1.2.1 等差数列的概念及其通项公式 一课一练-2025-2026学年高二下学期北师大版数学选择性必修第二册

2025-2026学年北师大版数学选择性必修第二册 第一章 数列 §2 等差数列 2.1 等差数列的概念及其通项公式 A 基础练丨知识测评 1.（2025·安徽省马鞍山市期中）已知等差数列满足 ，则 ( ) A.10 B.11 C.12 D.15 1.C【解析】在等差数列中，由，得，即 ，则 ． 2.（2025·山东省临沂市质检）在各项均为正数的等差数列 中，若，则 等于( ) A. B.0 C.1 D.2 2.D【解析】由等差中项的定义知，结合条件得 .又 ，所以,故 . 3.已知数列满足，，，那么使成立的 的最大值为( ) A.4 B.5 C.24 D.25 3.C【解析】，, 是首项为1，公差为1的等差数列， ,又, . 由得,即 . 又,故使成立的 的最大值为24. 4.数学文化 九章算术（2025·江苏省淮阴中学调研）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A.1升 B. 升 C. 升 D. 升 4.B【解析】设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列，其首项为，公差为 ， 由条件得即解得 所以 ． 5.［多选题］（2025·广东省佛山市南海一中质检）下列关于等差数列的命题中正确的有( ) A.若，，成等差数列，则，， 一定成等差数列 B.若，，成等差数列，则，， 可能成等差数列 C.若，，成等差数列，则，， 一定成等差数列 D.若，，成等差数列，则，， 可能成等差数列 5.BCD【解析】对于A，取，，，可得，， ，显然， ，， 不成等差数列，故A错； 对于B，取，可得 ，故B正确； 对于C，，， 成等差数列， ， 即，， 成等差数列，故C正确； 对于D，若，则 ，故D正确． 6.设数列，都是等差数列．若，，则 ____． 6.35【解析】 因为数列,都是等差数列,所以数列 也是等差数列. 故由等差数列的性质,得,即 , 解得 . 7.［开放题］已知等差数列是首项为的递增数列，若， ，则满足条件的数列 的一个通项公式为____________________________． 7.（答案不唯一） 【解析】设等差数列的公差为，由，得，解得 ， 又，得，解得 ， 所以只需可满足题意，如 8.（2025·江苏省盐城市五校联考期中）已知等差数列的公差为正数，与 的等差中项为8，且 ． （1）求 的通项公式； 8.(1)【答案】设等差数列的公差为 , 由题意知 ， 又，即 , 所以，，因为公差为正数，所以 , 则，则 . 所以 ． （2）从中依次取出第3项，第6项，第9项， ，第 项，按照原来的顺序组成一个新数列，判断938是不是数列 中的项，并说明理由． (2)【答案】结合（1）可知 ． 令，即，符合题意，即 ． 所以938是数列 中的项． B 综合练丨高考模拟 9.（2025·湖北省鄂州市期中）已知数列满足， ，设数列的前项和为，若，则 的最小值是( ) A.16 B.17 C.18 D.19 9.B【解析】， ， 数列{ }是以1为首项，3为公差的等差数列， ，则 ， ， ， 由得，，解得 ， 又， ． 10.已知数列的首项，其前项和为 ，且满足．若对任意的，恒成立，则 的取值范围是( ) A.， B.， C.， D.， 10.A【解析】由条件,得 ,两式相减得 ，于是,两式相减得 ，即数列 在 时的奇数项与偶数项均是以6为公差的等差数列． 又时，即 ， 从而， ； 时，即 ， 从而, . 由条件得 解得，故的取值范围是, ． 11.传统文化 二十四节气［多选题］（2025·四川省泸州市第二中学校月考）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中有一个问题：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图 1-2.1-1 （1）（2）所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的为( ) A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B.立春和立秋两个节气的晷长相同 C.春分的晷长为七尺五寸 D.立春的晷长比秋分的晷长长 11.ACD【解析】先取上半年（冬至到夏至）进行研究，设晷长为等差数列，公差为 （单位：寸）． 则，， ， ， 立春对应的晷长 ，夏至对应的晷长 ． 再取下半年（夏至到冬至）进行研究，设晷长为等差数列 ，公差为 ， ， 立秋对应的晷长 ， ，春分对应的晷长 ， 不正确，A，C，D正确．故选 ． 12.（2025·山西省太原市期中）已知数列的前项和为 ，且满足,，则数列的通项公式为 _ ________________. 12. 【解析】 , ,, . 故数列{}是以 为首项，4为公差的等差数列， , , 当时， , 13.已知数列中，，且 . （1）求， 的值； 13.(1)【答案】由,得 , . （2）是否存在实数 ，使得数列{}为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. (2)【答案】假设存在实数 ,使得数列{}为等差数列，设,由 为等差数 列，得 , 即,即,解得 , 当 时， ， （由于数列的前三项成等差数列，数列未必是等差数列，因此务必要检验） . 所以存在实数,使得数列{ }为首项是2,公差是1的等差数列. 14.（2025·陕西省西安市期末）已知数列满足，且 . （1）求证：数列{}是等差数列，并求 ； 14.(1)【答案】， ， 故 ， ， 数列是公差为 的等差数列. 又， ， ， ， . （2）令，求数列的前项和 ． (2)【答案】由（1）知 ， ，故 . C 培优练丨能力提升 15.[多选题]（2025·安徽省合肥八中三模）若数列满足：对其任意项 ，总存在唯一，使得，则称数列 具有“前 项封闭性质”．下列说法正确的是( ) A.数列1，2，3，4具有“前 项封闭性质” B.数列1，2，，3具有“前 项封闭性质” C.若数列的前项和为，则数列具有“前 项封闭性质” D.已知具有“前项封闭性质”的数列满足, ，数列为等差数列，则 15.ACD【解析】记数列的前项和为 . 对于A，,,, ， 则,,,，则,, , 成立，且 ，故A正确. 对于B，,,, ， 则,,,，可知, ，故B错误. 对于C，由，得 ， 当时，，而不满足 ， 因此令，即 ， 则当时，有，解得 ； 当时，，则，而， ，于是 ， 因此对每一个，有且仅有一个且 ， 使得 ， 即对任意的正整数，都仅存在一个正整数 ，满足条件，故C正确. 对于D，因为，得单调递增，则 ， 记，则 ， 由，且具有"前项封闭性质，得 ， 由，得，其公差 ， 由，得 ， 若，则当时， ，与 矛盾，故．即，所以 ， 又，于是（因为,所以,若 ,则有 ,不符合，所以 ）， 又单调递增，所以 ， 即，从而 ， 即 ， 又, ，也符合， 故,，又，所以 ，故D正确．故选 . 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数学选择性必修第二册 第一章 数列 §2 等差数列 2.1 等差数列的概念及其通项公式 A 基础练丨知识测评 1.（2025·安徽省马鞍山市期中）已知等差数列满足 ，则 ( ) A.10 B.11 C.12 D.15 2.（2025·山东省临沂市质检）在各项均为正数的等差数列 中，若，则 等于( ) A. B.0 C.1 D.2 3.已知数列满足，，，那么使成立的 的最大值为( ) A.4 B.5 C.24 D.25 4.数学文化 九章算术（2025·江苏省淮阴中学调研）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A.1升 B. 升 C. 升 D. 升 5.［多选题］（2025·广东省佛山市南海一中质检）下列关于等差数列的命题中正确的有( ) A.若，，成等差数列，则，， 一定成等差数列 B.若，，成等差数列，则，， 可能成等差数列 C.若，，成等差数列，则，， 一定成等差数列 D.若，，成等差数列，则，， 可能成等差数列 6.设数列，都是等差数列．若，，则 ____． 7.［开放题］已知等差数列是首项为的递增数列，若， ，则满足条件的数列 的一个通项公式为____________________________． 8.（2025·江苏省盐城市五校联考期中）已知等差数列的公差为正数，与 的等差中项为8，且 ． （1）求 的通项公式； （2）从中依次取出第3项，第6项，第9项， ，第 项，按照原来的顺序组成一个新数列，判断938是不是数列 中的项，并说明理由． B 综合练丨高考模拟 9.（2025·湖北省鄂州市期中）已知数列满足， ，设数列的前项和为，若，则 的最小值是( ) A.16 B.17 C.18 D.19 10.已知数列的首项，其前项和为 ，且满足．若对任意的，恒成立，则 的取值范围是( ) A.， B.， C.， D.， 11.传统文化 二十四节气［多选题］（2025·四川省泸州市第二中学校月考）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中有一个问题：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图 1-2.1-1 （1）（2）所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的为( ) A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B.立春和立秋两个节气的晷长相同 C.春分的晷长为七尺五寸 D.立春的晷长比秋分的晷长长 12.（2025·山西省太原市期中）已知数列的前项和为 ，且满足,，则数列的通项公式为 _ ________________. 13.已知数列中，，且 . （1）求， 的值； （2）是否存在实数 ，使得数列{}为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 14.（2025·陕西省西安市期末）已知数列满足，且 . （1）求证：数列{}是等差数列，并求 ； （2）令，求数列的前项和 ． C 培优练丨能力提升 15.[多选题]（2025·安徽省合肥八中三模）若数列满足：对其任意项 ，总存在唯一，使得，则称数列 具有“前 项封闭性质”．下列说法正确的是( ) A.数列1，2，3，4具有“前 项封闭性质” B.数列1，2，，3具有“前 项封闭性质” C.若数列的前项和为，则数列具有“前 项封闭性质” D.已知具有“前项封闭性质”的数列满足, ，数列为等差数列，则 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $