专题4 提升点7 概率统计中的综合问题 专题强化训练-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

专题强化训练 1．[2024·徐州适应性测试]某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件学习兴趣高，事件主动预习.据统计显示，，，. （1） 计算和的值，并判断与是否相互独立； （2） 为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层随机抽样的方式抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得.为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原本的倍，根据小概率值的独立性检验，认为学习兴趣与主动预习有关，试确定的最小值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】 （1） 解：由已知，， 又因为， 所以， 所以， 又， 所以，所以 与 不相互独立. （2） 假设原列联表为 预习 兴趣 合计 高 一般 主动 不太主动 合计 根据原数据有. 若将样本容量调整为原来的 倍， 则新的列联表为 预习 兴趣 合计 高 一般 主动 不太主动 合计 则新的，解得， 又，所以 的最小值为6. 2．高性能计算芯片是一切人工智能的基础.国内某企业已启动芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测.智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标.人工检测综合指标不达标的概率为. （1） 求每个芯片智能检测不达标的概率； （2） 人工检测抽检50个芯片，记事件“恰有1个不达标”的概率为，当时，取得最大值，求； （3） 若芯片的合格率不超过时，则需对生产工序进行改良.以（2）中确定的作为的值，试判断该企业是否需要对生产工序进行改良. 【答案】（1） 解：记事件“每个 芯片智能检测不达标”，则. （2） 由题意得，， 所以， 令，则 或（舍去）， 当 时，，所以函数 单调递增； 当 时，，所以函数 单调递减,所以 在 处取得最大值，即. （3） 记事件“人工检测达标”， 则， 又， 所以， 所以该企业需要对生产工序进行改良. 3．[2024·潍坊模拟]若 ， 是样本空间 上的两个离散型随机变量，则称是 上的二维离散型随机变量或二维随机向量.设的一切可能取值为，，，2， ，记表示在 中出现的概率，其中. （1） 将3个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的3个盒子中，记1号盒子中的小球个数为 ，2号盒子中的小球个数为 ，则是一个二维离散型随机变量. ① 写出该二维离散型随机变量的所有可能取值； ② 若是①中的值，求（结果用，表示）. （2） 称为二维离散型随机变量关于 的边缘分布律或边际分布律，求证：. 【答案】① 解：该二维离散型随机变量 的所有可能取值为，，，，，，，，，. ② 由题意得， . 因为， ，所以. （2） 证明：由定义及全概率公式知， . 4．[2024·重庆调研]马尔可夫链可以说是机器学习和人工智能的基石，在自然语言处理、天气预测、语音识别方面都有着极其广泛的应用，因俄国数学家安德雷·马尔可夫得名.它的一个关键特性是无记忆性，即已知目标当前的状态，就可以确定目标将来的状态，而与目标过去如何变化无关. 假设数轴的原点上有一只蚂蚱，它每秒朝数轴正方向跳跃一次.有的概率跳1个单位长度，的概率跳2个单位长度，的概率跳3个单位长度.如果我们知道某个时刻（，单位：秒）蚂蚱在数轴上的位置，那么时刻蚂蚱在数轴上的位置也是确定的，即有的概率在，的概率在，的概率在.不管蚂蚱在时刻之前是如何跳的，在时刻的位置都是确定的.按照上面的定义，蚂蚱的位置变化就具有无记忆性. 对于自然数，我们约定表示蚂蚱会落在的概率.例如：蚂蚱要落在2，要么第一次跳2个单位长度，要么第一次和第二次都跳1个单位长度也就是. （1） 计算，； （2） 证明：对一切正整数，都有，并且是常数； （3） 蚂蚱落在，，中哪个的概率最大？ 【答案】 （1） 解：落在0的概率，落在1的概率. 落在3有3种可能：从0跳3个单位长度,从1跳2个单位长度,从2跳1个单位长度,所以. 落在4有3种可能：从1跳3个单位长度，从2跳2个单位长度，从3跳1个单位长度. 所以. （2） 证明：蚂蚱要落在 有3种可能：从 跳1个单位长度，从 跳2个单位长度，从 跳3个单位长度. 所以， 变形得. 记， 则, 所以 是常数列， 而， 因此对一切，是常数. （3） 由（2）可得，， 因此， . 可得 . 同理 ， 所以，， 即蚂蚱落在2 025的概率最大. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $