1.2.1 等差数列的概念及其通项公式 一课一练-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

高二下册北师大版数学选择性必修第二册 第1章 数列 第2节 等差数列 课时1 等差数列的概念及其通项公式 【一课一练】 知识点1 等差数列的判定 4年3考 1.[2025山东德州期中]下列数列中不是等差数列的是( ) A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16 C.,,1,, D.，， ，1，2 答案：D【解析】 对于A，该数列为常数列，是等差数列，公差为0；对于B，数列4，7，10，13，16为等差数列，公差为3；对于C，数列,,1,, 为等差数列，公差为；对于D，,而 ，故此数列不是等差数列.故选D. 2.“”是“数列 为等差数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B【解析】 若数列 为等差数列，则根据等差中项的定义可得，反之，若成立，不一定得到数列 为等差数列.故选B. （ 只有满足每一项（除了首项和末项）都是它前一项和后一项的等差中项,这个数列才是等差数列.） 3.（多选）若 是等差数列，则下列数列一定为等差数列的是( ) A. B. C. D. 答案：ACD【解析】 设等差数列的公差为 .对于A， ，所以是以 为公差的等差数列,A正确； 对于B，，因为 不一定为常数，所以 不一定是等差数列，B错误； 对于C，因为，所以 是以 为公差的等差数列，C正确； 对于D，因为 ，所以是以 为公差的等差数列，D正确. 【归纳总结】 若数列是公差为的等差数列，则：（1）数列 中所有偶数项构成的数列和所有奇数项构成的数列 均为等差数列，且公差均为；（2）数列 , 均为常数）是公差为 的等差数列. 4.已知数列的通项公式为 . （1）当和满足什么条件时，数列 是等差数列？ 【解析】 若 是等差数列， 则 是一个与 无关的常数， 所以，即 . 所以,时，数列 是等差数列. （2）求证：对任意实数和，数列 是等差数列. 【解析】 因为 ， 所以 ， 所以是一个与 无关的常数，所以 是等差数列. 【归纳总结】 等差数列的判定角度 角度一：定义法.在数列中，若 （常数）恒成立，则数列 为等差数列. 角度二：等差中项法.在数列中，若 恒成立,则数列 为等差数列. 角度三：等差数列与一次函数的关系.等差数列 的通项公式为 ，因此若数列 的通项公式为 （其中, 为常数），则这个数列一定是等差数列. 知识点2 等差数列中基本量的计算 4年14考 5.在数列中，，，若，则 的值是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案：D【解析】 由题意，得数列满足.又 ，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列，则 .令，得 . 6.[2025北京四中期中]已知等差数列是递增数列，且, ，则公差为( ) A.1 B.2 C.0或1 D.0或2 答案：B【解析】 设等差数列的公差为，且，因为， ，所以，即，解得或 （舍去）. 7.[2025河南南阳六校联考]已知等差数列中，, ，则 ( ) A.50 B.55 C.60 D.65 答案：D【解析】设等差数列的公差为，则 解得所以 ，所以 . 【归纳总结】 在等差数列中，首项为，公差为 ，则，且对任意的，，有 .特别地，当时， ，这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差. 8.[2025云南昆明期末]在等差数列中，，则 ( ) A. B. C. D. 答案：D【解析】 . 9.[2025山东济宁段考]已知是等差数列，且 ，，则数列的通项公式为____；若从数列 中，依次取出第2项、第4项、第6项……第项，按原来的顺序组成一个新数列 ，则数列的通项公式为 ____. 答案： 【解析】 设等差数列的公差为，因为 ，所以 ,即,所以.因为 ， 所以，所以 ， 所以.，， ， ， ，所以 是以4为首项，4为公差的等差数列,所以 . 10.已知等差数列,7,11,15， . （1）求 的通项公式. 【解析】 设数列的公差为 . 依题意，有, , 所以 . （2）135是数列 中的项吗？如果是，是第几项？ 【解析】 令，得 ，所以135是数列 中的项，是第34项. （3）若，是数列中的项，那么是数列 中的项吗？如果是，是第几项? 【解析】 因为，是数列 中的项，所以， ， 所以 . 因为 ， 所以是数列中的项，是第 项. 知识点3 等差数列的函数特性 4年2考 11.已知等差数列，则“是递增数列”是“ ”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A【解析】 设等差数列的公差为.当是递增数列时， ；反之，当时，，是递增数列.故“ 是递增数列”是“ ”的充要条件. 12.跨模块 [2025福建三明一中月考]已知数列是等差数列， ，，则过点， 的直线的斜率为___. 答案：4【解析】由数列是等差数列，知是关于 的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点，因此过点， 的直线的斜率即过点， 的直线的斜率，所以直线的斜率为 . 13.已知等差数列的首项，公差 . （1）若，求 的值； 【解析】 由题得 ， 又,所以此数列为递减数列，（ 等差数列 的单调性由公差 的正负决定.） 所以若，则， . 由，得 ， 所以，，所以 . （2）当为何值时， 最小? 【解析】 由（1）知 ， 可得 令，则在时取得最小值，为 . 令，则在时取得最小值，为 . 综上，当时,取得最小值，为 . 知识点4 等差数列的性质的应用 4年2考 14.在等差数列中，，，则 ( ) A.4 B.8 C.3 D.6 答案：B【解析】 因为等差数列中,若 ,则 ，所以，即 ，得 . 【归纳总结】 已知 为等差数列. （1）若，则 . （2）若，则 . 15.[2025广东汕头期中]在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为( ) A.21 B.24 C.27 D.30 答案：C【解析】 设插入的3个数依次为,,，即3,,, ,15成等差数列，因此，解得 ，所以插入的3个数之和为 . 16.教材习题组变式 [2025天津南开区段考]已知数列， 都是等差数列，且，，则 ( ) A. B. C.1 D.2 答案：A【解析】 因为数列，都是等差数列，所以数列 是等差数列，又，，所以数列的公差为 ，所以 ，故选A. 17.[2025河北邯郸期末]在等差数列中，若 ，则 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案：D【解析】由等差数列的性质可得 ，则 ， . 变式 [2025陕西汉中段考]已知等差数列满足 ，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B【解析】因为 ，所以 . 【归纳总结】 已知 为等差数列. （1）若 ，则 . （2）若，则 . 18.教材2.1例5后练习变式 已知中三边，， 成等差数列，，，也成等差数列，则 的形状为____________. 答案：等边三角形 【解析】 因为，，成等差数列,，， 也成等差数列，所以 则,即 ，所 以，故，所以 为等边三角形. 19.（1）设是公差为的等差数列，且 ,，则___， __. 答案：6 【解析】由等差数列的性质,知， ，， 构成一个新的等差数列，其首项为1，公差为1， 所以， . （2）设是公差为的等差数列， ，，则____， __. 答案：19 【解析】由题意知， ， 是以 为公差的等差数列， 所以， . 【归纳总结】 （1）若等差数列的公差为 ，则,, 是以 为公差的等差数列. （2）若等差数列的公差为，则 ，，, 是以 为公差的等差数列. 知识点5 构造等差数列求数列的通项公式 4年1考 20.[2025云南昆明期末]已知数列满足，且 ，则 ( ) A. B. C. D. 答案：C【解析】 对两边同时取倒数，得 ，则 ，所以数列{ }是以2为首项，4为公差的等差数列，所以 ，则，所以 .故选C. 21.[2025北京一中期中]已知数列满足 ，，则数列的通项公式为 ________. 答案： 【解析】 由题意得.因为 ， 所以，即 ， 等式两边开方可得 ， 即，所以数列{}是首项为 ， 公差为1的等差数列， 所以 ， 所以 . 22.已知数列满足，且 . （1）求， ； 【解析】 因为 ， 所以 ， 又,所以， . （2）求数列 的通项公式. 【解析】 由，得 . 又,所以{}是首项为 ，公差为3的等差数列， 所以 ， 则，即数列的通项公式为 . 学科网（北京）股份有限公司 $高二下册北师大版数学选择性必修第二册 第1章 数列 第2节 等差数列 课时1 等差数列的概念及其通项公式 【一课一练】 知识点1 等差数列的判定 4年3考 1.[2025山东德州期中]下列数列中不是等差数列的是( ) A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16 C.,,1,, D.，， ，1，2 10，13，16为等差数列，公差为3；对于C，数列,,1,, 为等差数列，公差为；对于D，,而 ，故此数列不是等差数列.故选D. 2.“”是“数列 为等差数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.（多选）若 是等差数列，则下列数列一定为等差数列的是( ) A. B. C. D. 4.已知数列的通项公式为 . （1）当和满足什么条件时，数列 是等差数列？ （2）求证：对任意实数和，数列 是等差数列. 知识点2 等差数列中基本量的计算 4年14考 5.在数列中，，，若，则 的值是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 6.[2025北京四中期中]已知等差数列是递增数列，且, ，则公差为( ) A.1 B.2 C.0或1 D.0或2 7.[2025河南南阳六校联考]已知等差数列中，, ，则 ( ) A.50 B.55 C.60 D.65 8.[2025云南昆明期末]在等差数列中，，则 ( ) A. B. C. D. 9.[2025山东济宁段考]已知是等差数列，且 ，，则数列的通项公式为____；若从数列 中，依次取出第2项、第4项、第6项……第项，按原来的顺序组成一个新数列 ，则数列的通项公式为 ____. 10.已知等差数列,7,11,15， . （1）求 的通项公式. （2）135是数列 中的项吗？如果是，是第几项？ （3）若，是数列中的项，那么是数列 中的项吗？如果是，是第几项? 知识点3 等差数列的函数特性 4年2考 11.已知等差数列，则“是递增数列”是“ ”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 12.跨模块 [2025福建三明一中月考]已知数列是等差数列， ，，则过点， 的直线的斜率为___. 13.已知等差数列的首项，公差 . （1）若，求 的值； （2）当为何值时， 最小? 知识点4 等差数列的性质的应用 4年2考 14.在等差数列中，，，则 ( ) A.4 B.8 C.3 D.6 15.[2025广东汕头期中]在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为( ) A.21 B.24 C.27 D.30 16.教材习题组变式 [2025天津南开区段考]已知数列， 都是等差数列，且，，则 ( ) A. B. C.1 D.2 17.[2025河北邯郸期末]在等差数列中，若 ，则 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 变式 [2025陕西汉中段考]已知等差数列满足 ，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 18.教材2.1例5后练习变式 已知中三边，， 成等差数列，，，也成等差数列，则 的形状为____________. 19.（1）设是公差为的等差数列，且 ,，则___， __. （2）设是公差为的等差数列， ，，则____， __. （3）若等差数列的公差为，则 ，，, 是以 为公差的等差数列. 知识点5 构造等差数列求数列的通项公式 4年1考 20.[2025云南昆明期末]已知数列满足，且 ，则 ( ) A. B. C. D. 21.[2025北京一中期中]已知数列满足 ，，则数列的通项公式为 ________. 22.已知数列满足，且 . （1）求， ； （2）求数列 的通项公式 学科网（北京）股份有限公司 $