9.3 公式法课时提优练习 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

9.3 公式法 题型一 运用完全平方公式分解因式 1. 把多项式 分解因式,其结果是( ) A. B. C. D. 2. 若多项式 可以用完全平方公式分解因式，则 的值为( ) A. -4 B. ±6 C. 2 D. 4 3. 因式分解: _____. 4. 因式分解: _____. 题型二 运用平方差公式分解因式 5. 下列各式可以用平方差公式进行因式分解的是( ) A. B. C. D. 6. 分解因式: 7. 如果 ,那么 _____. 8. 如果 ,那么括号内的整式是_____. 题型三 因式分解的综合运用 9. 把 分解因式,结果正确的是( ) A. B. C. D. 10. 下列各式可以用平方差公式进行因式分解的是( ) A. B. C. D. 11. 因式分解: _____. 12. 因式分解: _____. 题型四 利用因式分式求代数式的值 13. 若 ，则 的值为( ) A. 6 B. 24 C. 30 D. 150 14. 已知 ，则 的值为( ) A. -3 B. -5 C. -6 D. -7 15. 若 ,则代数式 的值是_____. 16. 已知一个长方形的长、宽分别为 ,若它的周长为 18,面积为 20,则代数式 的值为_____. B 能力提升题 题型一 因式分解在简便计算中的应用 17. 计算 的结果是( ) A. B. C. D. 18. 利用因式分解计算: 19. 简便运算 (1) . (2) 20. (1)利用因式分解计算 ； (2)已知 . 求 的值. 题型二 利用因式分解解决整除问题 21. 对于任意正整数 ,多项式 都能被 ( ) A. 8 整除 B. 整除 C. 整除 D. 整除 22. 若 为任意整数，则 的值总能( ) A. 被 4 整除 B. 被 3 整除 C. 被 5 整除 D. 被 6 整除 23. 已知 为正整数,求证: 能被 16 整除. 24. 求解下列问题: (1)试确定 和 ，使 能被 整除； (2)已知 ,求 的值. 题型三 利用几何图形探究因式分解 25. 小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积, 并据此写出了一个因式分解的等式, 此等式是 ( ) A. B. C. D. 26. 将下列四个图形拼成一个大长方形，据此写出一个将多项式因式分解的等式为_____. ① ② ③ ④ 27. 在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中, 我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明. 例如,利用图 1 中边长分别为 的正方形,以及长为 ,宽为 的长方形卡片若干张拼成图 2 (卡片间不重叠、无缝隙), 可以用来解释完全平方公式: . 图1 图2 图3 请你解答下面的问题: (1)利用图 1 中的三种卡片若干张拼成图 3，可以解释等式:_____ ； (2)利用图 1 中三种卡片若干张拼出一个面积为 的长方形 ，请你分析这个长方形的长和宽. 28. 阅读下面的材料: 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式, 叫做因式分解, 有时我们也把这一过程叫做分解因式. 例如: ,都把一个多项式进行了因式分解. 请回答下列问题: 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张. ① ② ③ (1)他用 1 张 1 号、 1 张 2 号和 2 张 3 号卡片拼出一个新的图形 (如图②). 根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是_____； (2)如果要拼成一个长为 ，宽为 的大长方形，则需要 2 号卡片_____张，3 号卡片_____ 张; (3)当他拼成如图③所示的长方形，根据 6 张小纸片的面积和等于大纸片(长方形)的面积可以把多项式分解因式,其结果是 (4)动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式 _____，并画出拼图. C 拓展培优题 29. 已知 是 的三边， 使等式 成立，且 是偶数， 求 的周长. 30. 阅读材料: 若 ，求 的值. 解: , , , . 根据你的观察, 探究下面的问题: (1)已知 ,求 的值; (2)已知 的三边长 均为正整数，且满足 ，求 的最大边的边长 可能是哪些值? 31. 如图,将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为 的大正方形, 两块是边长都为 的小正方形,五块是长为 、宽为 的全等小矩形,且 . (以上长度单位:cm) (1)用含 的代数式表示所有裁剪线(图中虚线部分)的长度之和； (2)观察图形，可以发现代数式 可以因式分解为_____； (3)若每块小矩形的面积为 ，四个正方形的面积和为 ，试求 的值. 32. 我们把多项式 及 叫做完全平方式. 如果一个多项式不是完全平方式, 我们常做如下变形: 先添加一个适当的项, 使式子中出现完全平方式, 再减去这个项, 使整个式子的值不变, 这种方法叫做配方法. 配方法是一种重要的解决问题的数学方法, 不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式, 还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等. 例如: 分解因式 ; 例如求代数式 的最小值. 由 可知, 当 时, 有最小值,最小值是 -8 . 根据阅读材料用配方法解决下列问题; (1)分解因式: _____； (2)当 为何值时，多项式 有最小值，并求出这个最小值； (3)当 为何值时,多项式 有最小值,并求出这个最小值. 1. B 【分析】本题主要考查了因式分解,熟练掌握因式分解的方法,是解题的关键. 将 看作一个整体, 利用完全平方公式, 分解因式即可. 【详解】解: . 故选: B. 2. D 【分析】本题考查完全平方公式与因式分解,多项式 可以用完全平方公式分解因式,则 可以写成 的形式,由此可解. 【详解】解: , :多项式 可以用完全平方公式分解因式， , 故选: D. 3. 【分析】本题考查了因式分解, 解题的关键是熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解. 先处理符号, 再由完全平方公式进行因式分解. 【详解】解: 原式 , 故答案为: . 4. 【分析】本题考查了公式法因式分解, 熟练运用完全平方公式是解题的关键. 通过观察其结构, 符合完全平方公式的形式, 可直接进行因式分解. 【详解】解: . 故答案为: 5. D 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式, 熟知平方差公式分解因式是解题的关键: . 【详解】解: 不能用平方差公式进行因式分解,不符合题意; B、 ,能用完全平方公式因式分解,不能用平方差公式因式分解,不符合题意; C、 ,能用提公因式法因式分解,不能用平方差公式进行因式分解,不符合题意; D、 ，能用平方差公式进行因式分解，符合题意； 故选: D. 6. (a+2b) (a -2b) 【详解】首先把 写成 ,再直接利用平方差公式进行分解即可. 解: , 故答案为 . 7. 7 【分析】本题考查平方差公式的应用, 熟练掌握平方差公式是解题的关键. 将 用平方差公式分解为 ,再代入已知条件求解. 【详解】解: 由平方差公式,得 . , 解得 . 故答案为: 7 . 8. 【分析】本题考查了因式分解的应用. 将右边因式分解后判断即可. 【详解】解: , 可知括号内的整式是 . 故答案为: . 9. D 【分析】本题考查了因式分解. 将 视为整体,应用完全平方公式进行因式分解,即可作答. 【详解】解: , 故选: D. 10. D 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式, 熟知平方差公式分解因式是解题的关键: . 【详解】解: A、 不能用平方差公式进行因式分解,不符合题意; B、 ,能用完全平方公式因式分解,不能用平方差公式因式分解,不符合题意; C、 ,能用提公因式法因式分解,不能用平方差公式进行因式分解,不符合题意; D、 ,能用平方差公式进行因式分解,符合题意; 故选: D. 11. 【分析】本题考查了因式分解, 熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键. 利用平方差公式进行分解即可. 【详解】解: , 故答案为: . 12. 【分析】本题考查因式分解, 先利用平方差公式法进行因式分解, 再利用完全平方公式进行求解即可. 【详解】解: 原式 ; 故答案为: . 13. D 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值, 因式分解的应用. 先对原式提取公因式 ,再对括号内的多项式利用完全平方公式进行分解,将原式化为 ,然后代入已知条件求值即可. 【详解】解: , , , 故选: D. 14. C 【分析】此题考查了因式分解的应用. 先对 进行提公因式 ,再代入求值即可. 【详解】解: , , 故选: C. 15. 【分析】本题主要考查代数式求值和单项式乘多项式等, 掌握降幂求解是解题的关键. 先将 进行化简,再对 进行降幂求解即可. 【详解】解: , . 故答案为: . 16. 180 【分析】本题考查了因式分解的应用. 根据长方形的周长和面积公式,得出 和 的值, 然后将代数式因式分解后代入求值. 【详解】解: 长方形的周长为 18,面积为 20, ,即 . 则 . 故答案为: 180 . 17. A 【分析】本题考查了因式分解的应用, 解题的关键是掌握因式分解的方法. 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项, 再去括号, 然后利用阶乘化简乘积, 化简后计算即可. 【详解】解: 故选: A. 18. 4051 【分析】本题考查了因式分解的应用; 利用平方差公式进行因式分解后计算. 【详解】解: . 故答案为 4051 . 19. (1)4000 (2)4 【分析】本题主要考查了因式分解的应用: (1)先根据平方差公式因式分解, 然后再计算即可; (2)运用完全平方公式进行计算即可. 【详解】(1) 解: ; (2)解: ; 20. (1)-4051 (2)-34 【分析】本题主要考查了因式分解的应用, 完全平方公式的变形求值, 熟知完全平方公式和分解因式的方法是解题的关键. (1)利用平方差公式把原式变形为 ,再去括号后提取公因数 4051 , 进而求解即可; (2)根据完全平方公式得到 ，则可求出 的值，进而可得答案. 【详解】解: (1) ; (2) , . 又 . , . 21. A 【分析】本题考查因式分解的应用. 利用平方差公式将多项式分解, 再提取公因式, 判断即可. 【详解】解: 对于任意正整数 能被 8 整除. 故选: A. 22. A 【分析】本题考查因式分解的应用, 用平方差公式进行因式分解, 得到乘积的形式, 然后直接可以找到能被整除的数或式. 【详解】解: , 的值总能被 4 整除, 因此 的值总能被 4 整除, 故选 A. 23. 见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用, 熟练掌握平方差公式, 是解题的关键. 先根据平方差公式进行运算, 然后进行判断即可. 【详解】证明: . 为正整数， 是 2 的倍数， 是 16 的倍数, 原式能被 16 整除. 24. (2) 【分析】本题主要考查了整式乘法, 因式分解, 解二元一次方程组, 完全平方公式, 立方和公式等知识点, 熟练掌握整式乘法的恒等变形及立方和与完全平方公式的灵活变形是解决此题的关键. (1)由整除知可设商式为 ,与 相乘得出一个多项式,与原多项式形成恒等式即可得解; (2)由 得出 和 的值，再由 得出 的表达式,从而求出它的值. 【详解】(1) 解: 能被 整除, 可设商式为 , , , 时, 能被 整除; (2)解: ， , 的值为 . 【点睛】本题考查因式分解的应用, 解决本题的关键是根据多项式整除的条件及利用完全平方公式、立方和公式等进行代数式求值. 25. B 【分析】用两种方法表示大长方形的面积即可得出答案. 【详解】解: 根据题图可得大长方形是由 2 个边长为 的正方形,3 个长为 宽为 的长方形和 1 个边长为 的正方形组成, 大长方形的面积为 , 另外大长方形可以看作一般长为 宽为 的长方形组成, 大长方形的面积为 , 可以得到一个因式分解的等式为 ,故 正确. 故选: B. 【点睛】本题主要考查了用图形法进行因式分解, 解题的关键是数形结合, 用两种方法表示大长方形的面积. 26. 【分析】本题考查了因式分解与图形的面积问题. 画出拼接的长方形, 进而根据面积的两种表达方式列等式即可. 【详解】解: 拼接如图: 长方形的面积为 ,还可以表示面积为: . 故答案为: . 27. (1) (2)长为 ,宽为 . 【分析】(1) 根据图形, 有直接求和间接求两种方法, 列出等式即可; (2)根据已知等式画出相应的图形，然后根据图形写出等式即可. 【详解】(1)解: (2)解: 答: 由图形可知,长为 ,宽为 . 【点睛】此题考查了因式分解的应用, 面积与代数式恒等式的关系, 熟练掌握运算法则是解本题的关键. 28. (2)2,3 (3) (4) ，图见解析 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积, 多项式的乘法与图形的面积以及因式分解的应用。 (1)利用面积相等即可求解. (2)根据题意， ，进而可求解. (3)根据小纸片面积之和与大纸片面积相等即可求解. (4)根据小刚的方法先画图，再根据小纸片的面积之和与大纸片的面积相等即可求解. 【详解】(1)由图得，正方形面积为 ，或 ， , 故答案为: ； (2) ， 需要 2 号卡 2 个,三号卡 3 个, 故答案为:2,3; (3)长方形面积为 ，或 ， , 故答案为: ; (4) , 如图所示， 故答案为: . 29. 10 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值, 三角形三边关系. 根据完全平方公式将原式转化为 ,根据非负数的性质求出 , ,根据三角形三边关系得到 ,进而可知 ,即可求出 的周长. 【详解】解: , , , 解得: , 是 的三边, , , 是偶数, , 故 的周长为: . 30. (1)16 (2) 可能是8,9,10,11,12,13 【分析】本题主要考查了完全平方公式, 非负数的性质, 构成三角形的条件, 熟知完全平方公式是解题的关键. (1)仿照题意可得 ，由非负数的性质求出 、 的值即可得到答案； (2)仿照题意可得 ，由非负数的性质可求出 、 的值，则由构成三角形的条件可求出 的取值范围，再结合边长为 的边为最大边，且 为正整数即可求出答案. 【详解】(1) 解: , , , , , , ; ( 2 )解: ， , , , , , , , , :边长为 的边为最大边,且 为正整数, 的值可以为8,9,10,11,12,13. 31. (1) (2) (3)49 【分析】本题考查的是因式分解的应用, 完全平方公式的变形求值. (1)根据整式的加减混合运算法则计算; (2)根据图形的面积的不同的表示方法解答； (3)变形完全平方公式，代入计算即可. 【详解】(1)解:图中一条竖直裁剪线长为 ，一条水平裁剪线长为 ， 所有裁剪线 (虚线部分) 长度之和为: ; (2)解:大长方形的面积由长乘宽可得 ，由九个小图形之和可得 即 可以因式分解为: , 故答案为: ; (3)解:依题意得， ， ， , , . 32. (2) ， ，最小值 5 (3) 最小值 17 【分析】根据阅读材料,先将 变形为 ,再根据完全平方公式写成 ,然后利用平方差公式分解即可; 利用配方法将多项式 转化为 ,然后利用非负数的性质解答; 利用配方法将多项式 转化为 ,然后利用非负数的性质解答. 【详解】(1) (2)解: 当 时, 有最小值,最小值为 5 . 即 原式有最小值 5 . (3) 当 时, 有最小值,最小值为 17 . 即 原式有最小值 17. 【点睛】本题考查了因式分解的应用, 以及非负数的性质. 本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法. 学科网（北京）股份有限公司 $