精品解析：山西运城市2026届高三下学期高考考前模拟测试数学试题

运城市2026年高考考前模拟测试高三数学试题 2026.03 本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上． 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 在中， ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同角三角函数关系式及正弦定理可得. 【详解】因为，且 ，所以. 又因为中， ，由正弦定理得， 所以. 3. 已知函数，则曲线在处的切线斜率为（ ） A. －6 B. －3 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先对进行求导，并求得，从而求得.根据导数的几何意义，可得到曲线在处的切线斜率. 【详解】，得. 所以，解得. 所以. 所以曲线在处的切线斜率为. 4. 已知直线，圆，则“ ”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 因为方程表示圆，所以，解得 . 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 若直线与圆相交可得，则可得，解得. 所以“ ”是“直线与圆相交”的充分不必要条件. 5. 在平行四边形中，，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】用、表示出、，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】在平行四边形中，，， 所以 . 故选：D 6. 若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由可求出 的值，由可得，作出函数与的图象，数形结合可得出函数的零点个数. 【详解】根据题意，设，则，即， 所以，解得，所以， 由可得， 作出函数与的图象如图所示： 由图可知，函数与有且只有三个交点， 故函数的零点个数为. 7. 若函数的图象关于点对称，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简函数的表达式，然后根据余弦函数的对称中心计算即可. 【详解】. 因为，所以. 令，得，所以函数的对称中心为. 因为函数的图象关于点对称， 所以，解得，取最大的整数 . 此时，所以 的最大值为. 8. 已知某圆锥的外接球的表面积是36，则该圆锥的体积的最大值是（ ） A. 32 B. C. 64 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据外接球的表面积，求出外接球的半径，建立圆锥的基本量和外接球半径的几何关系，结合导数求出圆锥体积的最大值. 【详解】由题意可得：外接球的表面积，根据球的表面积公式，可得. 设圆锥底面半径为，高为，由球的截面性质可知，，且. 故圆锥的体积为. 令，则. 当，，单调递增. 当，，单调递减. 即当时，取得体积最大值， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，且（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的加减法运算将已知等式化简，根据复数相等则虚部、实部分别相等列方程组求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，即， 所以，解得. 10. 已知抛物线：的焦点为，直线：与 轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（ ） A. 圆与直线相切 B. 圆的面积的最小值是 C. 的最大值是 D. 存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】对AB直接用抛物线的定义判断可得，对CD用抛物线的定义及距离公式即可得. 【详解】如图：过点作 于点，设，则，. 对于A，由抛物线的定义可知，圆心到直线的距离等于半径， 所以圆与直线相切，A正确； 对于B，因为圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的面积的最小值是，B错误； 对于C，因为，所以， 所以， 令，则， 当且仅当，即 时等号成立，所以C正确； 对于D，，， 化简得，得，即 ，再代入 得，所以存在或使得成立，D正确. 11. 若函数的定义域为 ，且，，则（ ） A. B. ， C. 是偶函数 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法计算可判断A，B；令可得，根据偶函数定义计算可判断C；利用赋值法结合C可得，分 ，及三种情况讨论可判断D. 【详解】对于A，令 ，得，故A错误； 对于B， 令，得， 因为，所以，即， 所以当 时，成立， 故，，故B正确； 对于C，令，得， 即，所以， 故函数是定义在 上的奇函数， 令， 因为， 所以函数是偶函数，即是偶函数，故C正确； 对于D，令，得， 当 时，有， 当时，有， 由C可知，函数是定义在 上的奇函数， 所以当时，有， 所以， 当 时，由A可知， ，，即， 此时成立， 当时，， 同理，当时，成立， 所以当时，成立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据5，a，，7，10的平均数为5，则这组数据的第30百分位数为______． 【答案】2 【解析】 【详解】因为数据5，a，，7，10的平均数为5，所以， 解得 ，所以这组数据为，按从小到大顺序排列为, 又，所以这组数据的第30百分位数为2. 13. 如图，某片雪花有6个主枝，每个主枝上有9个侧枝，从该雪花的所有侧枝中随机选取2个，则它们位于同一主枝上的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】某片雪花的总侧枝数为 ，故它们位于同一主枝上的概率为. 14. 已知双曲线： （，）的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的两支分别交于，两点，且，若坐标原点到直线的距离为 ，则双曲线的离心率是______ 【答案】 【解析】 【详解】过作 垂足为， 则，， 由，得， 过点作于点Q，则， 由O为的中点，得， 因为为锐角，所以， 有，得， 所以，由双曲线的定义知， ，即，解得， 又，所以..，所以双曲线的离心率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． （1）若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； （2）现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 数学期望为1 【解析】 【小问1详解】 单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立， 因此单个志愿者通过培训考核的概率为， 则单个志愿者没有通过培训考核的概率为. 因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”， 因此所求概率. 【小问2详解】 由题意，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为， 分别计算概率得，， ，， 因此的分布列为： 所以数学期望为. 16. 如图，在多面体 中，平面 平面 ，四边形是直角梯形，，， ，且． （1）证明： 平面． （2）求多面体 的体积． （3）求平面 与平面 夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：因为平面 平面 ， ， 且平面平面，平面， 所以平面 ，平面 ， 所以，又，，平面， 所以 平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由题意求证平面 得到，再结合和线面垂直的判定定理即可求证； （2）依次求出和即可求解多面体 的体积； （3）建立适当空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，利用平面夹角的向量法公式即可计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知 ，所以由平面 得平面 ， 因为 平面， 平面，所以， 所以由可知四边形 是边长为2的正方形， 所以， 又 ，所以， 所以多面体 的体积为； 【小问3详解】 由 平面和 可建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以， 因为，平面 ， 所以平面 ，所以是平面 的一个法向量， 设平面 的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以， 平面 与平面 夹角的余弦值为. 17. 设正项数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式; （2）若，记数列的前n项和为，证明： ． 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，所以，显然 ， 当 ，则，即， 此时 ， 综上， 成立. 【解析】 【分析】（1）利用的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果； （2）根据（1）中所求，应用放缩及等比数列的前n项和公式求得，即可证明. 【小问1详解】 依题意，当 时，， ，则； 当 时，，，两式相减， 整理可得 ，又 为正项数列，故 ， 所以数列 是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 【小问2详解】 略 18. 已知A，B分别为椭圆C： 的左、右顶点，且，C的离心率为． （1）求C的方程； （2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率，即可求出椭圆方程. （2）设直线，与椭圆联立方程，结合韦达定理得到的中点坐标，利用消参法求轨迹方程. （3）直线与椭圆方程联立，表达出斜率，根据等量关系，即可求出. 【小问1详解】 由题意可得：，即 ， 由离心率，所以. 故椭圆方程为： . 【小问2详解】 倾斜角为，可得斜率. 设直线方程为：，与椭圆联立： 代入得：， 满足，即. 则，. 设，， 则中点横坐标： ，纵坐标：. 消去参数 得：， 所以中点轨迹方程为：. 【小问3详解】 由题意可知直线：与椭圆交于,， 设，，，， 与椭圆联立方程：，消去 可得. 则，， 根据，可得，即， 整理得：，即， 可得：， 因为，为常数，则不恒成立.，则，得：. 19. 柯西不等式是一个重要不等式，在代数、几何等领域中有广泛应用，柯西不等式的二维形式：对任意的实数都有，当且仅当时等号成立，已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有两个不同的零点． ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） 证明：当时，函数， 则函数定义域为，， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. （2）① ②证明：令， 先证，即证，即证， 由①易知，则，令， 所以，则在上单调递增， 所以，故得证， 再证， 由，而， 所以，即， 结合，所以得证， 由， 又，则，得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数工具研究函数单调性得到即可分析求证； （2）①问题化为有两个不同的正实根，构造函数并应用导数研究交点个数求参数范围； ②令，首先证明、，再应用柯西不等式、作差法证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①令，在定义域上有两个零点， 所以有两个不同的正实根， 令且，则， 当时，则在上单调递增， 当时，则在上单调递减， 所以，时，时， 所以； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 运城市2026年高考考前模拟测试高三数学试题 2026.03 本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上． 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在 中， ，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则曲线在处的切线斜率为（ ） A. －6 B. －3 C. 3 D. 6 4. 已知直线，圆，则“ ”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在平行四边形中，，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 6. 若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象关于点对称，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知某圆锥的外接球的表面积是36，则该圆锥的体积的最大值是（ ） A. 32 B. C. 64 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，且（），则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（ ） A. 圆与直线相切 B. 圆的面积的最小值是 C. 的最大值是 D. 存在点，使得 11. 若函数的定义域为 ，且，，则（ ） A. B. ， C. 是偶函数 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据5，a，，7，10的平均数为5，则这组数据的第30百分位数为______． 13. 如图，某片雪花有6个主枝，每个主枝上有9个侧枝，从该雪花的所有侧枝中随机选取2个，则它们位于同一主枝上的概率为______． 14. 已知双曲线： （，）的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的两支分别交于，两点，且，若坐标原点到直线的距离为，则双曲线的离心率是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． （1）若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； （2）现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 16. 如图，在多面体 中，平面 平面 ，四边形是直角梯形，，， ，且． （1）证明： 平面． （2）求多面体 的体积． （3）求平面 与平面 夹角的余弦值． 17. 设正项数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式; （2）若，记数列的前n项和为，证明： ． 18. 已知A，B分别为椭圆C： 的左、右顶点，且，C的离心率为． （1）求C的方程； （2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 19. 柯西不等式是一个重要不等式，在代数、几何等领域中有广泛应用，柯西不等式的二维形式：对任意的实数都有，当且仅当时等号成立，已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有两个不同的零点． ①求a的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $