2026年中考数学第二轮专题复习之选择题复习——6：《一元二次方程及其应用》

2026 年中考第二轮复习 选择题专题 6. 一元二次方程及其应用 本课题聚焦中考一元二次方程及其应用板块选择题，结合近三年真题考情与 2026 年命题趋势，立足第二轮复习 “强化核心、精准破题” 的核心目标，梳理题型特点、答题要点与避坑事项，助力学生高效攻克该板块选择题，扎实拿下基础与中档得分点。 一、题型特点 1. 考点核心，覆盖全面：核心考查一元二次方程的定义、一般形式、解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）、根的判别式、根与系数的关系，以及增长率、利润、几何图形等实际应用，基础题与中档题占比 80%，是中考重点得分板块； 2. 形式灵活，关联紧密：题型包括概念辨析、解法判断、根的情况分析、参数求值、实际应用建模，部分题目结合二次函数、不等式、几何图形性质，跨知识点综合考查，选项干扰性强，需精准分析数量关系； 3. 应用突出，情境真实：实际应用题多取材于生活场景（如商品销售、增长率、围栏面积）、古代数学问题（如《九章算术》相关题型），侧重考查数学建模能力，符合中考 “学以致用” 的命题导向。 二、答题要点 1. 吃透概念，规范基础：牢记一元二次方程的一般形式:a，判断方程类型时先化为一般形式，再确认二次项系数不为 0；熟练掌握根的判别式，根据的符号快速判断根的情况（有两个不相等实根、有两个相等实根、无实根）。 2. 择优解法，高效求解：解一元二次方程时，优先选择简便方法 —— 能因式分解的用因式分解法，能直接开方的用直接开平方法，复杂方程用公式法或配方法；涉及根与系数关系（韦达定理）的题目，先明确、，再结合代数式变形求解。 3. 建模优先，精准转化：实际应用题先审题提炼关键信息，明确已知量与未知量，再根据数量关系列方程 —— 增长(降低)率问题用，利润问题用 “利润 =（售价 - 进价）× 销量”，几何图形问题结合面积、周长公式，将实际问题转化为数学模型。 4. 巧用技巧，快速排除：选择题可借助代入验证法，将选项代入方程或题干条件验证；涉及参数的题目，利用特殊值法缩小范围；综合题先化简条件（如配方法转化二次函数形式），再结合选项筛选答案。 三、避坑指南 1. 规避概念误区：勿忽略一元二次方程中 “二次项系数不为 0” 的条件；混淆根的判别式与根与系数的关系，避免在无实根的情况下误用韦达定理。 2. 防止解法失误：用配方法时，移项后需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，避免漏加；用公式法时，先确认方程为一般形式，准确代入a、b、c的值，注意符号。 3. 警惕应用建模错误：实际应用题中易混淆 “增长（降低）率” 与 “增长（降低）量”，如 “每月增长率为x” 需用(1+x)表示增长后的量；几何问题中忽略图形边长的非负性，解得结果后未验证合理性。 4. 避免参数陷阱：涉及 “一根大于 1，另一根小于 1” 等根的分布问题，勿直接求解方程，可通过构造二次函数，利用函数值符号快速判断；含参数的方程需全面考虑参数取值范围，避免漏解（如二次项系数为字母时，需分一次方程和二次方程讨论）。 本课题选择题核心是 “抓基础、优解法、善建模、避陷阱”，复习中需强化一元二次方程的概念与解法训练，提升实际问题的建模能力，通过针对性练习熟练掌握解题技巧，减少细节失误，确保基础题型不失分、应用题型稳得分，为中考筑牢该板块得分基础。 四、真题练习 1.（24-25·河南模拟）用公式法解一元二次方程时，首先要确定、、的值，下列叙述正确的是（    ） A. B. C. D. 2.（24-25·贵州模拟）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） A. B. C. D. 3.（23-24·四川中考）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A. B. C.或 D. 4.（24-25·广东中考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A. B.且 C. D.且 5.（23-24·吉林中考）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A. B. C. D. 6.（24-25·山东模拟）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A. B. C. D. 7.（23-24·山西中考）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8.（24 -25·河南模拟）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 9.（24-25·四川模拟）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A. B. C.且 D.且 10.（23-24·四川中考）当时，一次函数有最大值，则实数的值为（    ） A.或 B.或 C.或 D.或 11.（23-24·贵州中考）一元二次方程的解是（    ） A.， B.， C.， D.， 12.（24-25·湖北模拟）已知实数，满足，则的值是（    ） A.或 B.或 C. D. 13.（24-25·江西模拟）若实数，满足，则的值为（      ） A. B. C.或 D.或 14.（23-24·广东中考）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 15.（24-25·黑龙江模拟）一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 16.（24-25·湖北中考）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 17.（24-25·安徽模拟）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A. B. C. D. 18.（25-26·江苏模拟）不论、为何值，用配方法可说明代数式的值（ ） A.总不小于 B.总不小于 C.可为任何实数 D.可能为负数 19.（24-25·山东模拟）已知为实数，设，则的最大值是（    ） A. B. C. D. 20.（25-26·四川模拟）若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 21.（25-26·湖南模拟）若实数，满足，，则的值为（    ） A. B.或 C.或 D. 22.（24-25·山东模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的辆增加到三月份的辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为，则可列方程为（   ） A. B. C. D. 23.（22-23·贵州中考）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A. B. C. D. 24.（23-24·黑龙江模拟）某商场将进货价为元的某种服装以元售出，平均每天可售件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件应降价（      ） A.元 B.元 C.元 D.元 25.（24-25·山西中考）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒元，按元出售，平均每天可售出盒．后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销售可增加盒．若该经销商想要平均每天获利元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 26.（24-25·江苏模拟）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长尺，竹竿竖着放时比门的高长尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（   ） A. B. C. D. 27.（24-25·四川模拟）已知某商品每件的进价为元，售价为每件元，每星期可卖出该商品件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价元，则每星期可多卖出该商品件．有下列结论： ①当降价为元时，每星期可卖件； ②每星期的利润为元时，可以将该商品的零售价定为元或者元； ③每星期的最大利润为元． 其中，正确结论的个数是（    ） A. B. C. D. 28.（24-25·天津模拟）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A. B. C. D. 29.（24-25·山东模拟）已知二次函数过点，，且不论取何值，都有，则以下五个结论错误的是（   ） ①；  ②；  ③若当时，随增大而减小，则； ④若抛物线与轴的一个交点在与之间；则有； ⑤若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则． A.②③ B.②④⑤ C.②③④⑤ D.③④⑤ 30.（24-25·重庆中考）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A. B. C. D. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 选择题专题 6. 一元二次方程及其应用 本课题聚焦中考一元二次方程及其应用板块选择题，结合近三年真题考情与 2026 年命题趋势，立足第二轮复习 “强化核心、精准破题” 的核心目标，梳理题型特点、答题要点与避坑事项，助力学生高效攻克该板块选择题，扎实拿下基础与中档得分点。 一、题型特点 1. 考点核心，覆盖全面：核心考查一元二次方程的定义、一般形式、解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）、根的判别式、根与系数的关系，以及增长率、利润、几何图形等实际应用，基础题与中档题占比 80%，是中考重点得分板块； 2. 形式灵活，关联紧密：题型包括概念辨析、解法判断、根的情况分析、参数求值、实际应用建模，部分题目结合二次函数、不等式、几何图形性质，跨知识点综合考查，选项干扰性强，需精准分析数量关系； 3. 应用突出，情境真实：实际应用题多取材于生活场景（如商品销售、增长率、围栏面积）、古代数学问题（如《九章算术》相关题型），侧重考查数学建模能力，符合中考 “学以致用” 的命题导向。 二、答题要点 1. 吃透概念，规范基础：牢记一元二次方程的一般形式:a，判断方程类型时先化为一般形式，再确认二次项系数不为 0；熟练掌握根的判别式，根据的符号快速判断根的情况（有两个不相等实根、有两个相等实根、无实根）。 2. 择优解法，高效求解：解一元二次方程时，优先选择简便方法 —— 能因式分解的用因式分解法，能直接开方的用直接开平方法，复杂方程用公式法或配方法；涉及根与系数关系（韦达定理）的题目，先明确、，再结合代数式变形求解。 3. 建模优先，精准转化：实际应用题先审题提炼关键信息，明确已知量与未知量，再根据数量关系列方程 —— 增长(降低)率问题用，利润问题用 “利润 =（售价 - 进价）× 销量”，几何图形问题结合面积、周长公式，将实际问题转化为数学模型。 4. 巧用技巧，快速排除：选择题可借助代入验证法，将选项代入方程或题干条件验证；涉及参数的题目，利用特殊值法缩小范围；综合题先化简条件（如配方法转化二次函数形式），再结合选项筛选答案。 三、避坑指南 1. 规避概念误区：勿忽略一元二次方程中 “二次项系数不为 0” 的条件；混淆根的判别式与根与系数的关系，避免在无实根的情况下误用韦达定理。 2. 防止解法失误：用配方法时，移项后需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，避免漏加；用公式法时，先确认方程为一般形式，准确代入a、b、c的值，注意符号。 3. 警惕应用建模错误：实际应用题中易混淆 “增长（降低）率” 与 “增长（降低）量”，如 “每月增长率为x” 需用(1+x)表示增长后的量；几何问题中忽略图形边长的非负性，解得结果后未验证合理性。 4. 避免参数陷阱：涉及 “一根大于 1，另一根小于 1” 等根的分布问题，勿直接求解方程，可通过构造二次函数，利用函数值符号快速判断；含参数的方程需全面考虑参数取值范围，避免漏解（如二次项系数为字母时，需分一次方程和二次方程讨论）。 本课题选择题核心是 “抓基础、优解法、善建模、避陷阱”，复习中需强化一元二次方程的概念与解法训练，提升实际问题的建模能力，通过针对性练习熟练掌握解题技巧，减少细节失误，确保基础题型不失分、应用题型稳得分，为中考筑牢该板块得分基础。 四、真题练习 1.（24-25·河南模拟）用公式法解一元二次方程时，首先要确定、、的值，下列叙述正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查一元二次的一般形式，将方程整理成一般形式后，判断的值即可． 【解答】解：， 移项，得， 这里， 故选：． 2.（24-25·贵州模拟）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于，当时，的值小于，因此的一个解的取值范围是． 【解答】解：由表格数据可知当时，的值大于， 当时，的值小于， 因此的一个解的取值范围是． 故选：．  3.（23-24·四川中考）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A. B. C.或 D. 【答案】A 【解析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【解答】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选 4.（24-25·广东中考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A. B.且 C. D.且 【答案】B 【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得：且． 故选：．   5.（23-24·吉林中考）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【解答】解：、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； 、，解得：，故本选项符合题意； 、，，解得，故本选项不符合题意； 、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：． 6.（24-25·山东模拟）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【解答】解：， 移项得，， 配方得，， 即， ，， ． 故选：． 7.（23-24·山西中考）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设，根据矩形的性质可得，，再根据折叠的性质可得：，，，从而可得四边形是正方形，然后利用正方形的性质可得，最后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答． 【解答】解：设， 四边形是矩形， ，， 由折叠得：，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 矩形与原矩形相似， ， ， 解得：或， 经检验：或都是原方程的根， ， ， ， 故选：．  8.（24 -25·河南模拟）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 【答案】A 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【解答】解：， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 9.（24-25·四川模拟）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A. B. C.且 D.且 【答案】C 【解析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【解答】解：关于的一元二次方程有实数根， 二次项系数，即． 令，即， 解得． 且 故选：． 10.（23-24·四川中考）当时，一次函数有最大值，则实数的值为（    ） A.或 B.或 C.或 D.或 【答案】A 【解析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于的一元二次方程，求解即可得出答案． 【解答】解：当即时，一次函数随的增大而增大， 当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数随的增大而减小， 当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选： 11.（23-24·贵州中考）一元二次方程的解是（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】B 【解析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【解答】解∶， ， 或， ，， 故选∶． 12.（24-25·湖北模拟）已知实数，满足，则的值是（    ） A.或 B.或 C. D. 【答案】C 【解析】令，则，整理为，根据，即可得出答案． 【解答】 解：令， ， ， ， ， ， 或， 解得：或（舍）， ， 故选：． 13.（24-25·江西模拟）若实数，满足，则的值为（      ） A. B. C.或 D.或 【答案】C 【解析】设：，则变为，进而解含的一元二次方程，即可求出的值． 【解答】解：设：，则变为，变形可得：，则，则， 解得：，即的值为或， 故选：． 14.（23-24·广东中考）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【解答】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ，． 点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：． 15.（24-25·黑龙江模拟）一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】直接根据根与系数的关系得出、的值，再代入计算即可． 【解答】解：一元二次方程的两根为，， ；． ． 故选：． 16.（24-25·湖北中考）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【解答】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ，； 故选： 17.（24-25·安徽模拟）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用．先根据已知等式求出，，再利用完全平方公式判断出，，由此即可得出答案． 【解答】解：， 解得，， ， ； ， ， ， 故选：． 18.（25-26·江苏模拟）不论、为何值，用配方法可说明代数式的值（ ） A.总不小于 B.总不小于 C.可为任何实数 D.可能为负数 【答案】A 【解析】利用配方法，根据非负数的性质即可解决问题； 【解答】解： 又 故选：． 19.（24-25·山东模拟）已知为实数，设，则的最大值是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了勾股定理、两点之间的距离，掌握在平面直角坐标系中求出两点间的距离的公式是解题的关键，先理解题意，运用配方法把被开方数变形，再根据三角形的三边关系进行分析，以及两点间的距离公式列式计算，即可作答． 【解答】解：依题意，， 上式表示与之间的距离， ， 上式表示与之间的距离， 由勾股定理得， 结合三角形三边关系得的最大值是点和点的距离，即的最大值， 故选：． 20.（25-26·四川模拟）若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查二次函数、一元二次方程综合，熟记二次函数图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 令，根据二次函数图象与性质即可判断选项正确；由一元二次方程根与系数的关系判断、错误；由一元二次方程根的情况与判别式的关系判断错误，从而得到答案． 【解答】解：、令， 二次项系数， 抛物线开口向下， 关于的方程的一根大于，另一根小于， 当时，，即， 选项结论正确，符合题意； 、设关于的方程的两个根为， 则， 关于的方程的一根大于，另一根小于， 若，则，即不一定为， 选项结论错误，不符合题意； 、关于的方程的一根大于，另一根小于， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即， 选项结论错误，不符合题意； 、设关于的方程的两个根为， 则，即， 关于的方程的一根大于，另一根小于， 若，则，，即不一定小于， 选项结论错误，不符合题意； 故选：． 21.（25-26·湖南模拟）若实数，满足，，则的值为（    ） A. B.或 C.或 D. 【答案】C 【解析】本题考查了根与系数的关系，关键是把、看作是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当时，直接计算表达式；当时，将和视为方程的两个根，利用根与系数关系求和，再化简表达式即可． 【解答】解：①当时： 和满足，且（因为代入得）， 原式； ②当时： 和是方程的两个根， ，， 原式， ， 分子，分母， 原式， 综上所述，原式的值为或． 故选：．  22.（24-25·山东模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的辆增加到三月份的辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为，则可列方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为辆，三月份增至辆，需建立平均每月增长率的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【解答】设每月增长率为，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选．  23.（22-23·贵州中考）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【解答】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， 故选：  24.（23-24·黑龙江模拟）某商场将进货价为元的某种服装以元售出，平均每天可售件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件应降价（      ） A.元 B.元 C.元 D.元 【答案】B 【解析】设应降价元，根据题意列写方程并求解可得答案． 【解答】设应降价元则根据题意，等量方程为： 解得：或 要尽快较少库存，舍去 故此题答案为． 25.（24-25·山西中考）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒元，按元出售，平均每天可售出盒．后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销售可增加盒．若该经销商想要平均每天获利元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程． 【解答】解：设每盒应降价元， 商场平均每天可销售老陈醋礼盒盒，如果降价元，则每天可多售出盒， 销量为：盒， 平均每天盈利元， ， 故选：． 26.（24-25·江苏模拟）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长尺，竹竿竖着放时比门的高长尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设门的对角线长为尺，根据：竹竿横着放时比门的宽长尺，竹竿竖着放时比门的高长尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，结合勾股定理即可列出方程，得到答案． 【解答】解：设门的对角线长为尺，则可列方程为； 故选：  27.（24-25·四川模拟）已知某商品每件的进价为元，售价为每件元，每星期可卖出该商品件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价元，则每星期可多卖出该商品件．有下列结论： ①当降价为元时，每星期可卖件； ②每星期的利润为元时，可以将该商品的零售价定为元或者元； ③每星期的最大利润为元． 其中，正确结论的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设降价元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为元时，每星期可卖件；正确； ②根据题意，得，整理，得， 解得，每星期的利润为元时，可以将该商品的零售价定为元或者元；错误； ③设每星期的利润为元，根据题意，得 ，故每星期的最大利润为元．判断即可． 利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【解答】 设降价元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为元时，每星期可卖件； 正确； ②根据题意，得， 整理，得， 解得， 每星期的利润为元时，可以将该商品的零售价定为元或者元； 错误； ③设每星期的利润为元，根据题意，得 ， 故每星期的最大利润为元．错误． 故选． 28.（24-25·天津模拟）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点在上，求出，可判断①；当时，点在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点在上时，点在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【解答】解：根据题意得：点在上的运动时间为，点在上的运动时间为，点在上的运动时间为， ①当时，点在上， 此时，， ， ，故①正确； ②当时，点在上， 此时，， ， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点在上时， 的面积为， ， 解得：（舍去）， 当时，的面积为； 当点在上时， ，， ，即， 此时， 解得：， 当时，的面积为； 有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：  29.（24-25·山东模拟）已知二次函数过点，，且不论取何值，都有，则以下五个结论错误的是（   ） ①；  ②；  ③若当时，随增大而减小，则； ④若抛物线与轴的一个交点在与之间；则有； ⑤若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则． A.②③ B.②④⑤ C.②③④⑤ D.③④⑤ 【答案】C 【解析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，解不等式等知识逐项判断即可． 【解答】解：不论取何值，都有， 抛物线开口向下，顶点的纵坐标为， ，故①正确； 二次函数过点，， 对称轴为， 顶点坐标为，， ，， ，故②错误； 抛物线的开口向下， 当时，随增大而减小， 当时，随增大而减小， ，故③错误； ，， ， ， ， 无法判断与的大小关系，故④错误； ，， ， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 又， ， ，故⑤错误， 故选：．  30.（24-25·重庆中考）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【解答】解：当时，， 当，时，整式为， 当时，整式不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式不可能为单项式，故满足条件的所有整式中有且仅有个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式共有个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $