁． 4．(多选)在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入决赛．决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为p(0≤p＜1)，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则(　　) A．乙连胜三场的概率是(1－p)3 B．P(X＝4)＝3p3(1－p)＋3p(1－p)3 C．P(X＝5)＝12p2(1－p)2 D．P(X＝5)的最大值是 解析：选BD.乙连胜三场时比赛局数可能是3，4，5， 比赛局数为3时，乙连胜三场的概率是(1－p)3； 比赛局数为4时，乙连胜三场的概率是p(1－p)3； 比赛局数为5时，乙连胜三场的概率是p2(1－p)3，故A错误； 由题意可知，决赛中的比赛局数X的可能取值为3，4，5， 则P(X＝4)＝3(1－p)p3＋3p(1－p)3，故B正确； P(X＝5)＝6(1－p)2p3＋6p2(1－p)3＝6p2(1－p)2＝6p4－12p3＋6p2，故C错误； 令f(p)＝6p4－12p3＋6p2， 则f′(p)＝24p3－36p2＋12p＝12p(2p－1)(p－1)， 因为0≤p<1， 所以当0≤p＜时，f′(p)≥0， 当＜p＜1时，f′(p)＜0， 故函数f(p)在[0，)上单调递增，在(，1)上单调递减， 则当p＝时，函数f(p)取最大值， 所以P(X＝5)的最大值是，故D正确． 5．某种体育比赛采用五局三胜制，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲、乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． (1)求甲以3∶1获胜的概率； (2)如果还有三局两胜制可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 解：(1)若甲以3∶1获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为2∶1，所以所求概率为P＝C×()2××＝. (2)采用五局三胜制甲会以3∶0，3∶1，3∶2获胜，所以采用五局三胜制甲获胜的概率为P1＝()3＋C×()2××＋C×()2×()2×＝. 采用三局两胜制甲会以2∶0，2∶1获胜，所以采用三局两胜制甲获胜的概率为P2＝()2＋C×××＝＝. 因为＞，所以采用五局三胜制的赛制对甲更有利． 6．某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最后根据积分选出最后的冠军．积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3∶2取胜的队员积2分，失败的队员积1分．已知第10场张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为p(0＜p＜1). (1)求比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率； (2)在第10场比赛中，记张三以3∶1取胜的概率为f(p)，求出f(p)的最大值点p0. 解：(1)根据题意，比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率为＝. (2)由题可知f(p)＝Cp3(1－p)＝3p3(1－p)，0＜p＜1，f′(p)＝3[3p2(1－p)＋p3×(－1)]＝3p2(3－4p)， 令f′(p)＝0，得p＝，当p∈(0，)时，f′(p)＞0，f(p)在(0，)上单调递增； 当p∈(，1)时，f′(p)＜0，f(p)在(，1)上单调递减． 所以f(p)的最大值点p0＝. 7．在某公司举办的职业技能竞赛中，只有甲、乙两人晋级决赛，已知决赛第一天采用五场三胜制，即先赢三场者获胜，当天的比赛结束，决赛第二天的赛制与第一天相同．在两天的比赛中，若某位选手连胜两天，则他获得最终冠军，决赛结束，若两位选手各胜一天，则需进行第三天的比赛，第三天的比赛为三场两胜制，即先赢两场者获胜，并获得最终冠军，决赛结束．每天每场的比赛只有甲胜与乙胜两种结果，每场比赛的结果相互独立，且每场比赛甲获胜的概率均为p(0＜p＜1). (1)若p＝，求第一天比赛的总场数为4的概率； (2)若p＝，求决出最终冠军时比赛的总场数至多为8的概率． 解：(1)若第一天比赛的总场数为4，且甲获胜，则前3场甲赢了2场，第4场甲获胜，则概率为P1＝C×()2××＝. 若第一天比赛的总场数为4，且乙获胜， 则前3场乙赢了2场，第4场乙获胜， 则概率为P2＝C×()2××＝. 故第一天比赛的总场数为4的概率为P1＋P2＝＋＝. (2)设决出最终冠军时比赛的总场数为Y， 其中Y最小为6，即决赛第一天和第二天均比赛3场结束，且两天均为甲胜或乙胜，故P(Y＝6)＝()3×()3×2＝. 当Y＝7时，即决赛第一天和第二天均为甲胜或乙胜，且一天比赛了4场，另一天比赛了3场，其中比赛了4场的概率为C×()2××＝，比赛了3场的概率为()3＝， 则P(Y＝7)＝××2×2＝. 当Y＝8时，分为三种情况， 第一种，决赛第一天和第二天均为甲胜或乙胜，且两天均比赛了4场， 此时概率为××2＝； 第二种，决赛第一天和第二天均为甲胜或乙胜，且一天比赛了5场，另一天比赛了3场，此时概率为C×()2×()2××()3×2×2＝； 第三种，决赛第一天和第二天，甲、乙分别胜一天，且两天均比赛了3场，决赛第三天比赛了2场，甲胜或乙胜， 此时概率为()3×()3×2×()2×2＝， 则P(Y＝8)＝＋＋＝. 故P(Y≤8)＝P(Y＝6)＋P(Y＝7)＋P(Y＝8)＝＋＋＝. [B　综合运用] 8．已知某小组有甲、乙、丙、丁四支足球队，这四支球队之间进行单循环比赛(每两个球队都要比赛一场).每场比赛胜者积3分，负者积0分．若出现平局，则比赛双方各积1分．若每场比赛中，一支球队胜对手或负对手的概率均为，出现平局的概率为. (1)求甲队在参加两场比赛后积分X的分布列与数学期望； (2)小组赛结束后，求四支球队积分均相同的概率． 解：(1)甲队参加两场比赛后积分X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，则 P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝， P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝×＋×＝， P(X＝4)＝×＋×＝， P(X＝6)＝×＝，所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝. (2)由于小组赛共打6场比赛，每场比赛两支球队共积2分或者3分，6场比赛总积分的所有情况为12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分，共7种情况，要使四支球队积分相同，则总积分能被4整除，所以每支球队总积分为3分或者4分． 若每支球队得3分，则6场比赛都出现平局，其概率为P1＝＝；若每支球队得4分，则每支球队3场比赛结果均为1胜1平1负，其概率为P2＝××××××6＝. 所以四支球队积分均相同的概率为 P＝P1＋P2＝＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $