专题4 第3讲 随机变量的均值与方差-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

第3讲　随机变量的均值与方差 [考情分析]　离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，选择题、填空题、解答题都有出现，难度中等． 考点一　随机变量的均值与方差的计算 离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(1)pi≥0，i＝1，2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. (3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.　 (4)D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn. (5)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X). 　(2025·北京卷节选)有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率． (1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率． (2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望． 【解】　(1)用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对该题目的概率为＝. (2)设事件A为“从甲校抽取1人做对”，则P(A)＝0.8，则P()＝0.2，设事件B为“从乙校抽取1人做对”，则P(B)＝0.75，则P()＝0.25，设事件C为“恰有1人做对”，故P(C)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.35，而X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝P()＝0.05，P(X＝1)＝0.35，P(X＝2)＝0.8×0.75＝0.6， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 0.05 0.35 0.6 故E(X)＝0×0.05＋1×0.35＋2×0.6＝1.55. 【解题技法】　解决离散型随机变量分布列问题的两个关键点 (1)正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率； (2)正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从特殊分布，则可直接使用公式求解． 　1.已知X的分布列如表所示，且Y＝aX＋b，E(Y)＝，则D(Y)的值为(　　) X －1 0 1 P a A．1 B． C． D． 解析：选D．由a＋＋＝1可得a＝， 所以E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－， D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝， 所以D(Y)＝a2D(X)＝×＝. 2．(2025·全国一卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝________． 解析：方法一：由题意得X的可能取值为1，2，3. P(X＝1)＝C()3＝； P(X＝3)＝A·()3＝； P(X＝2)＝CCC()3＝ (另解：P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝). 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 方法二：令Xi＝(i＝1，2，3，4，5)， 则X＝X1＋X2＋X3＋X4＋X5，E(Xi)＝P(球i至少被取出一次)＝1－P(球i没被取出过)＝1－()3＝.故E(X)＝E(X1)＋E(X2)＋E(X3)＋E(X4)＋E(X5)＝5×＝. 答案： 考点二　实际生活中的决策问题 　(2025·温州二模)PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由A，B，C，D四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页A开始浏览(记为第1次停留). (1)求该用户第3次停留在网页D上的概率； (2)某广告公司准备在网页B，C中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由． 【解】　(1)第3次停留在网页D上的事件有A→B→D，A→C→D，故所求概率为P＝×＋×＝. (2)由题意知， 用Ai，Bi，Ci，Di(1≤i≤4，i∈N*)表示第i次停留在网页A，B，C，D的事件， 则P(B1)＝P(C1)＝0，P(B2)＝P(C2)＝， P(B3)＝0，P(C3)＝×＝， P(B4)＝××＋×××2＝，P(C4)＝××＋×××2＝， 所以E(B)＝＋，E(C)＝＋＋＞E(B)，故该公司应该选择网页C． 【解题技法】　利用均值、方差进行决策的2个策略 (1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断． (2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策． 　某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且P(X＝20)＝0.3，期望E(X)＝30. 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为0.3，0.4，0.3. (1)请写出方案一的分布列，并求方差D(X)； (2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 解：(1)设P(X＝0)＝a，P(X＝40)＝b， 依题意得a＋b＋0.3＝1，① 又E(X)＝0×a＋20×0.3＋40b＝30，② 由①②解得a＝0.1，b＝0.6. 所以X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 则D(X)＝(0－30)2×0.1＋(20－30)2×0.3＋(40－30)2×0.6＝180. (2)由题得Y的分布列为 Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 则E(Y)＝10×0.3＋20×0.4＋30×0.3＝20， D(Y)＝(10－20)2×0.3＋(20－20)2×0.4＋(30－20)2×0.3＝60. 由E(X)＞E(Y)可知采用投放平台广告期望收益较高，又D(X)＞D(Y)，说明投放平台广告的风险较高．综上所述，如果公司期望高收益，选择投放平台广告；如果公司期望收益稳定，选择投放传统广告． 学科网（北京）股份有限公司 $