1.3.1 等比数列的概念及其通项公式 一课一练-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

2025-2026学年北师大版数学选择性必修第二册 第一章 数列 §3 等比数列 3.1 等比数列的概念及其通项公式 A 基础练丨知识测评 1.若1，,,,16成等比数列，则 ( ) A.64 B. C.16 D. 2.（2025·山东省淄博中学阶段检测）已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且，则 ( ) A.16 B.8 C.4 D.2 3.已知数列为等比数列，且，则 ( ) A. B. C. D. 4.新情境 视力表标准对数视力表（如图1-3.1-1）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为“ ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“ ”的“边长”都是下方一行“”“边长”的倍，若视力4.0的视标“边长”为 ，则视力4.8 的视标“边长”为( ) A. B. C. D. 5.［多选题］（2025·江西省宜春市期中）已知数列的前项和为，且 ， ，下列说法正确的有( ) A.数列是等比数列 B. C.数列是递减数列 D.数列 是递增数列 6.已知数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列 的连续三项，则 __. 7.（2025·四川省内江市第六中学期中）已知数列满足 ，且， （1）求证： }是等比数列； （2）求数列 的通项公式. 8.设是等差数列，，且，， 成等比数列. （1）求 的通项公式; （2）记的前项和为，求 的最小值. B 综合练丨高考模拟 9.新情境 三分损益法（2025·江西省鹰潭市模拟）音乐与数学有着密切的联系，我国古代有个著名的“三分损益法”，即以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的 ，得到“商”；…．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得( ) A.“宫、商、角”的频率成等比数列 B.“宫、徵、商”的频率成等比数列 C.“商、羽、角”的频率成等比数列 D.“徵、商、羽”的频率成等比数列 10.（2025·江苏省无锡市澄宜六校联考）在等比数列中， ，则使不等式成立的最大正整数 是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 11.［多选题］已知等比数列的公比，等差数列的首项 ，若且 ，则以下结论正确的有( ) A. B. C. D. 12.已知数列满足：对任意均有为常数， 且，若，，，，，，6，11，，则 的所有可能取值的集合是_____. 13.设数列的前项和为，满足，且， . （1）求证：数列 是等比数列; （2）令，求数列{}的前项和，若对任意都有 ， 求实数 的取值范围. 14.新考法 结构不良设数列的前项和为， ，________. 给出下列三个条件： ①数列为等比数列，数列 也为等比数列； ②点在直线 上； ③ . 试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线处，完成下面的解答. （1）求数列 的通项公式； （2）设，求数列的前项和 . C 培优练丨能力提升 15.（2025· 八省联考）已知数列中，, . （1）证明：数列 ｝为等比数列； （2）求 的通项公式； （3）令，证明: ． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数列 §3 等比数列 3.1 等比数列的概念及其通项公式 A 基础练丨知识测评 1.若1，,,,16成等比数列，则 ( ) A.64 B. C.16 D. 1.A【解析】若1，,,,16成等比数列，设其公比为 , 则，即，则 ， 又，则 ． 2.（2025·山东省淄博中学阶段检测）已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且，则 ( ) A.16 B.8 C.4 D.2 2.C【解析】设等比数列的公比为，由得，得 ， 因为数列的各项均为正数，所以 . 又 ， 所以，所以 . 3.已知数列为等比数列，且，则 ( ) A. B. C. D. 3.B【解析】依题意,得,所以 . 由,得或（由于与 同号,故舍去）, 所以 . 故 . 4.新情境 视力表标准对数视力表（如图1-3.1-1）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为“ ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“ ”的“边长”都是下方一行“”“边长”的倍，若视力4.0的视标“边长”为 ，则视力4.8 的视标“边长”为( ) A. B. C. D. 4B【解析】由题意可得，以视力4.0的视标“边长”为首项 ，则公比，视力4.8的视标“边长”为 ， 故，即 . 5.［多选题］（2025·江西省宜春市期中）已知数列的前项和为，且 ， ，下列说法正确的有( ) A.数列是等比数列 B. C.数列是递减数列 D.数列 是递增数列 5.ABD【解析】 ①， 当时， （出现的下标，需写出 的取值范围）②， 可得，即 ， 令,则，满足，故 ， 数列 为等比数列，故A正确； ，故B正确； 且， 数列是递增数列，故C错误，D正确．故选 ． 6.已知数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列 的连续三项，则 __. 6. 【解析】由题意得，即，即 ．设数 列的公比为,则 ， 则 ． 7.（2025·四川省内江市第六中学期中）已知数列满足 ，且， （1）求证： }是等比数列； 7.(1)【答案】由 （构造等比数列常见类型（1），可直接观察也可用待定 系数法化归）,得 . 又,故数列}是首项为，公比为 的等比数列. （2）求数列 的通项公式. (2)【答案】由（1）知, ， . 8.设是等差数列，，且，， 成等比数列. （1）求 的通项公式; 8.(1)【答案】设的公差为 . 因为，所以，， . 因为，， 成等比数列， 所以 ， 所以，解得 . 所以 . （2）记的前项和为，求 的最小值. (2)【答案】由（1）知， . 所以，当时，；当时， . 所以的最小值为 . B 综合练丨高考模拟 9.新情境 三分损益法（2025·江西省鹰潭市模拟）音乐与数学有着密切的联系，我国古代有个著名的“三分损益法”，即以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的 ，得到“商”；…．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得( ) A.“宫、商、角”的频率成等比数列 B.“宫、徵、商”的频率成等比数列 C.“商、羽、角”的频率成等比数列 D.“徵、商、羽”的频率成等比数列 9.A【解析】设“宫”的频率为，由题意“宫”经过一次“损”，可得“徵”的频率为 ，“徵” 经过一次“益”，可得“商”的频率为 ，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率为，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率为,，由于，， 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列． 10.（2025·江苏省无锡市澄宜六校联考）在等比数列中， ，则使不等式成立的最大正整数 是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 10.C【解析】在等比数列中，由，知公比 , 则当时,;时, . 又(等比数列性质),则,, , 所以 , 又当时，,故使不等式 成立的 的最大值为7. 11.［多选题］已知等比数列的公比，等差数列的首项 ，若且 ，则以下结论正确的有( ) A. B. C. D. 11.AD【解析】数列是公比为的等比数列， 是首项为12的等差数列,设其公差 为，，所以 ,故A正确； 由于 的正负不确定，故B错误; 由，得与必有一个为负数，又，且,所以与 至少有一个为负数，又，故公差，那么，则 ，故C错误，D正确.故选 . 12.已知数列满足：对任意均有为常数， 且，若，，，，，，6，11，，则 的所有可能取值的集合是_____. 12. 【解析】由 （构造等比数列常见类型（1））,得 , ①若,则，,同理可得 ， 即 符合题意. ②若,为不等于0与1的常数，则数列是以 为公比的等比数列， 因为,,,6,11,, ,3,4,5, 则可以取， ,8，32. 若公比，则，此时,,, , 则由得 ; 若公比，则，此时,,, ， 则由得 . 综上所述，满足条件的所有可能取值为，0， . 13.设数列的前项和为，满足，且， . （1）求证：数列 是等比数列; 13.(1)【答案】分别令,2，代入条件，得 ,,解得 所以 ①, 当时， ②, 得， , 即 . 又,则 , 所以为首项为1，公比为 的等比数列. （2）令，求数列{}的前项和，若对任意都有 ， 求实数 的取值范围. (2)【答案】由（1）知，则 , 则 ， 所以 . 易知在 上递增， 所以当时， . 故 . 14.新考法 结构不良设数列的前项和为， ，________. 给出下列三个条件： ①数列为等比数列，数列 也为等比数列； ②点在直线 上； ③ . 试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线处，完成下面的解答. （1）求数列 的通项公式； 14.(1)【答案】方案一：选择条件①. （1）因为数列为等比数列，所以 （等比中项的应用）,即 设等比数列的公比为，因为,所以,解得 或 （舍去）， 所以 . 方案二：选择条件②. （1）因为点在直线 上， 所以,所以 , 两式相减得,即 . 因为,,所以 符合上式. 所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列， 所以 . 方案三：选择条件③. （1）当时，因为 , 所以 , 等式两边乘以2，得 , （ⅰ）得,即 , 当时，, ,符合上式. 所以数列 是首项为1,公比为2的等比数列， 所以 . （2）设，求数列的前项和 . (2)【答案】方案一：选择条件①. （2）由（1）得 , 所以 , 所以 . 方案二：选择条件②. （2）同方案一的（2）. 方案三：选择条件③. （2）同方案一的（2）. C 培优练丨能力提升 15.（2025· 八省联考）已知数列中，, . （1）证明：数列 ｝为等比数列； 15.(1)【答案】由得 ，则 （【懂方法】由所要证明的结论，去转化已知式的 形式，由果索因 ，逐步完成证明过程）， 所以数列｝是首项为，公比为 的等比数列. （2）求 的通项公式； (2)【答案】由（1）得 , 解得 . （3）令，证明: ． (3)【答案】. 令， （构造函数，借助函数的单调性证明不等式成立）， 因为在 上单调递增， 则 ， 所以数列｛｝为递减数列，从而数列为递增数列，且 ，故得 . 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $