7.3.2 正弦型函数的性质与图象课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.3 三角函数的性质与图象 7.3.2 正弦型函数的性质与图象 第七章 三角函数 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 高考考向分析 06 高考模拟 05 知识测评 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 正弦型函数 的图象 一般地，形如 的函数，在物理、工程等学科的研究中经常遇 到，这种类型的函数称为正弦型函数，其中， ， 都是常数，且， . 1 正弦型函数的物理意义 当函数 表示一个物体做简谐运动时的位移时， 名称 振幅 初相 周期 频率 字母表 示 物理意 义 物体能偏离平衡 位置的最大距离 时物体的位置 （即 ） 物体完成一次运 动所需要的时间 单位时间内能够 完成的运动次数 6 2 五点法作正弦型函数的图象 令 ,则将分别取0，， ，， 并求出对应的 值，列表如下： 0 0 A 0 0 由此可得五个关键点：，，，， . 描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左、向右分别平移，从而得到正弦型 函数的大致图象. 7 3 正弦型函数的图象变换 （1）振幅变换——纵向伸缩变换 函数的图象,可以看作是把 的图象上所有点的 纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的 倍（横坐标不变）而 得到的. 说明 一般地，函数的值域是，最大值是 ，最小值是 .由此可知，的大小反映曲线 波动幅度的大小. 8 （2）相位变换——左右平移变换 函数的图象，可以看作是把 的图象上所有的点 向左（当时）或向右（当时）平移 个单位长度而得到的（可简记为“ 左加右减”）． （3）周期变换——横向伸缩变换 函数的图象，可以看作是把 的图象上所有点 的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的 倍（纵坐标不变） 而得到的. 说明 函数的周期为， 的值决定了函数的周期， 越大，在一定的区间内曲线波动的次数就越多，反之就越少. . . 9 （4）上下平移变换 一般地，函数的图象，可以看作是把 的图象上所 有的点向上（当时）或向下（当时）平移 个单位长度而得到的． 说明 函数中的, ,， 变化时，函数 图象的形状和位置会相应地产生变化，其中和 决定图象的形状， 和 决定图象 与坐标轴的相对位置. 10 4 函数的图象变换到 的图象的步骤 （三角函数图象间的 变换都是可逆的）#1 11 特别提醒 （1）在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变 换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了 个单位长度，而后者平 移了个单位长度，这是因为由的图象变换为 的图象的 过程中，各点的横坐标增加或减少了个单位长度，即 的图象 的图象. （2）由的图象变换到 的图象，以上方法依旧适用.#1.2 12 典例详解 例1-1 [教材改编P48例4]作出函数 在长度为一个周期的闭区间上的 简图. 【解析】函数的周期 ,我们用五点法作函数在一个周 期上的图象. 按五个关键点列表如下： 0 0 0 0 13 描点作图，图象如图7.3.2-3所示. 图7.3.2-3 14 例1-2 [教材改编P51 T2]函数的图象可由函数 的图象 经过怎样的平移和伸缩变换得到? 【解析】 将函数 的图象依次进行如下变换： （1）把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数 的图象； （2）把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象； （3）把得到的图象上各点的纵坐标变为原来的5倍（横坐标不变），得到函数 的图象； （4）把得到的图象向上平移1个单位长度，得到函数 的图象． 经过上述变换，就得到函数 的图象． 15 将函数 的图象依次进行如下变换： （1）把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到 函数 的图象； （2）把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数 的图象； （3）把得到的图象上各点的纵坐标变为原来的5倍（横坐标不变），得到函数 的图象； （4）把得到的图象向上平移1个单位长度，得到函数 的图象． 经过上述变换，就得到函数 的图象． 例1-3 [多选题](2025·河南省南阳市期中)下列四种变换方式中，能将函数 的图象变换成函数 的图象的是( ) BC A.向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 B.向右平移 个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍 C.将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度 D.将每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移 个单位长度 【解析】由B，C中的变换方式可以实现将函数 的图象变换成函数 的图象； 由A，D中的变换方式可以实现将函数 的图象变换成函数 的图象，故不满足要求. 17 重难拓展 知识点2 正弦型函数 的性质 1 函数 的性质 函数 定义域 值域 单调性 当,时，将 视为整体，代入 相应的单调 区间求解； 当或 时，注意单调性的变化 18 奇偶性 当 时为奇函数， 当 时为偶函数 周期性 图象的对称性 将 视为整体，代入函数 图象相应的对称轴方程或 对称中心的横坐标满足的方程求解 续表 19 2 最值与单调性之间的关系 函数, , 为常数，且, 图象上相邻两个最高点 对应的横坐标之间的区间长度为一个周期 ，相邻两个最高点之间有一个最低点.因 此，记从左至右第一个最大值点为，最小值点为，第二个最大值点为 ， 则函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 20 3 最值与奇偶性之间的关系 函数, , 为常数，且,,当且仅当 取得 最值时，的图象关于轴对称，为偶函数; 当且仅当时， 的图 象关于原点对称， 为奇函数. 21 4 最值与周期性之间的关系 相邻两个最大值之间的区间长度为周期 ，相邻最大值与最小值之间的区间长度 为，相邻的最值点与零点之间的区间长度为 . 以形助教 1.最值与单调性、周期性的关系可从图7.3.2-1中直观理解. 图7.3.2-1 22 2.最值与奇偶性的关系可从图7.3.2-2中直观理解. 图7.3.2-2 23 5 最值与对称性之间的关系 函数在 处取最大（小）值，则函数图象关于直线 对称；在处函数值为0，则函数图象关于点 对称. 24 典例详解 例2-4 (2025·陕西省西安市期末)若函数是 上的偶函数， 则 等于( ) C A.0 B. C. D. 25 【解析】 因为函数的图象的对称轴方程为 , , 所以函数的图象的对称轴方程应满足 , . 又函数 是偶函数， 所以直线是其图象的一条对称轴，所以 , , 又 ,所以 . 若函数为偶函数,则或，即或 ， 又 ，所以 . 因为函数是奇函数，要使 是偶函数，只 需把的图象向左平移个单位长度即可，即只需 . 26 例2-5 已知是函数的一个最大值点,则 的一个单调递减 区间是( ) B A. B. C. D. 【解析】是函数的一个最大值点，而函数 的最小正周 期为 ，于是函数的一个单调递减区间为，即 . 点评 本题也可由求出 的值，进而求单调递减区间. 27 例2-6 (2025·江苏省无锡市天一中学期末)已知函数 的 图象关于直线对称，则 的值是____． 【解析】由函数的图象关于直线对称，得 ， 因为，所以，所以,解得 . 28 题型解析 03 题型1 值域（最值）问题 1 已知函数求值域（最值） 例7 函数, 的值域为________. 【解析】,， ，由正弦函数的图象或单调性可得 ，，即函数的值域为 . 30 求正弦型函数的值域的思路 对于形如的函数，当函数的定义域为 时，值域为 ；当定义域为某个给定区间时，需确定 的范围，结合正弦 函数的图象或单调性确定值域. 31 2 已知函数值域（最值）求参数 例8 已知函数在 上恰有一个最大值1和一个最小值 ，则实数 的取值范围为( ) A A. B., C. D., 思路点拨 令，根据求出的范围，根据 的图象建立关 于 的不等式（组）求解即可. 32 【解析】令，则 ， 由题意知 （【学一题会一类】解决正弦型函数的问题一般化归为正弦函 数的问题进行处理）在上恰有一个最大值1和一个最小值 ， 所以解得 所以 . . . 33 已知正弦型函数的值域（最值）求参数的思路 已知函数在给定区间上存在最大值或最小值，求 或 ，需根据 的范围确定 的范围，结合的图象建立关于 或 的不等式（组） 求解. 34 【变式题】 1.若函数在[,上的最小值是，但最大值不是2，则 的取 值范围是( ) B A. B.,2） C.（0, D. 【解析】,,,,又函数在[-, 上的最小 值是，但最大值不是2,且,解得 . 35 题型2 单调性问题 1 求正弦型函数的单调区间 母题 致经典·母题探究 例9 [教材改编P51练习B T14]函数 的单调递增区间为___________ ______________. [ ,, 36 【解析】 函数的单调递增区间为[- ,, . 令 , （为什么这样做可以看下一页【命题探源】 的分析）， 解得 , ， 所以函数的单调递增区间为[- ,, . 令，解得 ， 所以函数在 处取得最大值. . . 37 又函数的最小正周期为 ，根据周期性与单调性（一个单调区间为半个最小正周期） 的关系可知，函数的一个单调递增区间为,,即[-, , 所以函数的单调递增区间为[- ,, . . . 38 命题探源 用“同增异减”的眼光看正弦型函数的单调性 该母题取材于教材第51页【练习B】第4题.求正弦型函数的单调区间可谓是各类考试 的常客，解此类题的关键是对求复合函数单调性的口诀“同增异减”的灵活运用，函 数可看成是外层函数，内层函数 的复合，内 层函数在定义域 上是单调递增的，但是外层函数在定义域上显然有增有 减，根据“同增异减”口诀，函数 与外层函数的单调性相同.这就是 令 的由来.下面研究一下该母题的几个变式. 39 子题 子题1 函数 的单调递减区间为_________________________. [ ,, 【解析】求函数-（切勿忽略负号） 的单调递减区间 即求函数 的单调递增区间， 令 , ， 解得 , ， 所以函数的单调递减区间为[- ,, . . . 40 名师点评 结合母题及子题1可知，在同一单调区间上，函数 与函 数 的单调性相反. 子题2 函数 的单调递增区间为_________________________. ， 【解析】 （ （【易错点】此处不能直接由 ,求得单调递增区间）） , 令, , 得, . 由的任意性可知函数的单调递增区间为， ． . . 41 由题意可得 ,（函数 的单调递减区 间为 ,,，函数在 上单调递减，结合复合函数的单 调性可得该式） ， 解得 ,，即, . 所以函数的单调递增区间为， . . . 42 子题3 函数 的单调递减区间为______________________ ______. ， 【解析】要使函数有意义，则需 0,（【解题思维】做函数题， 要有“定义域先行”的意识） 即，得 ， . 由复合函数的单调性可知，函数 的单调递减 区间即函数的单调递减区间，由 ， ，得， ， 故函数的单调递减区间为， . . . . . 43 名师点评 求三角函数与其他函数复合而成的函数的单调区间时，要注意使用“同增 异减”来判断.同时要注意函数的定义域，单调区间需在定义域内求解. 求单调区间的基本方法——基本函数法 用“基本函数法”求函数 的单调区间的步骤： 注意：或 小于0时的情况. 44 【变式题】 2.(2025·安徽省蚌埠市期中)函数 的单调递增区间是 ( ) D A. ， B.[-， C.[-， D.[-， 【解析】 由 , ,得 , . 由于，所以所求单调递增区间为[-， . 当时，函数取得最大值，且其最小正周期为 ,则函 数的一个单调递增区间为，即[-， ，所以当 时,所求单调递增区间为[-， ． 45 2 已知单调区间求参数 例10 (2025·广东省广州市第五中学月考)已知函数在区间 （其中）上单调递增，则实数 的取值范围是_ ________. （0，] 【解析】 由 , ,得 , . 取，得 , 则函数的一个增区间为[-, . 函数在区间（其中）上单调递增， . 46 令 ， 若,则, . 的单调递增区间为, , ， ， 又（需利用这两个条件确定的值）， . . . . 47 名师点评 方法1利用整体思想，求出“通用”单调递增区间，利用全集与子集的关系， 确定值，再求 的取值范围；方法2利用换元法，结合给定单调递增区间，套用 的单调递增区间，列不等式组，确定值，再求 的取值范围.两种方法都涉 及整体换元思想、模型求解思想，请细心品味. 48 例11 (2025·四川省泸州市期中)已知,函数在， 上单调递 减,则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 49 【解析】令,，则 的单调递减区间为 , , 又在 上单调递减， 所以,所以,又,所以当 时，解得 , 当 时，不等式组无解. 综上， 的取值范围是, . 50 例12 (2025·江西省樟树中学月考)若函数在区间 上单调递 增，在区间上单调递减，则 ( ) C A.3 B.2 C. D. 【解析】 由于函数 的图象经过坐标原点，且在区间 ,上单调递增，在区间,上单调递减，结合函数图象可知， 为这个函数周期的 四分之一，故,解得 . 由题意知，函数在处取最大值， （五点法的第二 点）, . . . 51 1.函数 在其单调区间的子区间也单调. 2.已知函数的单调区间求 或 ，一般将 代入 的 相应单调区间所对应的不等式组，求出的范围，结合已知的单调区间建立关于 或 的不等式（组）求解. 3.利用正弦型函数的周期与单调性的关系，即“正弦型函数的一个单调递增（减）区 间的长度最大是周期的一半”也可解题. 52 【变式题】 3.[多选题](2025·四川省仁寿第一中学校期末)已知，函数 在 ，上单调递增，且对任意，，都有，则 的取值可以为 ( ) BCD A.1 B. C. D.2 53 【解析】由于，函数在， 上单调递增，则 ，，且,, ，解得 ，．又， 对任意的 ，，，都有， ， ,，解得，,令 ，可得 ．综上，可得，故选 ． 54 题型3 周期问题 1 求函数的周期 例13 [教材改编P50 T1]求下列函数的周期： （1） ; 【解析】 令，函数的最小正周期是 , 至少要增加到 ，函数 的值才能重复取得， ， 从而函数的周期 . 函数的周期 . 55 （2） . 【解析】作出函数 的图象，如图7.3.2-4所示. 图7.3.2-4 由图象可得，函数的周期为 . 56 思路点拨 （1）可以用定义法求解，也可以利用公式直接求解；（2）可以利用图 象求解. 名师点评 对于形如的函数的周期，常用公式 来求.对于形如 的函数的周期，常结合图象来求,其周期为 . 57 例14 已知函数，若函数 图象的一个对称中心到对 称轴的距离的最小值为，则 的值为__． 【解析】因为相邻的对称中心与对称轴之间对应的区间长度为，所以 ， 所以,所以 . 58 求函数周期的方法 （1）定义法：即对定义域内的每一个值，看是否存在非零常数 使 恒成立，若恒成立，则是周期函数，且 是它的一个周期.在判 定一个函数不是周期函数，或 不是某函数的周期时，可以采用举反例的方法. （2）公式法：函数, ， 为常数，且, 的周期 . （3）图象法：根据函数图象的特征直观判断. 59 2 求参数 的值或范围 例15 已知，函数在区间上恰有9个零点，则 的取值范 围是_________. 60 给什么 得什么 在区间[-,上恰有9个零点，且是奇函数，则 在 的左右两侧零点个数相同，且，于是得到 在 （0, 上恰有4个零点. 求什么 想什么 要求 的取值范围，就要建立关于 的不等式. 差什么 找什么 的图象与轴在（0,上的第一个交点的横坐标为 ，由周期性可得第4 个交点的横坐标为，第5个交点横坐标为 ，于是得 到不等式，解得 . 61 例16 (2024·北京)设函数.已知, ,且 的最小值为,则 ( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】因为，且,， （【扫清障碍】正弦函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个最小正周期）， 所以的最小正周期 ，所以 . . . 62 由正弦型函数图象可知，相邻两个最大值点之间的区间长度为周期 ，相邻的最大值 点与最小值点之间的区间长度为，零点与其相邻的最值点之间的区间长度为 .由此 可得正弦型函数的一个单调递减区间和一个单调递增区间的长度都为周期的一半. 63 【变式题】 4.［多选题］(2025·辽宁省大连市期中)已知函数在[- ， 上单调，且，则 的取值可能为( ) ACD A. B. C. D. 64 【解析】设的最小正周期为，则由题意可得，即 ．由 在[-,上单调，且，得的一个零点为 ，因为 ，所以有以下三种情况： （1）,则 ; （2）,则 ; （3）,则 . 故选 ． 65 题型4 奇偶性与对称性问题 1 函数的奇偶性 例17（1）(2025·河北省承德市第一中学月考)已知函数 是奇 函数，则 的值可以是( ) B A.0 B. C. D. 66 【解析】 要使为奇函数，则只需 , ， 从而, . 显然当时， 满足题意. 是奇函数， , 即 , ,,即, . 令,则 . （秒解） 正弦函数 为奇函数， 时， 为奇函数. 67 （2）(2025·北京市第八中学月考)已知函数 的最小 正周期为 ，若将的图象向左平移 个单位长度，所得函数 为偶函数，则 的一个值是( ) D A. B. C. D. 68 【解析】 函数的最小正周期为 , ,解 得 , . 将的图象向左平移 个单位长度后，得到的是函数 的图象. 所得函数 为偶函数， ,，解得, . 当时， . 69 2 函数图象的对称性 例18 [教材改编P70 T14]函数 的图象的一条对称轴的方程是 ( ) C A. B. C. D. 70 【解析】 因为函数的图象的对称轴方程为 , 令,得,此即函数 的图象的对称轴 方程. 令，得 . 正弦型函数的图象的对称轴与图象的交点是函数图象的最高点或最低点， 因此可以将各选项代入验证. 不难发现当时，函数取得最小值，因此直线 是函数图象的一条对 称轴. 71 例19 (2025·甘肃省临潭县第一中学期中)已知函数 的图 象关于直线对称，且，则 的最小值为( ) A A.2 B.4 C.6 D.8 72 【解析】 由题设知直线与点分别为函数 图象的对称轴与对 称中心， 故， ， 于是 , 即,故 的最小值是2. 易知, , 又,则 , , 当时， . 73 例20 (2025·湖北省荆州中学月考)已知 ，若该函数图 象在区间，内不存在对称轴，则 的取值范围为( ) C A., B., C., D., 74 【解析】由 ， 可得函数图象的对称轴方程为 ， 由题意知，且 ， 即 ，若使该不等式组有解， 则需满足，即 ， 又，故，即 ， 所以 ， 又，所以或 ， 所以, ． 75 求解 的奇偶性与其图象的对称性问题的入手点 （1）奇偶性：由于函数 是奇函数，因此判断函数 是不 是奇函数，关键是看它能否利用诱导公式转化为 ，故若 ,则为奇函数，若 ,则 为偶函数. （2）对称性：当时，函数 取得 最大或最小值，因此函数 的图象的对称轴方程由 求出，同理其对称中心的横坐标由 求出. 76 【变式题】 5.［多选题］已知函数在处取得最大值,则函数 的图象( ) AD A.关于点对称 B.关于点 对称 C.关于直线对称 D.关于直线 对称 77 【解析】因为函数在 处取得最大值，所以 ,则 ，所以 . 令，得,即函数图象关于点 对称，所以A正确，B不正确. 令，得 ,即函数图象关于直线 对称，所以D正确，C不正确. 题型5 函数图象变换问题 例21 (2025·天津市河北区期末)把函数 的图象向左 平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 所得图象的函数解析式为 ,则( ) B A.， B.， C.， D.， 【解析】 （逆向变换） 将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到 原来的（纵坐标不变）,所得图象的函数解析式为 ，再将此函数图象向右 平移个单位长度，所得图象的函数解析式为，即 ， 所以, . 79 （正向变换） 将的图象向左平移 个单位长度后，得到 （（【易错点】“左加右减”是针对自变量而言的）） 的图象， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即得函数 的图象， 又,, , 所以解得 . . 80 感悟升华 由 的图象变换到 的图象，可采用逆向思维. 81 例22 (2025·江西省宜春市丰城中学开学考试)将函数 的图象 向右平移个单位长度后与原图象重合，则 的最小值为( ) C A. B. C. D.3 【解析】 将函数的图象向右平移 个单位长度后，得到函 数的图象. 两图象重合， ,,解得,.又 , 当时， 取最小值，最小值为 . 由题意可知，是函数的最小正周期 的正整数 倍，即 , , 的最小值为 . 82 名师点评 三角函数的图象向右（或向左）平移 个单位长度后与原图象重合，则 是函数最小正周期的 倍. 83 例23 ［多选题］已知函数 ，则下列结论正确的有( ) AD A.将函数的图象向左平移个单位长度，可得 的图象 B.函数的图象的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移 个 单位长度，可得函数 的图象 C.函数的图象与函数 的图象的对称中心不完全相同 D.若实数使得方程在,上恰好有三个实数解，， ，则一定有 84 【解析】将的图象向左平移 个单位长度可得 的图象，故A正确；函数 的图象的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍得到 的图象， 再向左平移个单位长度得到的图象，故B错误；函数 的图象与 函数的图象关于轴对称，所以函数的图象与函数 的图 象的对称中心完全相同，故C错误； 85 图7.3.2-5 易求得图象的对称轴为直线， ，作出函 数在, 上的大致图象如图7.3.2-5所示，若使得方程 在,上恰好有三个实数解,,，则 ， ，所以 ，故D正确. 86 图象变换法的基本途径 函数 的图象基本变换有： ①纵向伸缩变换：与相关，时伸长， 时缩短. ②横向伸缩变换：与 相关，时缩短， 时伸长. ③横向平移变换：与 相关，时左移， 时右移. ④纵向平移变换：与相关，时上移， 时下移. 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换，注意两种变换方 法中左右平移的单位长度一般是不相同的. 87 【变式题】 6.(2025·山东省淄博第六中学期中)将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则 的最小值是( ) C A. B. C. D. 【解析】记曲线的函数解析式为 ，则 .因为函数的图象关于 轴对称， 所以，得 . 因为，所以 . 88 题型6 由函数图象或性质求解析式 例24 [教材改编P50 T2](2025·辽宁省鞍山部分高中月考)已知函数 在一个周期内的函数图象如图7.3.2-6所示，求函数 的一个解析式． 图7.3.2-6 89 给什 么得 什么 由函数图象知：①函数的最大值与最小值，即得 的值； ②相邻两个零点，由此可得函数 的周期，且可将点的坐标代入函数解析 式，建立变量的关系，或确定函数图象的对称轴等. 求什 么想 什么 求函数的解析式，即求, 及 的值，的值可由最值来确定； 的值 可由函数的周期确定；而 值的确定有多种途径：①取点代入；②五点对应 法；③图象变换法等. 差什 么找 什么 最大值与最小值 ; 函数相邻的两个零点 ; 将点（最高点）代入 ,或由求 等. 90 【解析】 （最值法） 由图象可知函数的最大值为，最小值为 ， ， ． 由图象知, ， ． , 所给图象上的最高点的坐标为， ， ，即，可取 ， 故函数的一个解析式为 ． 91 （五点对应法） 由图象可知，又图象过点， ，根据 五点法作图原理，以上两点可判断为五点法作图中的“第一点”与“第三点” （一般来说，第一点的横坐标是位于图象上升时的零点，第三点的横坐标是位于图 象下降时的零点）， 则有解得 故函数的一个解析式为 ． （图象变换法） 由图象可知，, , . 由图象可知，该函数的图象可由的图象向右平移 个单位长度得到. 故所求函数的一个解析式为，即 . . . 92 名师点评 由图象求得 的解析式一般不唯一，只有限 定 的取值范围，才能得到唯一解，否则 的值不确定，解析式也就不唯一. 93 例25 (2025·湖北省武汉市期末)已知函数,（其中 , ,）的周期为 ，且图象上一个最低点为 . （1）求 的解析式； 【解析】由函数图象上的一个最低点为，得 . 由周期 ,得 ， 所以 . 由点在图象上,得 , 即,所以 , 故,又，所以 . 所以函数的解析式为 . 94 （2）当时，求 的最值. 【解析】因为,所以,所以当，即 时，函数 取得最小值，最小值为1；当,即时，函数 取得最大值，最 大值为 . 95 确定函数解析式 的方法 1.最值法 （1）一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定, . （2）因为，所以往往通过求周期来确定 ，可通过函数的图象来确定 ， 注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为 ，相邻的两个最高点（最低点）之间 的水平距离为 .#2.1.1.2 96 （3） 常以五点法作图中的最高（低）点作为突破口，即当 时， 有最大（小）值，或者由五 点法作图中的第一个点 作为突破口，但要从图象的升降情况找准“第一点”的 位置. （4）可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定， .#2.1.1.4 97 2.五点对应法 ①“第一点”：.②“第二点”： “第三点”：“第四点”： “第五点”： . 在用以上方法确定 的取值时，还要注意题目中给出的 的范围，不在要求范围内 的要通过周期性转化到要求范围内. 98 【变式题】 7.［多选题］(2025·江西省萍乡市期中)已知函数 的部分图象如图7.3.2-7所示，点 ， ，则下列说法中正确的是( ) ACD 图7.3.2-7 A.直线是 图象的一条对称轴 B.的图象可由的图象向左平移 个单位长度得 到 C.的最小正周期为 D.在区间， 上单调递增 99 【解析】由题意得, . 又,, . 根据“五点法”可得 ，解得 ， 故 . 令，得,为最大值，故直线是 图象的一条对称轴，故A正确； 把的图象向左平移个单位长度，可得 的图象，故B 不正确； 的最小正周期为 ，故C正确； 当时，,故此时 单调递增，故D正确. 100 图7.3.2-8 8.(2025·河南省新蔡县第一高级中学月考)若函数 , 的部分图象如图7.3.2-8所 示.求: （1） 和 ; 【答案】由图象可知，,又， . ,的图象过点 , ,即 ， 又, . 101 （2）在区间 上的取值范围. 【答案】由（1）可知， , , , . 即在区间上的取值范围为 . 102 题型7 函数 性质的综合应用 例26 (2025·广东省佛山市第三中学月考)已知函数 在区间 上单调，且满足 ．若函数在区间上恰有5个零点，则 的取值范围为 ( ) B A. B. C.， D. 103 104 【解析】在区间上单调，， ， （在同一个单调区间内，函数值互为相反数，则自变量的中点为对称中心） 图象的对称中心为 ， 且 ， ，即，即 ， ． 又图象的对称中心为， . 105 在区间,上恰有5个零点，相邻2个零点之间的距离为 ，5个零点之间即 ，6个零点之间即 ， 只需即可，即,,解得 ， 又， ． 【变式题】 9.(2025·苏州大学附属中学期末)已知函数 ， 为的零点，直线为图象的对称轴，且在， 上单 调，则 的最大值为( ) B A.11 B.9 C.7 D.5 107 【解析】由题意知, , 解得,则, . 因为在 上单调， 所以,即,于是 . 从大到小进行试探： 当时，因为 （判断是否有对称轴在 ）内，如果有，说明不单 调），所以在 上不单调； 当时，在 上单调，符合题意. 所以 的最大值为9. . . 108 题型8 正弦型函数的实际应用 例27 ［多选题］(2025·广西玉林市期末)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类 的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图7.3.2-9是一个半径 为的水车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转 一周用时60秒．经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为 ，其纵坐标满足 ．则下列叙述正确的是( ) ABD 图7.3.2-9 A.,, B.当时，点到 轴的距离的最大值为6 C.当时，函数 单调递减 D.当时， 109 【解析】由题意，得， , . 当时，的纵坐标为，故, ，故A正确. ，当时，, 当 时，点 到 轴的距离最大，最大值为6，故B正确. 当时，，由正弦函数的单调性可知，函数 在 上不单调，故C不正确. 当时，， 点的坐标为 ， ，故D正确. 110 高考考向分析 04 考情揭秘 三角函数的图象变换可以融入到大多数的三角函数试题中，因此是高考考查的热点， 明确图象平移变换的原则是解题的关键.由部分图象确定函数解析式能够完美考查函 数图象与性质间的互相转化，较好考查了学生的数学思维，要注意重点掌握.题型以 选择题、填空题为主,难度中等或较难. 核心素养：逻辑推理（利用图象变换规则推导函数解析式），直观想象（根据图象 确定函数解析式）. 112 考向1 正弦型函数的图象变换 例28 (2022·浙江)为了得到函数的图象,只要把函数 图象 上所有的点( ) D A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度 【解析】因为，所以要得到函数 的图 象，只要把函数的图象上所有的点向右平移 个单位长度，故选D． 113 例29 (全国乙卷)把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变， 再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】依题意，逆向变换，则 的图象 的图象 的图象，即 . 114 考向2 正弦型函数性质的应用 例30 (2025·天津)在[-, 上单调递增，且 直线为图象的一条对称轴，点是 图象的一个对称中心，当 ,时， 的最小值为( ) A A. B. C. D.0 115 【解析】因为在上单调递增且直线为 图象的一条对称轴，所 以,，得 ，且 ①.因为点是 图象的一个对称中心，所以 ，得 ②,由①②得 ，结合，得 ，（【另解】由题意得 直线与点是图象相邻的对称轴和对称中心，则 ，解得 ）则，又 ，所以，故.当 时， ，所以的最小值为 . 116 例31 [多选题](2024· 新课标Ⅱ卷)对于函数和 ，下 列说法中正确的有( ) BC A.与有相同的零点 B.与 有相同的最大值 C.与有相同的最小正周期 D.与 的图象有相同的对称轴 【解析】对于A，令，则,，又 ，故A错误； 对于B,与 的最大值都为1，故B正确； 对于C，与的最小正周期都为 ，故C正确； 对于D，图象的对称轴方程为 ,，即,， 图 象的对称轴方程为 ,，即,，故与 的图 象的对称轴不相同，故D错误.故选 . 117 例32 (2023·全国乙卷)已知函数在区间， 单调递增,直线 和为函数的图象的两条相邻对称轴，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意得，解得，易知是 的最小值点，即 或 ， 所以 或 , ， 即 或 , ， 所以或 ， 所以 或 . 118 考向3 正弦型函数性质与图象的综合考查 例33 (2024· 新课标Ⅰ卷)当时，曲线与 的交点个 数为( ) C A.3 B.4 C.6 D.8 图7.3.2-10 【解析】因为函数的最小正周期 ，所 以函数在 上的图象恰好是三个周期的图 象，所以作出函数与在 上的 图象,如图7.3.2-10所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点. 119 例34 (2023· 新课标Ⅱ卷)已知函数,如图7.3.2-11，， 是直线 与曲线的两个交点，若，则 _ ____. 图7.3.2-11 120 【解析】第1步：由题图及“五点（画图）法”得 , 的关系式 对比正弦函数的图象易知，点 为“五点（画图）法”中的第五点， （【提醒】将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点（画图）法”中的 哪一个点） 所以 ①. 第2步：根据正弦函数图象的对称性求 的值 由题知，两式相减，得 ，即 ，解得 . 121 第3步：求出 ，即可求得结果 代入①，得 ， 所以 . 命题 探源 本题与教材第50页【练习A】第2题相似，都是已知函数 的部分图象求其解析式，其中 比较容易 通过看图得出，困难的是求待定系数 和 ，常用如下两种方法： （1）由即可求出 ;确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升 （或下降）的“零点”横坐标，则令（或 ）,即可求 出 . （2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代 入解析式，再结合图形解出 和 ，若对， 的符号或对 的范围有要 求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 123 变式探源 图7.3.2-12 ［多选题］(新高考全国Ⅰ卷)如图7.3.2-12是函数 的部分图象，则 ( ) BC A. B. C. D. 124 【解析】由函数图象可知， , 不妨设,则 ,所以A错误； 当时，,所以 ,故 ,令,则 , 即函数的解析式为 , 而 ， 故B，C正确，D错误. 125 高考新题型专练 1.［多选题](2025·江西省萍乡市期中)已知函数 的图 象关于点 中心对称，则( ) AD A.在区间 上单调递减 B.的图象在区间， 上有两个对称轴 C.直线是 图象的对称轴 D. 126 【解析】第一步 求解函数解析式. 由，得.因为函数的图象关于点 中 心对称，所以，即（【另解】 ， 可得），结合 ， 得，所以 . 第二步 逐项分析正误. 对于A，由，得 ， 当时，.因为，所以函数在区间 上单 调递减，故A正确. . . 127 （【代入法】当时，,，所以函数在区间 上单调 递减，故A正确） 对于B，由，得，当时， ， 当时，，当时，时，所以函数图象在区间 上 只有一条对称轴，故B不正确. （【代入法】当,时，,，所以函数 图象在区间 上只有一条对称轴，故B不正确） 对于C，函数图象的对称轴方程为 ，而方程 无解，故C不正确. （【代入法】因为，所以直线 不是 图象的对称轴，故C不正确） 对于D， ，故D正确. 综上所述，选 . 2.［多选题](2025·安徽省合肥四中诊断)设函数,已知 在 上有且仅有5个零点.下述结论正确的是( ) ACD A.在上有且仅有3个最大值点 B.在 上有且仅有2个最小值点 C.在上单调递增 D. 的取值范围是, 130 图D 7.3.-1 【解析】作出函数的简图，如图D 所示， 根据题意知，，根据图象可知函数 在 上有且仅有3个最大值点，所以A正确；但可 能会有3个最小值点，所以B错误；根据 （体会数形结合的妙用.） ，有，得 ， 所以D正确；当时， , 因为，所以,所以函数在 上单调递增，所以C正确. 131 知识测评 05 建议时间：30分钟 1.(2025·江西省南昌中学期中)函数 的最小正周期为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】函数的最小正周期 . 133 2.(2025·天津市河北区期末)将函数的图象上所有的点向右平移 个单位长度， 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的 函数解析式是( ) C A. B. C. D. 【解析】的图象 的图象 的图象. 134 3.(2025·北京市昌平区第二中学期中)设函数， ，其中 ， ．若,,且的最小正周期大于 ，则 ( ) A A., B., C., D., 【解析】由,,的最小正周期 ，可得 , , . 由及 得 . 135 4.(2025·广东实验中学开学考试)已知函数的最小正周期为 ， 则在[-, 的最小值为( ) A A. B. C.0 D. 【解析】由的最小正周期为 ，可得，所以，不妨令 ,则 ,所以.当时， ， ，所以 . 136 5.(2025·江苏省南菁高级中学月考)已知函数,现将 的图 象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变, 得到函数的图象,则在 上的值域为( ) A A. B. C. D. 【解析】将函数的图象向左平移 个单位长度,得到函数 的图象,再将所得图象上各点的横坐标缩短为 原来的,纵坐标不变,得到函数的图象,则 , ,, , , , 即在,上的值域为 . 137 6.［多选题］关于函数 ，下列说法正确的是( ) ACD A.其图象关于直线 对称 B.其图象关于点 对称 C.其值域是 D.其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的 得到 138 【解析】当时，, ，为函数的最小值，所以函 数图象关于直线 对称，故A正确； 当时，， ，为函数的最大值，所以函数图象关于直线 对称，关于点 不对称，故B错误； 函数的值域为 ，故C正确； 图象上所有点的横坐标变为原来的,得到 的 图象，故D正确. 139 图7.3.2-1 7.(2025·福建省厦门市期中)函数 , , 是常数,,， 的部分图象如图7.3.2-1所示,则 的值是_ ____． 【解析】由题图得， ,解 得,所以.又函数 的图象过点 ,所以,所以 , , 又,所以,所以 ,故 . 140 8.新考法 结构不良 在“①将函数图象向右平移个单位长度所得图象关于 轴对 称；②函数是奇函数；③当时，函数 取得最大值”三 个条件中任选一个，补充在题干中的横线处，然后解答问题． 题干：已知函数，其中， ，其图象相邻的对称中 心之间的距离为 ，________． 141 （1）求函数 的解析式； 【答案】因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为 ，所 以最小正周期 ， 所以，所以 . 选择①， 因为函数图象向右平移个单位长度所得图象关于 轴对称，所以 的图象关于 轴对称， 所以，，即 ， ， 因为，所以，所以 ． 142 选择②， 因为 是奇函数，所以 ，，即， ， 因为，所以，所以 ． 选择③， ， 因为当时，函数 取得最大值， 所以 ， 解得 ， 因为，所以 ， 所以 ． （2）求函数在[-，上的最小值，并写出取得最小值时 的值． 【答案】由（1）知， ， 因为，，所以， ， 当，即时，函数取得最小值，最小值为 ． 145 高考模拟 06 建议时间：40分钟 9.(2025·江西省婺源天佑中学月考)已知函数（, , 均为正的 常数）的最小正周期为 ，当时，函数 取得最小值，则下列结论正确的 是( ) A A. B. C. D. 147 【解析】的最小正周期为 ,, .又 直线是经过函数图象最低点的一条对称轴， 直线 是经过 函数图象最高点的一条对称轴.， , ,,且, , ,数形结合（图略）可知2，，0距 的距离越大，其函数值越小， ，又，故 . 148 10.(2022·新高考全国Ⅰ卷)记函数的最小正周期为 .若 ,且的图象关于点中心对称，则 ( ) A A.1 B. C. D.3 【解析】因为 ,所以 ，解得．因为 的图象 关于点中心对称，所以，且 ，即 ，所以,又 ,所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以 ． 149 11.(2025·广东省江门市第一中学开学考试)函数 的部分图象如图 7.3.2-2中实线所示，图中圆与的图象相交于，两点，且点在 轴上，则下 列说法中正确的是( ) B 图7.3.2-2 A.函数的最小正周期是 B.函数的图象关于点 中心对称 C.函数在 上单调递增 D.函数 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍 （纵坐标不变），再向右平移个单位后得到的图象关于 轴 对称 150 【解析】由对称性得,, , .由题图易得，函数 图象的对称中心为点，令,则 的图象关于点 对称.函数在上单调递增，在 上单调递减.函数 图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，再向右平移个单位得 的图象， 且在[-,上单调递增， , ,因此的图象关于 轴不对称，故 选B. 151 12.［多选题］(2025·广西南宁市期中)关于函数 ，下 列命题正确的是( ) BD A.若,则是 的整数倍 B.原函数等价于 C.的图象关于点 对称 D.的图象关于直线 对称 152 【解析】由得,又函数的周期 ， 则是 的整数倍，故A错误. ,故B正确. 当时， ,即函数图象关于点 不对称，故C错误. 当时,=,则 的图象关于 直线 对称，故D正确. 153 13.已知函数在，上有且仅有3个零点，则函数 的图象在，上存在___个对称中心，请写出一个符合要求的正整数 的值___． 3 3 【解析】当，时， ， 由于函数在， 上有且仅有3个零点， 则 ， ， 符合要求的正整数 的值为3． 154 图D 7.3.2-1 令，作出函数在区间[-， 上的 图象如图D 7.3.2-1所示， 函数在， 上存在3个 对称中心． 155 14.(2025·河南省平顶山市期末)如图7.3.2-3，一个半径为 的筒车按逆时针方向每分 钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒 到水面的 距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒 刚浮出水面时开始计 算时间，则与时间（单位： ）之间的关系为 . 图7.3.2-3 156 （1）求， , ,的值（ 精确到 ）； 【答案】由题图可知的最大值为，最小值为，得， 筒车 每分钟转1.5圈， 函数的周期为，故， ， ，依题意，可知当时， ， 即，, . 157 （2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点（精确到 ）? 附：, 取3.14. 【答案】由（1）知 ，当且仅当 时，盛水筒到达最高点， 解得，又，所以当时， 取最小值，最小值为 ,即盛水筒出水后至少经过 就可到达最高点． 158 15.已知函数,,,若函数 的所有零点依次 记为，，， ，，且 ，则 ( ) B A. B. C. D. 159 【解析】令 ，，得函数 图象的对称轴方程为 ,的最小正周期为 ，当时， ,当 时，,的图象在,上有11条对称轴，故函数 的图象与直线有11个交点，与关于直线对称，与关于直线 对称， ，与关于直线对称，即, , , , . 160 谢谢观看 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 161 $