2026年中考一轮复习 专题15三角形及其性质 突破讲义(全国通用)

专题15三角形及其性质突破讲义 【模块一 与三角形有关的线段】...........................................5 【题型01 三角形的认识】.................................................5 【题型02 三角形的分类】.................................................6 【题型03 三角形的稳定性】...............................................7 【题型04 三角形的三边关系】.............................................8 【题型05 三角形的高】...................................................9 【题型06 三角形的中线】................................................10 【题型07 三角形的角平分线】............................................11 【模块二 与三角形有关的角 】...........................................11 【题型08 与平行线有关的三角形内角和问题】..............................11 【题型09 与角平分线有关的三角形内角和问题】............................12 【题型10 三角形折叠中角度问题】........................................13 【题型11 三角形的外角定义及性质】......................................14 模块三 三角形拓展模型】...............................................15 【题型12顶分三角模型】.................................................15 【题型13 对角和模型】..................................................15 【题型14 分叉三角模型】................................................16 【题型15 直角互余模型】................................................17 【题型16 平角互补模型】................................................18 【题型17 共线等角模型】................................................19 【模块四 角平分线夹角模型】............................................20 【题型18 双内分线夹角模型】............................................20 【题型19 双外分线夹角模型】............................................21 【题型20 内外分线夹角模型】............................................22 【题型21 对顶分线夹角模型】............................................23 分值占比:中考几何基础必拿分板块，8-15 分全覆盖选择 / 填空 / 解答，几何解题核心铺垫，性价比拉满！ 核心考点: 三角基本性质（三边关系 + 内角和 / 外角 + 稳定性） 高 / 中线 / 角平分线 / 重心核心性质 平行线 / 角平分线结合导角 + 折叠计算 + 面积等积变换 命题趋势:✅基础题：概念直算，送分题务必全拿✅中档题：线段 / 角平分线 + 折叠导角，几何推理核心拉分✅综合题：衔接平行线 / 四边形 / 圆，基础性质是解题关键 ★知识梳理★ 知识点01:与三角形有关的线段 1. 基础认知 三角形的认识：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形。 三角形的分类： 按边：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形 按角：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 稳定性：三角形形状固定不变（区别于四边形的不稳定性） 2. 核心性质与线段 三边关系： 任意两边之和 大于 第三边 任意两边之差 小于 第三边 应用：判断能否组成三角形、求第三边取值范围 三角形的高： 定义：从顶点向对边作垂线，垂线段 性质：锐角三角形高在内部；直角三角形直角边互为高；钝角三角形高在外部 应用：配合底求面积、等积变换 三角形的中线： 定义：连接顶点与对边中点的线段 性质：三条中线交于重心；重心分中线为 2:1（顶点：中点）；中线分三角形面积相等 定义：平分内角且与对边相交的线段 性质：三线交于内心；角平分线上的点到角两边距离相等 知识点02:与三角形有关的角 1. 核心定理 内角和定理：三角形三个内角和等于 180∘ 证明：通过作平行线，利用平行线性质推导 外角的定义及性质： 定义：一边与另一边的延长线组成的角 性质：外角等于与它不相邻的两个内角和；外角大于任何一个不相邻内角 2. 高频考法（模型应用） 1.平行线 + 三角形：利用平行线性质（同位 / 内错）转化角度，结合内角和求解 已知：PQ∥BC 由 PQ∥BC，得 ∠PAB=∠B，∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。 由平角定义，∠PAB+∠BAC+∠QAC=180∘。 代入得 ∠B+∠BAC+∠C=180∘（三角形内角和定理），可据此求解未知角。 2.角平分线 + 内角和：利用角平分定义，建立角之间的等量代换关系求解 已知：AD 平分 ∠BAC 由 AD 平分 ∠BAC，得 ∠BAD=∠CAD=∠BAC（角平分线的定义）。 在 △ABC 中，∠BAC+∠B+∠C=180∘（三角形内角和定理）。 结合 △ABD 或 △ADC 的内角和，通过等量代换求解未知角。 3.折叠问题：利用折叠前后全等（对应角相等）的性质，结合内角和 / 外角进行导角计算 由折叠得 △ACD≅△AFD，因此 ∠C=∠F，∠CAD=∠FAD，∠ADC=∠ADF 极简备考口诀 三边关系要记牢，两边之和大于第三。高分内外看角类，中线重心比二点。 内角一百八定死，外角等于两内和。平行折叠全等性，角度计算快准狠。 【模块一 与三角形有关的线段】 【题型1.三角形的认识】 【典例】如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是___个． 【跟踪专练1】如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练2】如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，如果CDE的面积为3，BCE的面积为4，AED的面积为6，那么ABE的面积为______． 【跟踪专练3】在中，和都是锐角，且，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不确定 【题型2.三角形的分类】 【典例】如图，三角形有一部分被墨迹所遮挡，观察可判断三角形的形状为________三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）      【跟踪专练1】用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒个单位沿射线运动． （1）当运动时间是_____秒时，是直角三角形． （2）当运动时间的取值范围是______秒时，是钝角三角形． 【跟踪专练3】将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（    ） A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形 C．都是钝角三角形 D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形 【题型3.三角形的稳定性】 【典例】如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是________． 【跟踪专练1】如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 【跟踪专练2】大桥钢架、索道支架、人字梁等为了坚固，都采用三角形结构，这样做的根据是_____；学校门口的电动推拉门是利用四边形的______． 【跟踪专练3】下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【题型4.三角形的三边关系】 【典例】开放性试题如图，湖泊对岸的凉亭B和C到大门A的距离分别是和，则的长可能是__________m（写出一个即可） 【跟踪专练1】如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】三角形的两边长为3和6，第三边长是方程 的根，则该三角形的周长为____________． 【跟踪专练3】如图，在中，于D，于E，于F．下列结论：①；②以、、DF为边构成三角形是直角三角形；③结论正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型5.三角形的高】 【典例】如图，的高相交于点O，添加一个条件：_______，使． 【跟踪专练1】画中边上的高，正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】中，，，高，则______ 【跟踪专练3】已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【题型6.三角形的中线】 【典例】如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是______． . 【跟踪专练1】如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知：G是的重心，，那么______． 【跟踪专练3】如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【题型7.三角形的角平分线】 【典例】如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有 _______． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 【跟踪专练1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线 【跟踪专练2】如图，在中，平分于点，连接，则的面积是______． 【跟踪专练3】如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【模块二 与三角形有关的角】 【题型8.与平行线有关的三角形内角和问题】 【典例】如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＝_____°． 【跟踪专练1】如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为________．    【跟踪专练3】两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【题型9.与角平分线有关的三角形内角和问题】 【典例】如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AE，AD分别是角平分线和高，则∠DAE的度数是__________． 【跟踪专练1】如图，在中，，点I是的内心，连接，则的度数是（    ） 　 A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则______．    【跟踪专练3】如图，在中，，为的角平分线相交于点P，过点P作交延长线于点F，下列四个结论：①；②；③；④连接，则平分．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【题型10.三角形折叠中角度问题】 【典例】如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B=______°． 【跟踪专练1】如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为___________ 【跟踪专练3】如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型11.三角形的外角的定义及性质】 【典例】如图，在中，，外角，则 ______． 【跟踪专练1】如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，连接交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，、相交于点O，平分分别交、于点F、E，若，则的度数为________． 【跟踪专练3】如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【题型12.顶分三角模型】 【典例】如图，与相交于点，，若， ，则_______度． 【跟踪专练1】如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点．若，则的度数为___________． 【跟踪专练3】如图，等腰直角三角形和等边三角形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型13.对角和等模型】 【典例】四边形是平行四边形，，点在上，．若，则__________． 【跟踪专练1】在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是_______ 【跟踪专练2】如图，在四边形中，分别平分和，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，四边形中，，，分别平分和，则____________． 【题型14.分叉三角模型】 【典例】如图，中，若，O为三条角平分线的交点，则_________ 度． 【跟踪专练1】如图，中，角平分线，，相交于点H，过H点作，垂足为G，那么和的大小关系为（    ） A． B． C． D．不一定 【跟踪专练2】如图，在中，、分别为与的角平分线，交点为O，若，连接，则的度数为______． 【跟踪专练3】如图，和的平分线交于点，连接的外角的平分线与的延长线交于点交于点．下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确的结论有（　　） A．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④ 【题型15.直角互余模型】 【典例】如图，有一张三角形纸片．其中．将该纸片沿剪开，得到一张四边形纸片，则的度数为________． 【跟踪专练1】如图，中，D在的延长线上，过D作于F，交于E．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，平分交于点，，，M、N分别是、延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为___________． 【跟踪专练3】如图，在中，，点D是边上一点，分别过点A，D作于点E，于点点G是直线上一点，作，则与的数量关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．相等或互余 【题型16.平角互补模型】 【典例】如图，和是的两个外角，若，，则_____°． 【跟踪专练1】在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是在称物时的状态，已知，则的度数是（　　） A．130° B．110° C．70° D．20° 【跟踪专练2】如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则__________时，． 【跟踪专练2】如图，直线AB与CD相交于点O，，，OE平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型17.共线等角模型】 【典例】如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则_____________． 【跟踪专练1】如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，的度数为______． 【跟踪专练3】如图，将三角形纸片沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【模块四 角平分线夹角模型类】 【题型18.双内分线夹角模型】 【典例】已知：，分别平分，则______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则的值为（    ） A．135 B．140 C．145 D．150 【跟踪专练2】如图，在中，的角平分线相交于点P，则__________． 【跟踪专练3】如图，三边的长分别为a，b，c，与的平分线交于点，若到的距离为，则有下列结论①垂直平分；②；③点到的距离为；④．其中一定正确的是（  ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【题型19.双外分线夹角模型】 【带那里】如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数_________． 【跟踪专练1】如图，的两外角，的平分线交于点P，．则_______． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是嘉嘉在电脑上的截图，不慎将三角形顶点及部分边截掉，、的外角平分线交于点． （1）若，，则截掉的___________； （2）若，则___________． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【题型20.内外分线夹角模型】 【典例】如图，已知中，，BD平分，AD平分外角，则______度． 【跟踪专练1】如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，等腰中，，三角形的内外角的角平分线交于点，的度数为______． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 【题型21.对顶分线夹角模型】 【典例】如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为________度． 【跟踪专练1】如图，已知分别是和的角平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是___． 【跟踪专练3】如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（　　） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15三角形及其性质突破讲义 【模块一 与三角形有关的线段】...........................................5 【题型01 三角形的认识】.................................................5 【题型02 三角形的分类】.................................................8 【题型03 三角形的稳定性】..............................................11 【题型04 三角形的三边关系】............................................12 【题型05 三角形的高】..................................................16 【题型06 三角形的中线】................................................18 【题型07 三角形的角平分线】............................................21 【模块二 与三角形有关的角 】...........................................25 【题型08 与平行线有关的三角形内角和问题】..............................25 【题型09 与角平分线有关的三角形内角和问题】............................28 【题型10 三角形折叠中角度问题】........................................31 【题型11 三角形的外角定义及性质】......................................34 模块三 三角形拓展模型】...............................................37 【题型12顶分三角模型】.................................................37 【题型13 对角和模型】..................................................40 【题型14 分叉三角模型】................................................42 【题型15 直角互余模型】................................................47 【题型16 平角互补模型】................................................50 【题型17 共线等角模型】................................................53 【模块四 角平分线夹角模型】............................................56 【题型18 双内分线夹角模型】............................................56 【题型19 双外分线夹角模型】............................................59 【题型20 内外分线夹角模型】............................................63 【题型21 对顶分线夹角模型】............................................66 分值占比:中考几何基础必拿分板块，8-15 分全覆盖选择 / 填空 / 解答，几何解题核心铺垫，性价比拉满！ 核心考点: 三角基本性质（三边关系 + 内角和 / 外角 + 稳定性） 高 / 中线 / 角平分线 / 重心核心性质 平行线 / 角平分线结合导角 + 折叠计算 + 面积等积变换 命题趋势:✅基础题：概念直算，送分题务必全拿✅中档题：线段 / 角平分线 + 折叠导角，几何推理核心拉分✅综合题：衔接平行线 / 四边形 / 圆，基础性质是解题关键 ★知识梳理★ 知识点01:与三角形有关的线段 1. 基础认知 三角形的认识：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形。 三角形的分类： 按边：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形 按角：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 稳定性：三角形形状固定不变（区别于四边形的不稳定性） 2. 核心性质与线段 三边关系： 任意两边之和 大于 第三边 任意两边之差 小于 第三边 应用：判断能否组成三角形、求第三边取值范围 三角形的高： 定义：从顶点向对边作垂线，垂线段 性质：锐角三角形高在内部；直角三角形直角边互为高；钝角三角形高在外部 应用：配合底求面积、等积变换 三角形的中线： 定义：连接顶点与对边中点的线段 性质：三条中线交于重心；重心分中线为 2:1（顶点：中点）；中线分三角形面积相等 三角形的角平分线： 定义：平分内角且与对边相交的线段 性质：三线交于内心；角平分线上的点到角两边距离相等 知识点02:与三角形有关的角 1. 核心定理 内角和定理：三角形三个内角和等于 180∘ 证明：通过作平行线，利用平行线性质推导 外角的定义及性质： 定义：一边与另一边的延长线组成的角 性质：外角等于与它不相邻的两个内角和；外角大于任何一个不相邻内角 2. 高频考法（模型应用） 1.平行线 + 三角形：利用平行线性质（同位 / 内错）转化角度，结合内角和求解 已知：PQ∥BC 由 PQ∥BC，得 ∠PAB=∠B，∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。 由平角定义，∠PAB+∠BAC+∠QAC=180∘。 代入得 ∠B+∠BAC+∠C=180∘（三角形内角和定理），可据此求解未知角。 2.角平分线 + 内角和：利用角平分定义，建立角之间的等量代换关系求解 已知：AD 平分 ∠BAC 由 AD 平分 ∠BAC，得 ∠BAD=∠CAD=∠BAC（角平分线的定义）。 在 △ABC 中，∠BAC+∠B+∠C=180∘（三角形内角和定理）。 结合 △ABD 或 △ADC 的内角和，通过等量代换求解未知角。 3.折叠问题：利用折叠前后全等（对应角相等）的性质，结合内角和 / 外角进行导角计算 由折叠得 △ACD≅△AFD，因此 ∠C=∠F，∠CAD=∠FAD，∠ADC=∠ADF 极简备考口诀 三边关系要记牢，两边之和大于第三。高分内外看角类，中线重心比二点。 内角一百八定死，外角等于两内和。平行折叠全等性，角度计算快准狠。 【模块一 与三角形有关的线段】 【题型1.三角形的认识】 .【典例】如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是___个． 【答案】4 【分析】尝试在网格中寻找符合条件的点，总共有16个点，可以依次尝试一遍，从而得解．本题考查在格点中找寻符合要求的点，此类题型，我们需要大胆尝试． 【详解】如图，满足条件的点C共有4个． 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据各选项画出相应图形，再数三角形的个数即可得． 【详解】A、拿掉，，后，剩下的图形如下： 图形中恰好有7个三角形，此项符合题意； B、拿掉，，后，剩下的图形如下： 图形中有4个三角形，此项不符题意； C、拿掉，，后，剩下的图形如下： 图形中有6个三角形，此项不符题意； D、拿掉，，后，剩下的图形如下： 图形中有9个三角形，此项不符题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的概念，正确画出剩下的图形是解题关键． 【跟踪专练2】如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，如果CDE的面积为3，BCE的面积为4，AED的面积为6，那么ABE的面积为______． 【答案】8 【分析】根据三角形的高相等，面积比等于底的比，可得CE：AE=，进而可求出答案． 【详解】∵S△CDE=3，S△ADE=6， ∴CE：AE=3：6=（高相等，面积比等于底的比） ∴S△BCE：S△ABE=CE：AE=， ∵S△BCE=4， ∴S△ABE=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了三角形的面积，弄清题中各个三角形之间面积的关系是解决问题的关键． 【跟踪专练3】在中，和都是锐角，且，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，由，和都是锐角，可得，，故，可得是钝角三角形，解题的关键是掌握的三角函数值． 【详解】解：∵，和都是锐角， ∴，， ∴ ∴是钝角三角形， 故选：． 【题型2.三角形的分类】 【典例】如图，三角形有一部分被墨迹所遮挡，观察可判断三角形的形状为________三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）      【答案】钝角 【分析】根据三角形的内角和定理可求出被遮住的角的度数，根据三角形的分类即可求解． 【详解】解：根据题意可知被遮住的角的度数为， ∵， ∴该三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握以上知识是解题的关键． 【跟踪专练1】用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒个单位沿射线运动． （1）当运动时间是_____秒时，是直角三角形． （2）当运动时间的取值范围是______秒时，是钝角三角形． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，三角形的分类； （1）过作于，，交于，根据含度角的直角三角形的性质求得的长即可求解； （2）根据（1）的结论，结合图形，即可求解． 【详解】解：如图，过作于，，交于， 则，， ， ，， ， ，， ∴当运动时间为或时，是直角三角形． 故答案为：或． （2）由（1）可得，； 当运动时间的取值范围是或秒时，是钝角三角形． 故答案为：． 【跟踪专练3】将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（    ） A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形 C．都是钝角三角形 D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形． 【详解】如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．    如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．    如图，锐角三角形或钝角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形．    因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形． 综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 【题型3.三角形的稳定性】 【典例】如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是________． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；根据三角形的稳定性进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：其蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故答案为：三角形的稳定性． 【跟踪专练1】如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 【答案】B 【分析】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性， 故选：B． 【跟踪专练2】大桥钢架、索道支架、人字梁等为了坚固，都采用三角形结构，这样做的根据是_____；学校门口的电动推拉门是利用四边形的______． 【答案】 三角形的稳定性 不稳定性 【分析】三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．根据三角形的稳定性与四边形的不稳定性分析，即可得到答案． 【详解】解：大桥钢架、索道支架、人字梁等为了坚固，都采用三角形结构，这样做的根据是：三角形的稳定性； 学校门口的电动推拉门是利用四边形的：不稳定性． 故答案为：三角形的稳定性，不稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，是基础题型，正确理解三角形的稳定性与四边形的不稳定性是解题关键． 【跟踪专练3】下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 【题型4.三角形的三边关系】 【典例】开放性试题如图，湖泊对岸的凉亭B和C到大门A的距离分别是和，则的长可能是__________m（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键； 此题可根据三角形的三边关系的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：由题意得：，即； 在区间内， ∴的长可能是， 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练1】如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故选：A． 【跟踪专练2】三角形的两边长为3和6，第三边长是方程 的根，则该三角形的周长为____________． 【答案】13 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系；先求出方程的两个根，然后根据三角形的三边关系确定符合条件的第三边，最后计算周长即可． 【详解】解：解方程 ， 因式分解得 ， 所以 ，． 当第三边为 3 时，两边之和 ，等于第三边 6，不满足三角形三边关系； 当第三边为 4 时，两边之和 ，，，满足三边关系， ∴第三边为 4， 周长为 ． 故答案为: 13． 【跟踪专练3】如图，在中，于D，于E，于F．下列结论：①；②以、、DF为边构成三角形是直角三角形；③结论正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形三边关系，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，综合运用这些知识是解题关键． ①利用勾股定理和面积法计算即可，故①错误； ②利用勾股定理和面积法计算即可，故②正确； ③先证明，利用三角函数得,，，再换算即可，故③正确． 【详解】解：①在中，于D，， 由得， ， 故①错误． ②， ， ∴， ， 故②正确． ③∵， ∴四边形为矩形， ， ， ， 同理：， ， ∴， ∵=， ， 又∴， ； 故③正确． 故选：C． 【题型5.三角形的高】 【典例】如图，的高相交于点O，添加一个条件：_______，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，根据等面积法可得，则当时有，据此可得答案． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵的高相交于点O， ∴， ∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】画中边上的高，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键；根据三角形的高可进行排除选项． 【详解】解：由题意可知只有D选项符合的边上的高； 故选D． 【跟踪专练2】中，，，高，则______ 【答案】14或4 【分析】本题考查了勾股定理在三角形中的应用，解题的关键是考虑高的位置（在三角形内部或外部），分情况计算的长度． 利用勾股定理分别在和中求出和的长度；分在内部和外部两种情况，计算的长度（内部时外部时． 【详解】解：∵是的高， ∴ 和均为直角三角形，． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 分两种情况讨论： ①当在内部时， ②当在外部时，． 故答案为：或． 【跟踪专练3】已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是，求得三条边的比，设三边为，， 三条对应的高为，，，根据的面积的求解方法即可求得，由的三条高的比是，易得，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案． 【详解】解：设三边为，， 三条对应的高为，，， 可得：， 已知， 可得， 三边均为整数． 又个答案分别是10，12，14，16． 的边长可能是12． 故选：B． 【题型6.三角形的中线】 【典例】如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是______． 【答案】 【分析】本题考查等面积法求线段比值，涉及中线等分三角形面积、三角形面积公式等知识，由是边上的中线，得到，进而由三角形面积公式代值表示，最后结合即可得到，恒等变形即可得到答案，熟记中线等分三角形面积、三角形面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：在中，是边上的中线， ， ，， ， ， ，即与的长度之比是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，关键是相等线段的转化． 由中线可得与周长差等于边与的差，进而可以得到的周长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 即的周长为． 故答案选：A ． 【跟踪专练2】如图，已知：G是的重心，，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形的中线的性质，根据G是的重心，得出是的中线，可得，根据重心的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵G是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过延长 交 于点 ，利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出线段和面积的关系来求解． 【详解】解：延长 交 于点 平分， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 和 等底等高， ， ， ， ， 故选： 【题型7.三角形的角平分线】 【典例】如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有 _______． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查三角形的角平分线，中线和高，关键是掌握三角形的角平分线、中线、高的定义．由三角形的角平分线、中线、高的定义，即可判断． 【详解】解：①，是的角平分线，故①错误，不符合题意； ②是中点，是边上的中线，故②错误，不符合题意； ③，是边上的高，故③正确，符合题意； ③，，是的角子分线和高，故④正确，符合题意． ∴以上判断正确的有③④． 故答案为：③④． 【跟踪专练1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解即可，解题的关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义． 【详解】解：由图的折叠方式可知，， 所以是的角平分线； 由图的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线； 由图的折叠方式可知，， 所以是的中线， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在中，平分于点，连接，则的面积是______． 【答案】2.4 【分析】此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 延长交于点，过作于点，先由勾股定理求得，根据三角形的面积公式求出，再证明和全等得，，进而得，则，然后根据得，由此即可得出答案． 【详解】解：延长交于点，过点作于点，如图所示： 在中，，，， ∴， 由三角形的面积公式得：， ， 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的转化，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将的面积与的面积建立等量关系． 延长交于点利用平分和证明得出且与面积相等；由可知与面积相等；通过面积转化可得的面积是面积的2倍，进而求出的面积． 【详解】延长交于点G． ∵ 平分 ∴． ∵ ∴． 在和中， ∴． ∴ ． ∵ ∴和等底同高（以、为底，高均为点C到的距离）， ∴． ∵ 且 ∴ ∵ ∴即． 故选：C． 【模块二 与三角形有关的角】 【题型8.与平行线有关的三角形内角和问题】 【典例】如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＝_____°． 【答案】5． 【分析】由三角形的高得出∠ADB＝90 ，求出∠BAD，由角平分线求出∠BAE，即可得出∠EAD的度数． 【详解】解：∵△ABC中，AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝90 ， ∴∠BAD＝90 ﹣∠B＝90 ﹣60 ＝30°， ∵∠BAC＝50 ，AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝×50 ＝25 ， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝30 ﹣25 ＝5 ． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查三角形内的角度求解，解题的关键是熟知角平分线、高及三角形的内角和定理的性质． 【跟踪专练1】如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为________．    【答案】76 【分析】先由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值． 【详解】解：过点C作，   ， ，， ， ， ， ， 由题意可得为的角平分线，为的角平分线， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：76． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 【跟踪专练3】两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型9.与角平分线有关的三角形内角和问题】 【典例】如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AE，AD分别是角平分线和高，则∠DAE的度数是__________． 【答案】10° 【分析】利用三角形的内角和定理，求出∠BAC、∠DAC，再利用角平分线的性质求出∠EAC，最后利用角的和差求出∠EAD． 【详解】解：∵∠B=40°，∠C=60°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C =80°， ∵AE是△ABC角平分线， ∴∠CAE=∠BAC =40°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC=90°-60° =30°， ∴∠EAD=∠EAC-∠DAC =40°-30° =10°． 故答案为：10° 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等知识点，掌握三角形的内角和定理是解决本题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，点I是的内心，连接，则的度数是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形内心的定义，先由三角形内角和定理求出的度数，再由内心的定义得到分别平分，根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点I是的内心， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则______．    【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，为的角平分线相交于点P，过点P作交延长线于点F，下列四个结论：①；②；③；④连接，则平分．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定方法、三角形内角和定理等知识点．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④． 【详解】解：∵在中，， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴，故①正确． ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确． 在和中， ∵， ∴， ∴，故③正确． ∵的角平分线相交于点P， ∴点P到的距离相等，点P到的距离相等， ∴点P到的距离相等， ∴点P在的平分线上， ∴平分，故④正确． 综上正确的有①②③④． 故选D． 【题型10.三角形折叠中角度问题】 【典例】如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B=______°． 【答案】50 【分析】根据折叠的性质求得∠CDE=∠CDA=70°，得到∠BDE=40°，再利用余角的性质即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质得：∠CDE=∠CDA=70°，∠CED=∠A=90°， ∴∠BDE=180°-70°-70°=40°，∠BED=180°-90°=90°， ∴∠B=180°-90°-40°=50°，. 故答案为：50． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形内角和定理等知识，关键是根据翻折前后对应角相等，利用三角形内角和定理求解即可． 【跟踪专练1】如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的折叠问题，注意折叠前后的两个图形完全重合．由折叠可得：，，再根据三角形的内角和求出，最后根据平角数为定义即可求解． 【详解】解：由翻折得到，， ，， ， ． 故选：D． 【跟踪专练2】折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为___________ 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称的性质以及平行线的性质，正确求出的度数是解答本题的关键． 由折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理用含有的代数式表示出的度数，再根据三角形的外角性质可得的度数，进而得出的度数． 【详解】解：将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理，关键是通过折叠的性质得到相等的线段和角，利用三角形外角性质将、转化为与、相关的角，再结合折叠推出的，求出与的和，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：连接、，由折叠的性质得， ，， ， ， ，即， 根据三角形内角和定理，得； 又由折叠的性质得，， ，， ，同理， ， ， ， ， ； 故选：B． 【题型11.三角形的外角的定义及性质】 【典例】如图，在中，，外角，则 ______． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，根据图示，由三角形的外角性质得到即可． 【详解】解：， , 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，连接交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到，，再由点是弧的中点，可得到，然后根据三角形外角性质计算的度数． 【详解】解：是的直径， ， ∵点是弧的中点， ∴弧弧， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，、相交于点O，平分分别交、于点F、E，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为在矩形中，所以，因为平分，所以，因为，，由矩形的性质可知，利用三角形外角的性质即可求． 【详解】解：∵在矩形中， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由矩形的性质可知， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键． 由等边三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，则，等腰三角形的性质可得，然后可得，同理可得，，然后根据求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形 ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ 同理可得：，， ∴． 故选B． 【题型12.顶分三角模型】 【典例】如图，与相交于点，，若， ，则_______度． 【答案】90 【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质．由两直线平行内错角相等得，；三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，所以． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两直线平行同位角相等.，三角形外角的性质． 根据三角形外角性质和对顶角性质得，根据平行线的性质得． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 根据题意可知， ∴． 故选：C. 【跟踪专练2】如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质、对顶角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数即可． 【详解】解：如图： ∵， ， ∵， ∴， ∵， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，等腰直角三角形和等边三角形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形性质，等边三角形性质，平行线的性质，三角形外角定理.等腰直角三角形中两个锐角为，即.等边三角形中每个角为，即，然后利用两直线平行内错角相等、三角形的外角等于不相邻的两个内角和，即可求解. 【详解】解：如图所示，设、相交于点F， ∵是等腰直角三角形，等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴. 故选：C. 【题型13.对角和等模型】 【典例】四边形是平行四边形，，点在上，．若，则__________． 【答案】30°/30度 【分析】利用平行四边形性质得到角与边的关系，结合等腰三角形性质求角，进而得出的度数． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，， ∴ ，，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形对边相等、对角相等，等腰三角形两底角相等是解题的关键． 【跟踪专练1】在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是_______ 【答案】/230度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，分别平分和，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形内角和与角平分线的性质，解题的关键是利用四边形内角和求出的度数，再结合角平分线求出的度数，最后根据三角形内角和求出． 先由四边形内角和求出，再根据角平分线得出与和、的关系，进而求出，最后用三角形内角和求． 【详解】解：已知， ， 、分别平分和， ，， ， ， ， 故选：B． 【跟踪专练3】如图，四边形中，，，分别平分和，则____________． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了四边形的内角和、角平分线定义、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先根据四边形的内角和是求出，再根据角平分线定义求出，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型14.分叉三角模型】 【典例】如图，中，若，O为三条角平分线的交点，则_________ 度． 【答案】110 【分析】本题考查了角平分线的概念以及三角形的内角和定理．根据三角形的内角和是，得；又O为三条角平分线的交点，得；再根据三角形的内角和定理可得． 【详解】解：在中，∵， ∴， 又∵O为三条角平分线的交点， ∴， 在三角形中，． 故答案为：110． 【跟踪专练1】如图，中，角平分线，，相交于点H，过H点作，垂足为G，那么和的大小关系为（    ） A． B． C． D．不一定 【答案】B 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余可得，由此即可得． 【详解】解：∵在中，角平分线，，相交于点， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，、分别为与的角平分线，交点为O，若，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形内角和定理，准确分析计算是解题的关键． 根据点是与的角平分线的交点，得到是的角平分线，根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可得解； 【详解】点是与的角平分线的交点， 是的角平分线， 、分别为与的角平分线， ，， ， ， ， ， 是的角平分线， ． 故答案是：． 【跟踪专练3】如图，和的平分线交于点，连接的外角的平分线与的延长线交于点交于点．下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确的结论有（　　） A．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据和的平分线交于点，得出平分，求出，证明，根据平行线的判定得出，说明①正确；根据角平分线和三角形外角的性质求出，根据，得出，判定②错误；先求出，，得出，判定③正确；根据，，即可判定④正确． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴ ， ， ∵ ， ∴，故③正确； ∵， ， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线的性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质． 【题型15.直角互余模型】 【典例】如图，有一张三角形纸片．其中．将该纸片沿剪开，得到一张四边形纸片，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形性质，平角的定义，解题的关键是掌握以上性质． 根据直角三角形的性质得出，然后根据平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，中，D在的延长线上，过D作于F，交于E．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由三角形的外角的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 【跟踪专练2】如图，，平分交于点，，，M、N分别是、延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为___________． 【答案】 【分析】利用角平分线的性质，表示出相等的角，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 【点睛】注意角平分线的性质，角的和差，三角形内角和定理的灵活应用． 【跟踪专练3】如图，在中，，点D是边上一点，分别过点A，D作于点E，于点点G是直线上一点，作，则与的数量关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．相等或互余 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义和直角三角形两锐角互余的性质．分两种情况：当点G在线段上时，当点G在线段的延长线上时，根据垂直的性质得到直角，再结合已知角的关系，通过等量代换求出与的数量关系． 【详解】解：分两种情况： 当点G在线段上时，如图： ，， ． ，． ， ． 当点G在线段的延长线上时，如图： ，， ． ． ， ． 综上所述：与的数量关系是相等或互补， 故选：C． 【题型16.平角互补模型】 【典例】如图，和是的两个外角，若，，则_____°． 【答案】95 【分析】本题考查了平角的意义，外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据平角的意义求，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角，， ∴， 故答案为：95． 【跟踪专练1】在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是在称物时的状态，已知，则的度数是（　　） A．130° B．110° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则__________时，． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 当时，．先通过邻补角的定义得到，然后根据垂直的定义，结合平角的定义得到，即可根据同位角相等，两直线平行，得到，从而得到所加条件是正确的． 【详解】解：当时，． 理由如下：， ， ， 又， ， ， ． 故当时，． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直线AB与CD相交于点O，，，OE平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和是是解题的关键． 设，根据邻补角的概念用表示出，根据角平分线的定义求出，根据题意列式求出，根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：设，则， ∴， ． 平分， ． ， ，即， 解得，则， ． 【题型17.共线等角模型】 【典例】如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由折叠得，由三角形内角和定理得，结合可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， 又，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质和三角形内角和是，熟练掌握三角形内角和是是解题的关键． 先根据折叠的性质，得到，，从而求出的度数，再根据三角形内角和是，分别求出、度数，最后计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得，，， ， ，即 ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，的度数为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平角的定义可推出，由三角形内角和定理可得的度数，据此结合角平分线的定义求出的度数，进而由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，将三角形纸片沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的全等性质得到、，再通过角度推导得出，最后结合同高三角形面积比求出的长度，从而得到． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点． ，， ， 根据折叠的性质，可知， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查图形折叠的性质，三角形外角性质，同高三角形面积比，全等三角形的性质，理解同高三角形面积比等于底边比是解题关键． 【模块四 角平分线夹角模型类】 【题型18.双内分线夹角模型】 【典例】已知：，分别平分，则______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握以上知识，找出角的和差关系是解题的关键． 根据三角形内角和定理，角平分线的定义可得，在中由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则的值为（    ） A．135 B．140 C．145 D．150 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到，结合题意得到，由此三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C ． 【跟踪专练2】如图，在中，的角平分线相交于点P，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由是的平分线，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，三边的长分别为a，b，c，与的平分线交于点，若到的距离为，则有下列结论①垂直平分；②；③点到的距离为；④．其中一定正确的是（  ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形面积计算，熟练掌握相应知识是解题的关键． 利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行判断即可求解． 【详解】解：由平分，与不一定相等，因此不一定垂直平分，故不正确； ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴点到的距离等于点到的距离， 如图，过点作于，则，连接， ∴点到的距离大于，故不正确； 如图，连接，过点作于，过点作于，过点作于， ∵、分别平分、， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确． 故选：C． 【题型19.双外分线夹角模型】 【带那里】如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数_________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，掌握外角的性质是解题的关键；根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理和外角的性质求解即可． 【详解】解：， ， 两个外角的平分线交于点D， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，的两外角，的平分线交于点P，．则_______． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，涉及了三角形的外角的定义及性质，由题意得：，求出，推，进而得，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【跟踪专练2】如图是嘉嘉在电脑上的截图，不慎将三角形顶点及部分边截掉，、的外角平分线交于点． （1）若，，则截掉的___________； （2）若，则___________． 【答案】 70 55 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据邻补角定义可知，，根据角平分线定义可知，因为，即可得到，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：（1）在中，， ，， ； （2）如下图所示， ，， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， 在中，， ． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了四边形的内角和，角平分线的定义，三角形的内角和，解答本题的关键是掌握三角形的内角和定理． 先通过邻补角的定义，四边形的内角和为，得到；再通过角平分线的定义结合三角形内角和为即可求出． 【详解】解：如图， ,， ． 又， ． 与的外角平分线交于点， ，． ． ． 故选：A． 【题型20.内外分线夹角模型】 【典例】如图，已知中，，BD平分，AD平分外角，则______度． 【答案】30 【分析】根据∠DAE是△ABD的外角，∠CAE是△ABC的外角，利用三角形外角的性质即可求解； 【详解】解：∵∠C＝60°， BD平分， AD平分外角， ∴∠DBA＝∠ABC，∠DAE＝∠CAE， ∵， ∴∠D＝∠CAE﹣∠ABD＝(∠CAE﹣∠ABD)= ； 故答案为：30 【点睛】本题考查了三角形外角的性质定理，利用外角的性质得出角之间的关系是关键． 【跟踪专练1】如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 先利用角平分线得到相关角的度数，再结合三角形外角性质求出． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分的外角，， ∴, ∵是的外角, ∴, ∴． 故选：． 【跟踪专练2】如图，等腰中，，三角形的内外角的角平分线交于点，的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，角平分线的定义；根据题意得出三角形的外角性质得出，即可得出，根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 三角形的内角的角平分线为， ， 平分外角， ， 在中，由三角形的外角性质，得， ， ， ； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，解题关键是利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和的关系进行转化．本题先求出，再利用即可求解． 【详解】解：如图，延长和交于点G， ∵， ∴ ， ∴， ∵的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∴ 故选：C． 【题型21.对顶分线夹角模型】 【典例】如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为________度． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理列出等式整理即可得解． 【详解】解：∵平分平分， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 【跟踪专练1】如图，已知分别是和的角平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，先设，，证明，再代入数据计算即可； 【详解】解：如图， ∵分别是和的角平分线， ∴设，， ∵，， 结合三角形的内角和可得： ，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选：B. 【跟踪专练2】如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是___． 【答案】/40度 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用三角形内角和得到，再利用对顶角得到得到，所以①，同理可得②，接着把两式相加，然后利用角平分线的定义得到，从而可确定的度数． 【详解】解：∵， 而， ∴①， 同理可得②， 得， ∵和的平分线和相交于P点， ∴，， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算． 分别求出，，再找到可以去掉的式子即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵的平分线与的平分线的交于点， ∴ ， ∵， ∴， ∴ 即． 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $