精品解析：吉林长春汽车经济技术开发区第六中学2025-2026学年高三下学期校内二模数学试卷

汽开区六中26届高三年级 2025～2026学年度下学期校内二模 数学学科 命题人：王京京 审题人：王文光 考试说明： 1．考试时间为120分钟，满分150 分，选择题涂卡. 2．考试完毕交答题卡. 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出，利用补集概念求出答案. 【详解】，故. 故选：A 2. 已知复数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算及共轭复数的定义求解即可. 【详解】. . . 所以. 故选：B. 3. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求解不等式即可. 【详解】因为表示双曲线，所以，解得或， 故选：C 4. 已知直线和平面，下列表述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行和垂直的判定定理和面面平行和垂直的判定定理即可求解. 【详解】由，条件中缺少，故A错误； 由，条件中缺少，故B错误； 由，条件中缺少，故C错误； 由，故D正确； 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式化简得到，再弦化切得到，最后用两角差的正切公式化简得解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 则. 故选：A. 6. 如图，在三棱锥中，，，，为的中点，为的中点，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据图形，利用向量的线性运算，用基底表示向量，再利用向量数量积的运算律，即可求解. 【详解】由题意得， 所以， ， 所以线段. 故选：C. 7. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为、， 是 上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆 ，，，则，故、， 圆 的标准方程为，圆心为，半径为 ，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点 、分别为线段与椭圆、圆 的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 8. 已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（ ） A. 80 B. 75 C. 70 D. 65 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义结合导数可得，结合题意可得，，进而可得，且，即可得结果. 【详解】因为为偶函数，则，求导可得， 因为，， 则，可得， 且，则，可得， 即，可得，可知8为的一个周期， 且， 对于，， 令，可得，，可得， 所以. 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在 中，角 ，， 所对的边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】因为，，，所以 由正弦定理可得：，即， 则，得，则， 所以， 所以 的周长， 所以 的面积为, 由上可知AC错误，BD正确， 故选：BD 10. 在棱长为2的正方体中，M为边的中点，下列结论正确的有（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 过三点A、M、的截面面积为 C. 四面体的内切球的表面积为 D. E是边的中点，F是 边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形． 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解；对于B，作出过三点A、M、的截面，即可求其面积；对于C，利用等体积法求出内切球的半径，即可求解；对于D，利用几何作图，作出过E、M、F三点的截面，即可判断. 【详解】对于A，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，则, 则， 与所成角的范围为，故与所成角的余弦值为，A正确； 对于B，设N为的中点，连接MN，则，且， 则梯形即为过三点A、M、的截面， ，则梯形高为， 故梯形面积为为，B错误； 对于C，如图，四面体的体积等于正方体体积减去四个角上的直三棱锥的体积， 即， 该四面体的棱长为，其表面积为， 设四面体内球球半径为r，则， 故四面体的内切球的表面积为，C错误； 对于D，如图，延长ME和的延长线交于J，则≌， 则，设H为的中点，则， 连接HJ，则≌，则， 故G为的中点，故， 同理延长交于L，连接LH，交于K， K即为的中点，则K，E在确定的平面内， 则六边形即过E、M、F三点的截面，是六边形，D正确， 故选：AD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了空间几何中的线线角、截面、以及内切球问题，难度较大，解答时要发挥空间想象能力，明确空间的位置关系，结合空间向量以及等体积法和几何作图解决问题. 11. 若无穷数列存在满足：①为等差数列；②为等比数列；③对任意正整数恒成立，则称数列为“项等差-等比过渡循环数列”.已知前项和为的数列为“项等差-等比过渡循环数列”，且，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的值可以为11 D. 不存在，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据公差和公比写出等差和等比数列的通项公式，A选项利用周期性即可计算；B选项中因只能为等差数列中的项，故而可得即可；C选项因也为等差数列中的项，故得可解；D选项利用周期性以及分组求和即可. 【详解】可知等差数列的公差为，首项为， 则； 可知等比数列的公比为，首项为， 则； 若，则，由得，故A正确； 因等比数列中任意一项均不为，则必属于等差数列中的项， 又因，故，其中，解得，故B正确； 10为等差数列的第4项，故，故， 则，可知当时，不是正整数，故C错误； 依题意， ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知等差数列的前项和为，，，则__________． 【答案】1100 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 则，， 联立解得，， 所以，， 所以. 故答案为：1100. 13. 已知抛物线的焦点是双曲线 ：的右焦点，点 是两曲线的一个公共点， 为坐标原点．若，则 的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用抛物线和双曲线的定义，结合已知条件建立关于双曲线参数的等式求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，双曲线 的右焦点为， 由题意知，. 抛物线的准线方程为， 因为，所以，即. 设 在第一象限，将代入抛物线方程可得，所以. 代入双曲线方程，又，所以. 设，则，整理得， 解得，因为，所以， 所以. 故答案为：. 14. 三棱锥的一组对棱长为，其余四条棱长均为1，则该三棱锥体积最大值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出图，先证明出平面，根据图由三棱锥的体积公式，构造函数，利用导数求解函数的最值即可. 【详解】由题意画出棱锥的图形，，； 取的中点分别为，则平面，所以平面， ， 所以， 令， 当在单调递增， 当在单调递减， 故当时，体积取得最大值． 故答案为： 第Ⅱ卷 四、解答题：（本题共5小题，共77分.其中第15题满分13分，第16、17题满分15分，第18、19题满分17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求证：. 【答案】（1） （2） 由题知， 所以， . 【解析】 【分析】（1）利用等比数列基本量计算； （2）根据对数运算求得，由得证. 【小问1详解】 设的公比为，由知， ， 由得， . 【小问2详解】 略 16. 已知函数的一段图象过点，如图所示． （1）求函数的表达式； （2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出， 的值，进而确定函数解析式； （2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出的解析式，由 可求出，进而得到的值域； （3）根据可求出，由此求出，进而得到的值. 【小问1详解】 由图知，，则. 由图可得，在处最大值， 又因为图象经过，故， 所以，故， 又因为，所以， 函数又经过，故，得. 所以函数的表达式为． 【小问2详解】 由题意得，， 因为，所以， 则，所以， 所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 因为， 所以，即， 又因为，所以， 由，所以. 所以， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）设平面． （i）求实数的值； （ii）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：以 为原点，以、、的正方向分别为 轴、 轴、轴的正方向， 建立如图的空间直角坐标系，则： ，即． 又平面 知，由，则平面． （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）证明：利用空间向量法求解，求出，求出即，由平面 知，利用线面垂直的判定定理得到平面． （2）（i）求出，求出平面的一个法向量，得到，从而得到平面，利用线面平行的性质定理得到，设，求出 ，利用求出的值； （ii）由（i）求出，分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量的数量积求出 ．设二面角的平面角为，利用同角关系式求出，从而得到二面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i），平面的一个法向量为，显然， 故平面，而平面平面，于是， 设； （ii）由（i）， 设平面的一个法向量分别为， 则：， 取，则，即． 设平面的一个法向量分别为， ， 取．则，即， ． 设二面角的平面角为，则， ，，， ，， 即二面角的正弦值为． 【点睛】 18. 已知一动圆的圆心为，该动圆与圆 外切，同时与圆 内切. （1）求该动圆圆心的轨迹方程； （2）设圆心的轨迹为曲线 .点 在曲线 上（异于顶点），，，，直线 交 轴于点 ，若的面积是的面积的两倍，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意，，进而根据椭圆的定义可得； （2）由题意设直线的方程为，则，联立椭圆方程可得，进而可得，，由，进而可得. 【小问1详解】 设动圆的半径为. 由题意，圆与圆的标准方程分别为和， 故，半径，，半径， 由题意得，， 故， 由椭圆的定义，得圆心的轨迹是焦点在 轴上，长轴长为，焦距为的椭圆. ，，故， 故圆心的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）知，曲线 即椭圆. 由题意，点，是椭圆 的左、右顶点. 由题意知，直线的斜率一定存在，设为，则，且， 直线的方程为，则 设， 由消去 ，整理得. 由题意得，故， 故， 又点到直线的距离， 故 又， 由题意，化简得， 解得或 当时，，则； 当时，，则. 综上，的值为或. 19. 已知函数在点处的切线方程为． （1）求实数的值； （2）设． （i）证明：存在唯一极小值； （ii）设的极小值点为，证明：． 【答案】（1） （2）（i）因为，其定义域为. 所以. 令 ，得或， 设，所以在上恒成立，所以 在上单调递减. 又，所以存在唯一，使． 故时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以是函数的唯一极小值点，所以存在唯一极小值． （ii）因为的极小值点为，所以． 又，且在上单调递增，所以； 又，两边取自然对数得，即，即. 所以， 设， 则在上恒成立，故在上单调递减， 故，即．综上所述：． 【解析】 【分析】（1）求出的导函数，根据切线的斜率为，及点在切线上列方程，求出 的值； （2）（i）由（1）得，利用导数分析函数的单调性，即可证明存在唯一极小值；（ii）由（i）可得的取值范围，构造新函数，利用导数可分析新函数的取值范围，从而证明. 【小问1详解】 因为在点处的切线方程为 ，即 . 所以切线的斜率为 ，且当 时， . 因为，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开区六中26届高三年级 2025～2026学年度下学期校内二模 数学学科 命题人：王京京 审题人：王文光 考试说明： 1．考试时间为120分钟，满分150 分，选择题涂卡. 2．考试完毕交答题卡. 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和平面，下列表述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥中，，，，为的中点，为的中点，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为、， 是 上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（ ） A. 80 B. 75 C. 70 D. 65 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在 中，角 ，， 所对的边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为 10. 在棱长为2的正方体中，M为边的中点，下列结论正确的有（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 过三点A、M、的截面面积为 C. 四面体的内切球的表面积为 D. E是边的中点，F是 边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形． 11. 若无穷数列存在满足：①为等差数列；②为等比数列；③对任意正整数恒成立，则称数列为“项等差-等比过渡循环数列”.已知前项和为的数列为“项等差-等比过渡循环数列”，且，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的值可以为11 D. 不存在，使得 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知等差数列的前项和为，，，则__________． 13. 已知抛物线的焦点是双曲线 ：的右焦点，点 是两曲线的一个公共点， 为坐标原点．若，则 的离心率为__________． 14. 三棱锥的一组对棱长为，其余四条棱长均为1，则该三棱锥体积最大值为______________. 第Ⅱ卷 四、解答题：（本题共5小题，共77分.其中第15题满分13分，第16、17题满分15分，第18、19题满分17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求证：. 16. 已知函数的一段图象过点，如图所示． （1）求函数的表达式； （2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域； （3）若，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）设平面． （i）求实数的值； （ii）求二面角的正弦值． 18. 已知一动圆的圆心为，该动圆与圆 外切，同时与圆 内切. （1）求该动圆圆心的轨迹方程； （2）设圆心的轨迹为曲线 .点 在曲线 上（异于顶点），，，，直线 交 轴于点 ，若的面积是的面积的两倍，求的值. 19. 已知函数在点处的切线方程为． （1）求实数的值； （2）设． （i）证明：存在唯一极小值； （ii）设的极小值点为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $