精品解析：安徽安庆市第四中学2025--2026学年阶段学情自测九年级数学试题

数学 温馨提示：满分为150分，你将有120分钟的答题时间． 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在-5，-，-1，0这四个数中，最小的数是（ ）． A. -5 B. - C. -1 D. 0 2. 如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 电影《哪吒之魔童闹海》自2025年1月29日上映以来，票房表现极为抢眼，截至2026年2月，全球累计票房已突破159亿元人民币，159亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为正方形中边上一点，为对角线，连接，交于点，若，则的度数为( ) A. B. ° C. ° D. 6. 已知一组数据、、、、的平均数为a，方差为b，则数据、、2、、的平均数和方差分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 7. 如图，在中，，AC为⊙O的直径，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 9. 如图，中，，以的直角边为斜边，向外作，连接；则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为等腰直角三角形，，是上一点，交直线于点，且，，点为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大愿共4小题，每小题5分，共20分） 11. 分解因式： __________． 12. 若，则的值为_____． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 14. 如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接交于G， （1）则________； （2）若，，则________． 三、解答题（本大愿共9小题，共90分） 15. 计算： 16. 解分式方程：． 17. 观察下列各式： ； ； ； …… 不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． （1）的结果是3的______倍． （2）设偶数为，试说明比大7的数与的平方差能被7整除． 18. 如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，利用无刻度尺按要求作图． （1）在第一象限内，作关于原点O的位似图形，相似比为； （2）将绕原点顺时针旋转，得，画出； （3）在（2）操作中，的弧长为 ． 19. 如图，内接于，过点作的切线交的延长线于点，交于，交于，点为的中点． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的值． 20. 为了调查合肥市市民对于“绿色环保”的了解程度，调查组将调查结果由高到低分为A、B、C、D四个等级，并绘制图表，请根据下图回答问题： （1）这次调查的市民人数为 人，图2中， ， ； （2）在图2中的扇形统计图中，C等级所在扇形的圆心角度数是 ； （3）补全图1中的条形统计图； （4）若合肥市约有市民2000万人，那么根据抽样调查的结果，等级D的市民约有多少万人？ 21. 某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组进行了如下实地测量．如图，三片风叶，，两两所成的角为．小组成员在离塔底O水平距离为48米的点E处，测得塔顶A的仰角，是风叶的视角．已知三片风叶的长度均为40米． （1）当点D在上时，求点C到地面的距离；(结果精确到1米) （2）在风叶旋转的过程中，求视角的最大值．(参考数据∶ ， ， ) 22. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． （1）求的值； （2）连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； （3）如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 23. 如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． （1）求证：； （2）设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 温馨提示：满分为150分，你将有120分钟的答题时间． 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在-5，-，-1，0这四个数中，最小的数是（ ）． A. -5 B. - C. -1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数大小比较的性质分析，即可得到答案． 【详解】在-5，-，-1，0这四个数中，最小的数是：-5 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的知识；解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的性质，从而完成求解． 2. 如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点坐标特点、一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点，根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系的第三象限内， ∴， 解得：， 在数轴上表示为： 故选：D． 3. 电影《哪吒之魔童闹海》自2025年1月29日上映以来，票房表现极为抢眼，截至2026年2月，全球累计票房已突破159亿元人民币，159亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，先将以亿为单位的数转化为普通整数，再根据科学记数法的定义确定系数和指数即可得到结果． 【详解】解：159亿． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式和单项式除以单项式的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 5. 如图，为正方形中边上一点，为对角线，连接，交于点，若，则的度数为( ) A. B. ° C. ° D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质；根据正方形的性质可得，，则，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵为正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 已知一组数据、、、、的平均数为a，方差为b，则数据、、2、、的平均数和方差分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数和方差．根据题意可得，，再根据平均数公式和方差公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解． 【详解】解：∵一组数据、、、、的平均数是，方差是， ∴，， ∴数据、、2、、的平均数为 ； 数据、、2、、的方差为 故选C. 7. 如图，在中，，AC为⊙O的直径，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形三线合一得出点是的中点，从而得出是的中位线，于是，根据同底等高得到和的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算出扇形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，， 为的直径， ， ， ， 即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 9. 如图，中，，以的直角边为斜边，向外作，连接；则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，三角形的三边关系．取的中点E，连接，根据勾股定理可得，从而得到的长，再由直角三角形斜边的性质可得的长，然后在中，利用三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， 在中，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵为的斜边， ∴， 在中，， 即的最大值为． 故选：C 10. 如图，为等腰直角三角形，，是上一点，交直线于点，且，，点为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质．过点作交延长线于，可得是等腰直角三角形，即得，设，则，利用勾股定理可得，即得，进而得到，最后根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作交延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，， ， ∴， 整理得， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：． 二、填空题（本大愿共4小题，每小题5分，共20分） 11. 分解因式： __________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式进行分解因式即可. 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握平方差公式是关键． 12. 若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，根据得出，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到Δ=(-4)2-4×1×(-2m+5)＞0，然后解不等式求出m的取值即可． 【详解】解：根据题意得Δ=(-4)2-4×1×(-2m+5)＞0， 解得m>， 所以实数m的取值范围是m>． 故答案为：m>． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 14. 如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接交于G， （1）则________； （2）若，，则________． 【答案】 ①. ##45度 ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得点A，B，F，P均在以为直径的圆上，再由圆周角定理，即可求解； （2）连接，过点P分别作于点Q，于点K，可得四边形为矩形，从而得到，证明，可得，从而得到，进而得到，再由均为等腰直角三角形，可得，再由勾股定理可得，从而得到，然后根据勾股定理解答即可．． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵，即， ∴点A，B，F，P均在以为直径的圆上， ∴； 故答案为： （2）如图，连接，过点P分别作于点Q，于点K， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大愿共9小题，共90分） 15. 计算： 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查乘方运算，特殊角的三角函数值，负指数幂，零次幂，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算乘方运算，特殊角的三角函数值，负指数幂，零次幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ． 16. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得 检验：当时，， ∴是原方程的解． 17. 观察下列各式： ； ； ； …… 不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． （1）的结果是3的______倍． （2）设偶数为，试说明比大7的数与的平方差能被7整除． 【答案】（1）27 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式，分解因式的应用； （1）计算出的结果，即可； （2）根据“比大7的数与的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：， 即的结果是3的27倍， 故答案为：27； 【小问2详解】 解：偶数为，比大7的数为， ∴， ∵为整数， ∴能被7整除， ∴比大7的数与的平方差能被7整除． 18. 如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，利用无刻度尺按要求作图． （1）在第一象限内，作关于原点O的位似图形，相似比为； （2）将绕原点顺时针旋转，得，画出； （3）在（2）操作中，的弧长为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换，旋转变换和求弧长，解题的关键是掌握旋转变换，位似变换的性质． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C 的对应点即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可． （3）根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， 【小问2详解】 解：如图，即为所作． 【小问3详解】 解：， 所以，的弧长为， 故答案为：． 19. 如图，内接于，过点作的切线交的延长线于点，交于，交于，点为的中点． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接、， 为切线，为半径， ， ， 点为的中点，为半径， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】酷暑主要考查切线的性质，解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解答本题的关键． （1）连接、，证明，，由得，得出，再证明即可得出结论； （2）连接，，过点作于．，，，在中，求出，求得，证明可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接，，过点作于． 为的直径，的半径是5， ，， 在中，， ，， ， ， ， ， 又，， ， ． 20. 为了调查合肥市市民对于“绿色环保”的了解程度，调查组将调查结果由高到低分为A、B、C、D四个等级，并绘制图表，请根据下图回答问题： （1）这次调查的市民人数为 人，图2中， ， ； （2）在图2中的扇形统计图中，C等级所在扇形的圆心角度数是 ； （3）补全图1中的条形统计图； （4）若合肥市约有市民2000万人，那么根据抽样调查的结果，等级D的市民约有多少万人？ 【答案】（1）1000，28，35 （2）72 （3）见解析 （4）340万人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、圆心角计算、样本容量的计算、样本估计总体等知识点，读懂统计图是解题的关键． （1）利用C等级的人数除以其所占的百分比即可得到调查市民人数，再求得B等级的人数，然后再分别求得A、B所占的百分比即可解答． （2）利用圆心角等于所占百分比乘以周角即可解答； （3）根据（1）得到的B等级的人数，然后再补图即可； （4）根据样本估计整体的思想求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得（人）， B等级了解的人数为（名）． ；，即． 故答案为：1000，28，35． 【小问2详解】 解：C等级所占圆心角为：． 故答案为：72． 【小问3详解】 解：由（1）可得B等级的人数为人，故补图如下： ． 【小问4详解】 解：根据题意，得（万人）． 答：等级D的市民约有340万人． 21. 某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组进行了如下实地测量．如图，三片风叶，，两两所成的角为．小组成员在离塔底O水平距离为48米的点E处，测得塔顶A的仰角，是风叶的视角．已知三片风叶的长度均为40米． （1）当点D在上时，求点C到地面的距离；(结果精确到1米) （2）在风叶旋转的过程中，求视角的最大值．(参考数据∶ ， ， ) 【答案】（1）84米 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． (1) 在中，利用三角函数求出．如图(1)，过点C作于点F，过点A作于点G，则四边形是矩形，根据矩形的性质及线段的和差即可求出点C到地面的距离． (2) 作于，在中，根据，是定值，随着的增大而增大，可知当两点重合，与相切于点B时，，最大，此时最大，，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ． 如图(1)，过点C作于点F，过点A作于点G， ， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， 故点C到地面的距离约为84米． 【小问2详解】 解：作于， 在中，， 是定值， 随着的增大而增大，当两点重合，与相切于点B时，，最大，此时最大，此时， 如图(2)． 在中，． ， ， 故视角的最大值为． 22. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． （1）求的值； （2）连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； （3）如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出值，进而即可求解； （）由二次函数解析式可得，进而得到，即得，再利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，即得到，求出的值即可求解； （）设直线交轴于，可证，得到，得到，即得直线解析式为，联立一次函数和二次函数解析式，求出方程组的解即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得抛物线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设直线交轴于， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 由，解得或， ∵点是直线上方的抛物线上一动点， ∴． 23. 如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． （1）求证：； （2）设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①2；②． 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形性质与判定及相似三角形判定与性质， （1）先证明，根据相似三角形性质即可证明结论； （2）①过点作，垂足为，设，借助三角形面积求出即可；②作，垂足为，作，垂足为，设，借助三角形面积求出，再通过求出，证明四边形是平行四边形，从而证明，即可求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在中，∵， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， 设，则， ∴， 即， ∴点到的距离为2； ②如图，作，垂足为，作，垂足为， 设， ， ， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $