第二十八章 锐角三角函数 单元测试卷2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十八章《锐角三角函数》单元测试卷 满分：120分　　时间：90分钟 姓名：_____________ 班级：_____________ 得分：_____________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若 ，则 的值是（　　） 　 A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． 2. 下列各式中，值等于 的是（　　） 　 A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． 3. 若α为锐角，且 ，则 的值为（　　） 　 A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． 4. 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，CD垂直AB于D，若AC＝17，CD＝8，则 的值为（　　） 　 A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． 5. 计算： 的结果是（　　） 　 A． 　　 B．1　　 C． 　　 D．2 6. 一个山坡的坡度为1:2，若沿山坡走了 米，则垂直上升的高度为（　　） 　 A．10米　　 B．20米　　 C．5米　　 D． 米 7. 在平面直角坐标系中，点W在第三象限，OW＝51，且 ，则点W的坐标为（　　） 　 A．(−24, −45)　　B．(−45, −24)　　 C．(24, −45)　　 D．(−24, 45) 8. 若α为锐角，且满足 ，则α的度数为（　　） 　A．30°　　 B．45°　　 C．60°　　 D．不存在 9. 小刚在F处测得烟囱顶端G的仰角为60°，向烟囱后退10米到H处，仰角变为30°。设烟囱高GI＝h米，则h等于（　　） 　 A． 　　 B．10　　 C． 　　 D．5 10. 一艘船从港口P₁出发，先向南偏西60°方向航行20海里到达P₂，再向正北航行10海里到达P₃。此时船在港口P₁的（　　） 　 A．正西方向　　 B．西偏南30°方向　　 C．西南方向　　 D．南偏西30°方向 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 计算： __________。 12. 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若 ，BC＝40，则AB＝__________。 13. 一段公路的坡角为α，若 ，则该公路的坡度为__________。 14. 已知α为锐角，且 ，则 __________。 15. 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝21，点Z在A B上，且 BZ＝14，则 __________。 16. 一架无人机在高度为80米处悬停，测得前方山顶A₁的俯角为60°，继续向前水平飞行40米后，测得山顶A₁的俯角为30°。则山顶距地面的高度为__________米。（结果保留根号） 三、解答题（共66分） 17.（8分）计算： 18.（8分）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝21， 。 （1）求AB的长； （2）求 的值。 19.（10分）为了测量旗杆的高度A₂B₂，在地面上选一点C₁，测得∠A₂C₁ B₂＝60°，再向旗杆方向前进20米到点C₂，测得∠A₂C₂B₂＝45°。求旗杆高 A₂B₂。（结果精确到0.1米，参考数据： ） 20.（10分）某防洪堤的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，AB为迎水面，坡角∠ B＝45°，坝高AE＝10米（E在BC上），背水面CD的坡度为1:2.4。 （1）求迎水面AB的长度； （2）求背水面CD的水平宽度DF（F在BC上）。 21.（10分）小华站在一栋教学楼顶D₁处，测得对面实验楼顶D₂的仰角为30°，测得实验楼底D₃的俯角为45°。已知两楼之间的水平距离为40米，求实验楼D₂D₃的高度。 22.（10分）一艘货轮在Q₁处观测到灯塔R₁在北偏东30°方向，距离为40海里。货轮以每小时20海里的速度向正南方向航行，2小时后到达Q₂处。求此时货轮与灯塔R₁的距离。 23.（10分）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8。点A₃在BC上，且CA₃＝3，连接AA₃。 （1）求AB的长； （2）求 的值； （3）若过点A₃作A₃B₃垂直AB于B₃，求A₃B₃的长。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：由 ，可设对边为5，邻边为12，则斜边为 。 因此 。 2. B 解析： ，其他选项： ， ， ，均不相等。 3. A 解析： （α为锐角，余弦为正）。 4. B 解析：在Rt△ACD中，AD = 。 由面积法： ，又 ， 代入得 。 故 。 5. C 解析： ， ， ， 原式 。 6. A 解析：坡度1:2表示垂直高度与水平宽度之比为1:2。设垂直高度为 ，则水平宽度为 ，斜边为 。 由 ，得 ，故垂直高度为10米。 7. A 解析： ，得 。 因点W在第三象限，y < 0，故 。 所以点W坐标为(−24, −45)。 8. D 解析：将α = 30°、45°、60°分别代入验证： α=30°：左边≈0.5，右边≈0.866 + 0.707 − 1 ≈ 0.573，不等； α=45°：左边≈0.707，右边≈0.707 + 0.707 − 1 ≈ 0.414，不等； α=60°：左边≈0.866，右边≈0.5 + 0.707 − 1 ≈ 0.207，不等。 方程无锐角解，故不存在。 9. A 解析：设烟囱高为 米，F处到烟囱底部的水平距离为米。 在F处： ； 在H处（后退10米）： 。 联立得 ，整理得 ，即 ， 解得 。 10. A 解析：以P₁为坐标原点，正北为y轴正方向。 P₂位置：南偏西60°，即与正南夹角60°向西， 　x = −20 × sin60° = −10，y = −20 × cos60° = −10； P₃位置：从P₂向正北航行10海里，故 y = −10 + 10 = 0，x 不变。 所以P₃坐标为(−10, 0)，位于x轴负半轴，即P₁的正西方向。 二、填空题 11. 解析： ， ， ， 原式 。 12. 58 解析：在Rt△ABC中， ，即 ， 解得 。 13. 3:4 解析： ，设垂直高度为3k，斜边为5k， 则水平宽度为 ， 坡度 = 垂直高度 : 水平宽度 = 3k : 4k = 3:4。 14. 解析： ， 而 。 15. 解析：AB = 。 通过几何关系或坐标法可得 。 16. 解析：设山顶高度为 米（ ）。 第一次观测：俯角60°，水平距离为 ，则 ； 第二次观测：向前飞40米后俯角变小为30°，说明飞离山顶，水平距离为 ， 则 。 联立消去 ： ， 令 ，得 ， 两边乘 ： ， 故 。 三、解答题 17. 解： 原式 。 18. 解： （1）在Rt△ABC中， ， BC = 21， 　故 。 （2）AC = ， 　 。 19. 解： 设旗杆高A₂B₂ = 米。 在C₂处，仰角45°，故C₂到旗杆底部B₂的水平距离为 ； 在C₁处，仰角60°，故 C₁到B₂的水平距离为 。 因为C₁比C₂远20米（向旗杆方向前进），所以： 　 ， 　 ， 　 。 代入 ，得 ， 故旗杆高约为 47.3米。 20. 解： （1）在Rt△ABE中，∠B = 45°，AE = 10米， 　 AB = （米）。 （2）背水面CD的坡度为1:2.4，即垂直高度 : 水平宽度 = 1 : 2.4。 　已知垂直高度AE = DF = 10米， 　故水平宽度DF = （米）。 21. 解： 设实验楼高D₂D₃ = 米。 由俯角45°可知，教学楼高 = 水平距离 × = 40 × 1 = 40（米）； 由仰角30°可知，D₁到 D₂的垂直高度差 = 40 × = （米）； 因为D₂在D₁下方，所以实验楼高度 = 教学楼高 − 垂直高度差， 　 （米）。 22. 解： 以Q₁为原点，正北为y轴正方向。 灯塔R₁位置：北偏东30°，距离40海里， 　x = 40 × sin30° = 20，y = 40 × cos30° = 20； Q₂位置：向正南航行20 × 2 = 40海里，故坐标为(0, −40)。 距离R₁Q₂ = = （海里）。 （可保留此形式，或近似为62.9海里） 23. 解： （1）AB = 。 （2）设C为原点，A(15, 0)，B(0, 8)，则 A₃在BC上且CA₃ = 3，故A₃(0, 3)。 　向量AB = (−15, 8)，向量AA₃ = (−15, 3)， 　 。 （3）△ABC的面积 = 。 　又面积 = ， 　故 。 学科网（北京）股份有限公司 $