微专题 “4.2 角”的理解与拓展（含19种题型）教材解读与拓展 2026-2027学年沪教版（五四制）数学六年级上册

【解析版】 微专题 “4.2 角”的理解与拓展 【沪教版】六年级上册“4.2 角”核心是：认识角的定义、表示方法与度量；角由一点引出两条射线组成，这个点是顶点，两条射线为边；角可用三个大写字母、单个大写字母或数字、希腊字母标记，要注意单个字母标记仅适用于顶点处只有一个角的情况。度量角使用量角器，掌握 “两重合，看刻度”，分清内圈、外圈读数，单位是度（°）。 基础分类有锐角、直角、钝角、平角、周角，理解平角不是直线、周角不是射线，它们都具备顶点与两条边。拓展上，可区分静态定义与动态定义：静态是两条射线构成，动态是一条射线绕顶点旋转形成角，便于理解大于 180° 的优角。同时掌握角的大小只和两边张开程度有关，与边的长短无关。 学习中可结合角的和差计算、简单角的推理，为后续相交线、三角形内角知识铺垫，做题时要规范书写，避免看错量角器刻度。 第4章 线段与角 4.2 角 1、角及其度量 （1）角的定义 ①静态定义：在小学阶段，我们已经知道，角是具有公共端点的两条射线组成的图形；公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两条边； ②动态定义：我们也可以把角看成由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形；起始射线叫始边，终止射线叫终边；射线从初始位置转动到终止位置所经过的部分称为角的内部，通常角的内部用不带箭头或带箭头的弧线表示； 【说明】角的两条边是射线，可无限延伸。 （2）平角、周角 一条射线由初始位置绕着它的端点旋转到终止位置，得到射线， 如图（1），当射线和射线呈一条直线时，所成的角叫作平角； 当射线和射线重合时，如图（2），所成的角叫作周角。 （3）角的表示方法 角通常有以下三种表示方法： ①用三个大写字母表示，如图（1）中的角可以表示成或，图（2）中的三个角可以表示成、和；当以某一点为顶点的角只有一个时，这个角也可以用表示这个点的字母来表示，如图（1）的也可以记作，但是（2）中的三个角均不能记作； ②用一个小写的希腊字母表示，如：、、等．如图（2），和可以分别记作：和（或和）； ③用一个数字表示，如、、等，如图（3），和可以分别记作：和， 【说明】本章中所说的角，除了平角、周角外，未加说明的加说明的角是指小于平角的角。 （4）量角器与角的度量 ①量角器 量角器是度量角的一个重要工具； 通过量取两个角的度数，就可以比较两个角的大小； ②角度制 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”；这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制； 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【说明】在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 与计量时间的时、分、秒一样，角的度、分、秒也是60进制的； 2、角的比较与应用 （1）角的大小比较 在不借助量角器的前提下，我们也可以类似线段的比较方法来比较两个角的大小．移动一个角，使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边重合，两个角的另一条边都落在重合的边的同侧，再观察“两个角的另一条边”的位置情况，以比较其大小； 【说明】角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法：先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小； 方法2：叠合比较法：将两个角的顶点及一边重合，另一边放在重合边的同侧，观察另一边的位置； （2）方向角 方向角（或称方位角）通常以正北或正南方向为基准，用北偏东、北偏西、南偏东、南偏西等来描述方向； 例如：“北偏东”表示以正北方向为起始边，向东旋转； 【说明】①表述顺序固定：“北”或“南”在前，“东”或“西”在后；②偏转角度不超过； （3）钟面角 钟面角是指在时钟上，时针与分针之间形成的角度.时钟的表面是一个圆形，完整的一圈为； 每小时，时针转动 ()，而分针每分钟转动6度()； 3、画角的和、差与角的平分线 （1）画角的和、差与角 类似于线段的和、差，如果一个角的度数等于另外两个角的度数之和（或差），那么称这个角就是另外两个角的和（或差）； 如右图，是与的和， 记作：； 如右图，是与的差， 记作： ； （2）角的平分线 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线； ( ∵ 是 的平分线， ∴ ； ) （3）角的倍、分 可以通过多次作相等的角实现角的倍数，或通过等分角得到实现角的几分之一； 4、余角、补角 （1）互余、互补 互余：如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，简称互余；其中一个角是另一个角的余角； 几何语言： 因为，，所以，与互余； 互补：如果 两个角的和等于，就说这两个角互为补角，简称互补；其中一个角是另一个角的补角； 几何语言：因为，，所以，与互补； （2）余角和补角的性质 同角（等角）的余角相等； 同角（等角）的补角相等； 题型1、有关对于角的概念理解 例1、下列说法中，正确的个数是（     ） （1）两条射线所组成的图形叫做角； （2）角是有公共端点的两条射线； （3）角的大小与边的长短无关； （4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角； （5）有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角． A．1 B．2 C．3 D．4 【提示】根据角的定义及性质逐项判断即可； 【答案】B； 【解析】（1）有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故（1）错误； （2）角是有公共端点的两条射线组成的图形，故（2）错误； （3）角的大小与边的长短无关，说法正确； （4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角，说法正确； （5）有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故（5）错误． 即正确的个数为2个， 故选：B； 【说明】本题考查了角的定义及性质，紧扣角的定义即可作答；角的定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角；一条射线绕着它的端点从一个位置旋转至另一个位置所形成的图形。 例2、下列关于角的说法正确的有 （填序号）． （1）两条射线组成的图形叫做角； （2）延长一个角的两边； （3）角的两边是射线，所以角不可以度量； （4）角的大小与这个角的两边长短无关； （5）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形； （6）平角是一条直线； （7）周角是一条射线． 【提示】根据角的相关概念以及性质分别判断即可； 【答案】（4）（5）； 【解析】由：（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误； （2）角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说延长，原说法错误； （3）角的大小与这个角的两边长短无关，可以度量，原说法错误； （4）角的大小与这个角的两边长短无关，正确； （5）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形，正确； （6）平角是由一条射线绕着它的端点旋转180度而成的角，是由处在同一直线上具有公共端点且方向相反的两条射线构成的角，不是一条直线，原说法错误； （7）周角是一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，此时终边和始边重合，但它有顶点和两条重合的边，而射线只有一个端点，周角与射线是不同的概念，原说法错误； 故答案为：（4）（5）； 【说明】本题主要考查了角的相关概念以及性质，正确理解角的概念是解题的关键。 题型2、规范角的表示方法 例3、下列图形中，能用、、三种方法表示同一个角的图形是（     ） A． B． C． D． 【提示】利用角的定义及表示方法，进行判断即可得出结果； 【答案】A； 【解析】由：A、图中角可表示为：、、，故正确； B、图中角只能表示为：、，故错误； C、图中角可表示为：、，故错误； D、图中角可表示为：∠1，故错误． 故选：A； 【说明】本题主要考查了角的表示方法，确定顶点即角的两边是解题的关键； 例4、如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是 （填序号）． 【提示】直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可； 【答案】①③④； 【解析】由图可得，与是同一个角；图中共有三个角：，，；与是同一个角；不可用来表示， 所以，①③④正确， 故答案为：①③④； 【说明】本题主要考查了角的概念与角的表示方法，规范角的表示方法是解题的关键； 题型3、有关角的分类 例5、下列各角是锐角的是（    ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【提示】本题需要先明确周角、平角、直角的度数，然后分别计算每个选项所对应的角的度数，再根据锐角的定义来判断哪个选项是锐角； 【答案】D； 【解析】周角的度数是，平角的度数是，直角的度数是； A、周角的度数为，是直角，不是锐角； B、平角的度数为，是钝角，不是锐角； C、平角的度数为，是直角，不是锐角； D、直角的度数为，大于且小于，是锐角． 故选：D； 【说明】本题考查了角的分类以及周角、平角、直角的度数，掌握周角、平角、直角的度数，计算出各选项角的度数，再根据锐角定义判断是解题的关键； 例6、下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 【提示】本题考查了平角、周角、钝角、锐角的定义，根据钝角的定义（大于且小于），分别计算各角的度数或分析其范围，判断是否一定是钝角，即可解题； 【答案】②③； 【解析】由：周角为，①周角为，是锐角； 平角为，②平角为，是钝角； 直角为，③直角为，是钝角； ④两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，不一定是钝角． 故一定是钝角的有②③． 故答案为：②③； 【说明】本题考查了平角、周角、钝角、锐角的定义及角的分类、角度的四则运算； 题型4、角的单位与角度制 例7、1周角=___________平角，1平角=___________直角，1直角=___________，___________，___________． 【提示】根据周角为，平角为，直角为；等于，等于，即可求解； 【答案】2；2；90；60；60； 【解析】由：周角等于，平角等于，因此1周角 平角； 平角等于，直角等于，因此1平角直角； 直角等于； 根据角度单位换算，，． 故答案为：2，2，90，60，60； 【说明】本题主要考查了周角、平角、直角的概念以及角度单位度、分、秒的换算，角的分类、角的单位与角度制； 例8、如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 【提示】本题考查了度分秒的换算，根据齿轮的齿数计算夹角即可． 【答案】；； 【解析】由：15个齿的齿轮：； 22个齿的齿轮：． 【说明】本题考查了角的单位与角度制与度分秒的换算； 题型5、角度的四则运算 例9、计算：______． 【提示】根据角度的计算方法求解即可，注意角度值的进率为60； 【答案】； 【解析】由：． 【说明】本题主要考查了角的单位与角度制、角度的四则运算； 例10、如图，若，，则的度数为________． 【提示】根据平角的定义，进行计算即可； 【答案】； 【解析】因为，，， 所以，. 【说明】本题考查了几何图形中角度计算问题、角度的四则运算； 题型6、钟面角的计算 例11、如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（　　） A． B． C． D． 【提示】根据钟面分成12个大格，每格的度数为30°即可解答； 【答案】B； 【解析】因为，钟面分成12个大格，每格的度数为30°， 所以，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60° 故选B． 【说明】本题主要考查了钟面角，了解钟面特点是关键。 例12、钟表上显示的时间是下午2时30分，时针与分针的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【提示】通过计算时针和分针在2时30分时的角度位置，求其差值得到夹角； 【答案】A； 【解析】因为，钟面共，60分钟，分针每分钟转，时针每分钟转， 在2时30分时， 分针指向30分钟， 所以，分针角度为. 时针在2点整时为， 又因30分钟移动， 所以，时针角度为， 所以，两针夹角为， 故选：A； 【说明】本题考查了钟面角，解题的关键是明确钟面上每个大格之间的角是，时针和分针是同时转动的，每小时分针转12个大格时，时针转动1个大格。 题型7、有关角的度数大小比较 例13、已知，，，下列比较正确的是（　　） A． B． C． D． 【提示】依据，，，即可得到三个角的大小关系； 【答案】A； 【解析】因为，，， 所以． 故选：A． 【说明】本题主要考查了角的大小的比较，掌握度分秒的换算是解题的关键； 例14、如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（      ） A． B． C． D． 【提示】根据量角器上各射线对应的刻度，利用角的和差关系分别计算出 、、、 的度数，比较大小即可得出答案； 【答案】B； 【解析】由题意可知，射线、、、、对应量角器外圈的刻度分别为、、、、， 所以，，，，， 因为，， 所以， 最大； 【说明】本题主要考查了角的度数大小比较； 题型8、方向角的正确表示 例15、如图，下列描述正确的是（      ） A．射线的方向是北偏东 B．射线的方向是北偏西 C．射线的方向是东南方向 D．射线的方向是西偏南 【提示】根据方位图逐个判断即可； 【答案】C； 【解析】由：A、射线的方向是北偏东，不是，故不正确； B、射线的方向是西偏北，不是北偏西，故不正确； C、射线的方向是东南方向，正确，故选C； D、射线的方向是南偏西，不是西偏南，故不正确． 【说明】本题主要考查了方向角的表示； 例16、救生艇位于轮船的北偏东方向，则轮船位于救生艇的（      ）方位． A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．北偏东 【提示】注意理解方向角的表示； 【答案】B； 【解析】因为，救生艇位于轮船的北偏东方向， 所以，轮船位于救生艇的南偏西． 【说明】本题主要考查了方向角的表示； 题型9、与方向角相关的计算题 例17、如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【提示】本题考查方向角，根据题意知：在灯塔处观测到轮船位于西偏北的方向，再根据角的和差可得出答案； 【答案】B； 【解析】因为，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向， 所以，在灯塔处观测到轮船位于西偏北的方向， 又因为，轮船在南偏东的方向， 所以，， 即的大小为． 故选：B． 【说明】本题考查了与方向角有关的计算题、几何图形中角度计算问题；掌握方向角的定义是解题的关键； 例18、如图，的方向是北偏东的方向是西偏北，若，求的方向． 【提示】先求出，得到，求出，则的方向是北偏东，即可解答； 【答案】的方向是北偏东； 【解析】由：如图 因为，的方向是北偏东，的方向是西偏北， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，， 所以，的方向是北偏东． 【说明】本题考查了与方向角有关的计算题； 题型10、画特殊角 例19、作图题：已知：∠α、∠β、   求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β 【提示】利用量角器作∠AOC=∠α，在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β，所以∠AOB=∠α+∠β，即为所求作的角； 【答案】作图见解析； 【解析】如图所示：（1）作∠AOC=∠α， （2）在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β， 则∠AOB即为所求作的角． 【说明】本题考查了画特殊角；主要考查了用量角器作角，准确分析作图是解题的关键； 例20、两个相等的钝角有同一个顶点和一条公共边，并且这两个角的另两条边所成的角为，画出图形，并求出这两个钝角的大小． 【提示】根据钝角定义排除公共边在角内部的情况，利用周角为列方程求解； 【答案】 这两个钝角的大小均为. 【解析】作图： ① 画点，作射线； ② 在直线的上方作射线，满足； ③ 在直线的下方作射线，使，此时， 与即为所求的两个相等钝角，图形见答案； 设每个钝角的度数为， 假设公共边在内部， 则，， 与两个角是钝角矛盾， 故在外部， 因为，射线、、以为顶点组成周角， 所以，， 因为，，， 所以，， 解得 ， 因为， ，符合题意， 所以，这两个钝角的大小均为 【说明】本题综合考查了角的分类、画特殊角、几何图形中角度计算问题； 题型11、几何图形中角度计算问题 例21、如图所示，已知，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【提示】先求出的度数，再进行角度求和运算即可； 【答案】C； 【解析】因为，，， 所以，， 所以，； 【说明】本题主要考查了几何图形中角度计算问题； 例22、如图，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【提示】由，，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解； 【答案】C； 【解析】因为，，， 所以，， 因为，， 所以，． 故选：C； 【说明】本题考查了几何图形中角度计算问题，注意此题的解题技巧：两个直角相加和相比，多加了； 题型12、三角板中角度计算问题 例23、将一副三角尺按下列四种不同位置摆放，其中与互余的摆放方式是（      ） A． B． C． D． 【提示】本题考查了余角的定义，根据余角的定义逐个判断即可；熟练掌握余角的定义是解题的关键； 【答案】D； 【解析】由：A、，互为补角，故不合题意． B、与都是同一个角的余角，则，故不合题意； C、，互为补角，故不合题意． D、，与互余，故符合题意； 故选：D． 【说明】本题考查了三角板中角度计算问题、求一个角的余角、与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用； 例24、一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． （1）___________°． （2）若的补角比的2倍多，求的度数． 【提示】（1）根据三角板的性质得，再根据平角定义得出答案； （2）设，则，根据题意列出方程求出解即可； 【答案】（1）90；（2）； 【解析】（1）根据题意，得， 所以，； （2）设，则， 根据题意，得， 解得， 所以，； 【说明】本题主要考查了三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、一元一次方程的应用之几何问题； 题型13、角平分线的有关计算 例25，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______． 【提示】由可得，将、用表示，列方程求解； 【答案】； 【解析】因为，， 所以，， 因为，， 所以，， 因为，在直线上， 所以，， 所以，， 又因为，是的平分线， 所以，， 所以，， 解得； 【说明】本题考查了角度计算问题、角平分线的有关计算； 例26、，射线，分别是，的角平分线，则________． 【提示】根据射线的位置分两种情况讨论，即在内部和外部，利用角平分线的定义计算的度数； 【答案】或； 【解析】由：分两种情况讨论： 当在内部时， 因为，是的角平分线，， 所以，， 因为，是的角平分线，， 所以，， 所以，； 当在外部时， 因为，是的角平分线，， 所以，， 因为，是的角平分线，， 所以，， 所以，， 综上，为或． 【说明】本题考查了角平分线的有关计算与几何图形中角度计算问题； 题型14、角等分线的有关计算 例27、射线是的五等分线，，则相邻两个等分射线所成角的度数为（    ） A． B． C． D． 【提示】本题考查角等分线的有关计算；将进行五等分，即可得相邻两个等分射线所成角的度数； 【答案】A； 【解析】因为，射线是的五等分线，， 所以，相邻两个等分射线所成角的度数为． 故选：A； 【说明】本题考查了角n等分线的有关计算； 例28、已知，是内部的一条射线，则有三个角：，若其中一个角是另一个角的两倍时，则_________°． 【提示】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据题意可分四种情况：①；②；③；④，根据角之间的关系讨论求解即可； 【答案】或或； 【解析】当时，则， 因为，， 所以，； 当时，则， 因为，， 所以，； 当时，则， 因为，， 所以，； 当时，则， 因为，， 所以，， 所以，； 综上所述，的度数为或或； 故答案为：或或； 【说明】本题考查了角n等分线的有关计算； 题型15、求一个角的余角 例29、已知，则的余角是（      ） A． B． C． D． 【提示】由余角定义列式计算即可； 【答案】A； 【解析】由：的余角是． 【说明】本题考查了求一个角的余角； 例30、如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日固原正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是____________． 【提示】根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出； 【答案】； 【解析】由：根据题意可知，， 因为，， 所以，． 【说明】本题考查了求一个角的余角； 题型16、求一个角的补角 例31、如图，的补角的度数为（      ） A． B． C． D． 【提示】先由量角器得出的度数，再用即可得出． 【答案】C； 【解析】由图中量角器可知，， 所以，的补角为． 【说明】本题考查了求一个角的补角与几何图形中角度计算问题； 例32、已知与互余，与互补，，则__________． 【提示】先根据互余的定义结合已知条件求出，再根据互补的定义求出即可； 【答案】； 【解析】因为，与互余，， 所以，， 因为，与互补， 所以，． 【说明】本题考查了求一个角的余角、求一个角的补角、与余角、补角有关的计算； 题型17、与余角、补角有关的计算 例33、设两个锐角分别为和（      ） A．若的余角和的余角互余，则和互补 B．若的余角和的补角互补，则和互补 C．若的补角和的余角互补，则和互余 D．若的补角和的补角互余，则和互余 【提示】根据余角和补角的定义解题； 【答案】C； 【解析】由题意，，均为锐角，的余角为，补角为；的余角为，补角为； A：因为， ， 所以，，与互余，故该选项不合题意； B：因为， ， 所以， ，与互余，故该选项不合题意； C：因为， ， 所以， ，与互余，故该选项符合题意； D：因为， ， 所以， ，与，为锐角矛盾，故该选项不合题意； 【说明】本题考查了求一个角的余角、求一个角的补角、与余角、补角有关的计算； 例34、若一个角等于它余角的2倍，则这个角是（     ）度 A．75 B．60 C．15 D．30 【提示】假设出这个角，根据余角的定义表示出余角，根据数量关系列出一元一次方程即可求解； 【答案】B； 【解析】由题意：设这个角的度数为， 因为， 互余的两个角的和为， 所以，这个角的余角为， 根据题意列方程得， 展开得， 移项合并得， 解得， 所以， 这个角是； 【说明】本题考查了求一个角的余角、与余角、补角有关的计算与利用去括号解一元一次方程； 题型18、同（等）角的余（补）角相等的应用 例35、如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，由，可直接推导出，依据是（    ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【提示】本题主要考查了余角的知识．根据“同角的余角相等”，即可获得答案； 【答案】A； 【解析】因为，， 所以，（同角的余角相等）． 故选：A； 【说明】本题考查了同（等）角的余（补）角相等的应用； 例36、课堂上，同学们在探究“与”之间的数量关系时，进行了如下推理，其推理的依据是________． 因为， 所以（________） 【提示】本题考查了同角的余角相等．根据“同角的余角相等”进行判断即可； 【答案】同角的余角相等； 【解析】由：因为， ， 所以（同角的余角相等）． 故答案为：同角的余角相等． 【说明】本题考查了同（等）角的余（补）角相等的应用； 题型19、与角相关的“新定义”试题 例37、定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为 ． 【提示】分情况讨论，即或时，分别讨论即可； 【答案】或； 【解析】根据射线是的三等分线，可分情况讨论， 如图，当时， 因为，， 所以，， 如图，当时， 因为，， 所以，， 故答案为：或； 【说明】本题通过新定义考查了角的计算．解题关键是做出图形，注意分类讨论； 例38、我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． （1）如图2，是的三分线，，若，则 ； （2）如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； （3）如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【提示】（1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可； 【答案】（1）；（2）或；（3）或或或； 【解析】（1）因为，是的三分线，，若， 所以，． 故答案为：． （2）因为，，是的四分线，， 所以，， 又因为，是三分线， 所以，①如图：当时，， 所以，； ②如图：当时，， 所以，； 综上，的度数为或． （3）因为，，射线、是的两条三分线 所以，， ①如图，当是的四分线时，， 所以，，解得：， 所以，， 所以，； ②如图，当是的四分线且时， 所以，， 所以，； ③如图，当是的四分线且时， 所以，， 所以，； ④如图，当是的四分线时，， 所以，，解得：， 所以，． 所以，的值为或或或； 【说明】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键； 1、对于角的概念理解 特别注意：角是由两条具有公共端点的射线所组成的图形；两条射线必须共享同一个公共端点；任意两条射线不能直接构成角；角的大小仅由两边张开程度决定，与射线的长短没有关系； 2、角的表示方法的规范 采用单个大写字母表示角时，该顶点处只能存在唯一的一个角；顶点处含有多个角时，禁止只用一个大写字母表示；使用三个大写字母表示角，顶点字母必须写在中间位置； 3、度、分、秒单位换算要正确 角度为六十进制，1=60'}，1'=60''；度分秒换算不能使用十进制；高级单位换算为低级单位乘以60，低级单位换算为高级单位除以60； 4、图形中角的个数统计要细致 数角需要按照有序顺序统计，防止重复计数或者漏计；依次选取每一条射线作为起始边向后统计；根据题目要求确定是否计入平角，不可额外多加平角； 5、角平分线判定条件要完整掌握 射线OC为AOB的角平分线，则AOC=COB=AOB；判定角平分线需要同时满足两个条件：射线位于角的内部，分割得到两个相等的角；仅 AOC=COB时，射线可能处于角的外部，不能判定该射线为角平分线； 6、理解余角概念与正确判定 两个角的度数之和等于90，则两个角互为余角；余角只取决于角度数值，和角所处位置无关；余角描述属于两角之间的相互关系，不能单独称某一个角为余角； 7、理解补角概念精准判定 两个角的度数之和等于180，则两个角互为补角；补角只取决于角度数值，和角所处位置无关；补角描述属于两角之间的相互关系，不能单独称某一个角为补角。 8、余角、补角性质记忆要完整 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等；区分90°与180°对应的性质；“同角”、“等角”两种情况该性质均可成立； 9、角度计算特别注意分类讨论避免漏解 题干未给出射线确切位置时，射线既可以在角的内部，也可以在角的外部；直接默认射线位于角的内部进行运算，会造成结果遗漏，需要分类进行求解。 1．下列关于角的说法，正确的有(      ) ①角是由两条射线组成的图形； ②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关； ③有公共点的两个直角组成平角； ④角可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形； ⑤把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角的度数也扩大10倍． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C； 【解析】由：①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故①正确； ②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故②正确； ③有公共点的两个直角不一定组成平角，如有重叠，故③错误； ④角可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，正确； ⑤把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角的度数也扩大10倍，错误． 故选C． 2．如图所示，下列表示角的方法错误的是（　　） A．与表示同一个角 B．图中共有三个角：，， C．也可用来表示 D． 【答案】C； 【解析】解：A．与表示同一个角，故选项正确，不符合题意； B．图中共有三个角：，，，故选项正确，不符合题意； C．不可用来表示，故选项错误，符合题意； D．，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．锐角与钝角互为补角 B．和为的两个锐角互为余角 C．已知，则这三个角互补 D．互余的两个角不可能相等 【答案】B； 【解析】A．锐角与钝角不一定互为补角，错误，不符合题意； B．和为的两个锐角互为余角，正确，符合题意； C．已知，则这三个角互补，错误，不符合题意； D．互余的两个角可能相等，错误，不符合题意； 故选B． 4．如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 【答案】D； 【解析】因为，，， 所以，， 又因为，是的平分线， 所以，， 所以，， 所以，射线的方向为北偏东， 故A、B选项错误； 因为，， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以，射线的方向为南偏西， 故C选项错误，D选项正确． 5．，，则___________. 【答案】； 【解析】因为，，， 所以，． 6．一个角的补角是，则这个角的余角的度数是________． 【答案】 【解析】因为，已知这个角的补角是，互补两角的和为， 所以，这个角的度数为 ， 因为，互余两角的和为， 所以，这个角的余角的度数为 ． 7．如图，钟表上八时整时，时针与分针所成的角是________度． 【答案】120； 【解析】因为，钟面分成12个大格，每格的度数为， 所以，钟表上8点整时，时针与分针之间有4大格， 所以，所成的角是； 故答案为：120． 8．已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 【答案】； 【解析】根据角度单位换算规则，可得，． 对进行换算：． ，即． 9．如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 【答案】56； 【解析】因为，，，三点共线， 所以， 所以，， 又因为，平分， 所以，； 10．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 【提示】本题考查角的三等分线，角的和差，掌握知识点是解题的关键； 先求出，根据图中所有的锐角之和为， 得到，则，求出，即可解答． 【答案】； 【解析】因为，射线是的三等分线， 所以，， 所以，， 因为，图中所有的锐角之和为， 所以，， 即 ， 解得． 故答案为：； 11．如图，已知，平分，在的下方，且． （1）判断与互余吗？试说明理由． （2）判断与互补吗？试说明理由． 【提示】（1）根据条件平分，，结合角平分线性质求出的度数，再根据，即可求出，进而可求出，即可得与不互余． （2）根据（1）得的度数，再结合，即可计算出的度数，进而可判断与互补； 【答案】（1）与不互余，理由如下： 如图， 因为，，平分， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，， 所以，与不互余． （2）与互补，理由如下： 如图， 因为，，， 所以，， 所以，与互补． 12．已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）． （1）如图①，使三角板的短直角边与射线重合，求的度数． （2）将图①的三角板在的上方绕点逆时针转动，如图②，在转动过程中，当时，求的度数． 【提示】（1）利用求解即可； （2）设，则，根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可； 【答案】（1）；（2）或； 【解析】（1）因为，，， 所以，； （2）设，则， 如图，当在内部时， 因为，， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，， 所以，； 如图，当在外部时， 因为，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以，； 综上所述，当时，的度数为或； 第27页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【原卷版】 微专题 “4.2 角”的理解与拓展 【沪教版】六年级上册“4.2 角”核心是：认识角的定义、表示方法与度量；角由一点引出两条射线组成，这个点是顶点，两条射线为边；角可用三个大写字母、单个大写字母或数字、希腊字母标记，要注意单个字母标记仅适用于顶点处只有一个角的情况。度量角使用量角器，掌握 “两重合，看刻度”，分清内圈、外圈读数，单位是度（°）。 基础分类有锐角、直角、钝角、平角、周角，理解平角不是直线、周角不是射线，它们都具备顶点与两条边。拓展上，可区分静态定义与动态定义：静态是两条射线构成，动态是一条射线绕顶点旋转形成角，便于理解大于 180° 的优角。同时掌握角的大小只和两边张开程度有关，与边的长短无关。 学习中可结合角的和差计算、简单角的推理，为后续相交线、三角形内角知识铺垫，做题时要规范书写，避免看错量角器刻度。 第4章 线段与角 4.2 角 1、角及其度量 （1）角的定义 ①静态定义：在小学阶段，我们已经知道，角是具有公共端点的两条射线组成的图形；公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两条边； ②动态定义：我们也可以把角看成由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形；起始射线叫始边，终止射线叫终边；射线从初始位置转动到终止位置所经过的部分称为角的内部，通常角的内部用不带箭头或带箭头的弧线表示； 【说明】角的两条边是射线，可无限延伸。 （2）平角、周角 一条射线由初始位置绕着它的端点旋转到终止位置，得到射线， 如图（1），当射线和射线呈一条直线时，所成的角叫作平角； 当射线和射线重合时，如图（2），所成的角叫作周角。 （3）角的表示方法 角通常有以下三种表示方法： ①用三个大写字母表示，如图（1）中的角可以表示成或，图（2）中的三个角可以表示成、和；当以某一点为顶点的角只有一个时，这个角也可以用表示这个点的字母来表示，如图（1）的也可以记作，但是（2）中的三个角均不能记作； ②用一个小写的希腊字母表示，如：、、等．如图（2），和可以分别记作：和（或和）； ③用一个数字表示，如、、等，如图（3），和可以分别记作：和， 【说明】本章中所说的角，除了平角、周角外，未加说明的加说明的角是指小于平角的角。 （4）量角器与角的度量 ①量角器 量角器是度量角的一个重要工具； 通过量取两个角的度数，就可以比较两个角的大小； ②角度制 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”；这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制； 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【说明】在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 与计量时间的时、分、秒一样，角的度、分、秒也是60进制的； 2、角的比较与应用 （1）角的大小比较 在不借助量角器的前提下，我们也可以类似线段的比较方法来比较两个角的大小．移动一个角，使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边重合，两个角的另一条边都落在重合的边的同侧，再观察“两个角的另一条边”的位置情况，以比较其大小； 【说明】角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法：先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小； 方法2：叠合比较法：将两个角的顶点及一边重合，另一边放在重合边的同侧，观察另一边的位置； （2）方向角 方向角（或称方位角）通常以正北或正南方向为基准，用北偏东、北偏西、南偏东、南偏西等来描述方向； 例如：“北偏东”表示以正北方向为起始边，向东旋转； 【说明】①表述顺序固定：“北”或“南”在前，“东”或“西”在后；②偏转角度不超过； （3）钟面角 钟面角是指在时钟上，时针与分针之间形成的角度.时钟的表面是一个圆形，完整的一圈为； 每小时，时针转动 ()，而分针每分钟转动6度()； 3、画角的和、差与角的平分线 （1）画角的和、差与角 类似于线段的和、差，如果一个角的度数等于另外两个角的度数之和（或差），那么称这个角就是另外两个角的和（或差）； 如右图，是与的和， 记作：； 如右图，是与的差， 记作： ； （2）角的平分线 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线； ( ∵ 是 的平分线， ∴ ； ) （3）角的倍、分 可以通过多次作相等的角实现角的倍数，或通过等分角得到实现角的几分之一； 4、余角、补角 （1）互余、互补 互余：如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，简称互余；其中一个角是另一个角的余角； 几何语言： 因为，，所以，与互余； 互补：如果 两个角的和等于，就说这两个角互为补角，简称互补；其中一个角是另一个角的补角； 几何语言：因为，，所以，与互补； （2）余角和补角的性质 同角（等角）的余角相等； 同角（等角）的补角相等； 题型1、有关对于角的概念理解 例1、下列说法中，正确的个数是（     ） （1）两条射线所组成的图形叫做角； （2）角是有公共端点的两条射线； （3）角的大小与边的长短无关； （4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角； （5）有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角． A．1 B．2 C．3 D．4 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、下列关于角的说法正确的有 （填序号）． （1）两条射线组成的图形叫做角； （2）延长一个角的两边； （3）角的两边是射线，所以角不可以度量； （4）角的大小与这个角的两边长短无关； （5）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形； （6）平角是一条直线； （7）周角是一条射线． 题型2、规范角的表示方法 例3、下列图形中，能用、、三种方法表示同一个角的图形是（     ） A． B． C． D． 例4、如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是 （填序号）． 题型3、有关角的分类 例5、下列各角是锐角的是（    ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 例6、下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 题型4、角的单位与角度制 例7、1周角=___________平角，1平角=___________直角，1直角=___________，___________，___________． 例8、如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 题型5、角度的四则运算 例9、计算：______． 例10、如图，若，，则的度数为________． 题型6、钟面角的计算 例11、如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（　　） A． B． C． D． 例12、钟表上显示的时间是下午2时30分，时针与分针的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 题型7、有关角的度数大小比较 例13、已知，，，下列比较正确的是（　　） A． B． C． D． 例14、如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（      ） A． B． C． D． 题型8、方向角的正确表示 例15、如图，下列描述正确的是（      ） A．射线的方向是北偏东 B．射线的方向是北偏西 C．射线的方向是东南方向 D．射线的方向是西偏南 例16、救生艇位于轮船的北偏东方向，则轮船位于救生艇的（      ）方位． A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．北偏东 题型9、与方向角相关的计算题 例17、如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 例18、如图，的方向是北偏东的方向是西偏北，若，求的方向． 题型10、画特殊角 例19、作图题：已知：∠α、∠β、   求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β 例20、两个相等的钝角有同一个顶点和一条公共边，并且这两个角的另两条边所成的角为，画出图形，并求出这两个钝角的大小． 题型11、几何图形中角度计算问题 例21、如图所示，已知，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 例22、如图，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 题型12、三角板中角度计算问题 例23、将一副三角尺按下列四种不同位置摆放，其中与互余的摆放方式是（      ） A． B． C． D． 例24、一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． （1）___________°． （2）若的补角比的2倍多，求的度数． 题型13、角平分线的有关计算 例25，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______． 例26、，射线，分别是，的角平分线，则________． 题型14、角等分线的有关计算 例27、射线是的五等分线，，则相邻两个等分射线所成角的度数为（    ） A． B． C． D． 例28、已知，是内部的一条射线，则有三个角：，若其中一个角是另一个角的两倍时，则_________°． 题型15、求一个角的余角 例29、已知，则的余角是（      ） A． B． C． D． 例30、如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日固原正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是____________． 题型16、求一个角的补角 例31、如图，的补角的度数为（      ） A． B． C． D． 例32、已知与互余，与互补，，则__________． 题型17、与余角、补角有关的计算 例33、设两个锐角分别为和（      ） A．若的余角和的余角互余，则和互补 B．若的余角和的补角互补，则和互补 C．若的补角和的余角互补，则和互余 D．若的补角和的补角互余，则和互余 所以， ，与互余，故该选项不合题意； 例34、若一个角等于它余角的2倍，则这个角是（     ）度 A．75 B．60 C．15 D．30 题型18、同（等）角的余（补）角相等的应用 例35、如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，由，可直接推导出，依据是（    ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 例36、课堂上，同学们在探究“与”之间的数量关系时，进行了如下推理，其推理的依据是________． 因为， 所以（________） 题型19、与角相关的“新定义”试题 例37、定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为 ． 例38、我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． （1）如图2，是的三分线，，若，则 ； （2）如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； （3）如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 1、对于角的概念理解 特别注意：角是由两条具有公共端点的射线所组成的图形；两条射线必须共享同一个公共端点；任意两条射线不能直接构成角；角的大小仅由两边张开程度决定，与射线的长短没有关系； 2、角的表示方法的规范 采用单个大写字母表示角时，该顶点处只能存在唯一的一个角；顶点处含有多个角时，禁止只用一个大写字母表示；使用三个大写字母表示角，顶点字母必须写在中间位置； 3、度、分、秒单位换算要正确 角度为六十进制，1=60'}，1'=60''；度分秒换算不能使用十进制；高级单位换算为低级单位乘以60，低级单位换算为高级单位除以60； 4、图形中角的个数统计要细致 数角需要按照有序顺序统计，防止重复计数或者漏计；依次选取每一条射线作为起始边向后统计；根据题目要求确定是否计入平角，不可额外多加平角； 5、角平分线判定条件要完整掌握 射线OC为AOB的角平分线，则AOC=COB=AOB；判定角平分线需要同时满足两个条件：射线位于角的内部，分割得到两个相等的角；仅 AOC=COB时，射线可能处于角的外部，不能判定该射线为角平分线； 6、理解余角概念与正确判定 两个角的度数之和等于90，则两个角互为余角；余角只取决于角度数值，和角所处位置无关；余角描述属于两角之间的相互关系，不能单独称某一个角为余角； 7、理解补角概念精准判定 两个角的度数之和等于180，则两个角互为补角；补角只取决于角度数值，和角所处位置无关；补角描述属于两角之间的相互关系，不能单独称某一个角为补角。 8、余角、补角性质记忆要完整 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等；区分90°与180°对应的性质；“同角”、“等角”两种情况该性质均可成立； 9、角度计算特别注意分类讨论避免漏解 题干未给出射线确切位置时，射线既可以在角的内部，也可以在角的外部；直接默认射线位于角的内部进行运算，会造成结果遗漏，需要分类进行求解。 1．下列关于角的说法，正确的有(      ) ①角是由两条射线组成的图形； ②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关； ③有公共点的两个直角组成平角； ④角可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形； ⑤把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角的度数也扩大10倍． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示，下列表示角的方法错误的是（　　） A．与表示同一个角 B．图中共有三个角：，， C．也可用来表示 D． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．锐角与钝角互为补角 B．和为的两个锐角互为余角 C．已知，则这三个角互补 D．互余的两个角不可能相等 4．如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 5．，，则___________. 6．一个角的补角是，则这个角的余角的度数是________． 7．如图，钟表上八时整时，时针与分针所成的角是________度． 8．已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 9．如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 10．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 11．如图，已知，平分，在的下方，且． （1）判断与互余吗？试说明理由． （2）判断与互补吗？试说明理由． 12．已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）． （1）如图①，使三角板的短直角边与射线重合，求的度数． （2）将图①的三角板在的上方绕点逆时针转动，如图②，在转动过程中，当时，求的度数． 第16页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $