7.2.4 诱导公式课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.2 任意角的三角函数 7.2.4 诱导公式 第七章 三角函数 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 高考考向分析 06 高考模拟 05 知识测评 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 角的旋转对称 1 一般角的终边的对称 图7.2.4-1 如图7.2.4-1所示，假设角 的终边是，射线和 关于 对称， ，那么射线是角 的终边，射线 是角 的终边．由此我们可知，角 的终边和角 的终边关于角 的终边所在的直线对称． 一般地，角 的终边和角 的终边关于角 （与中点坐标 公式类似）的终边所在的直线对称． . . 6 2 常见角终边的关系 角 或 图示 与角 终边的关 系 相同 关于原点对 称 关于 轴对称 关于 轴对称 角 图示 7 角 或 与角 终边的关 系 关于直线 对 称 垂直 关于直线 对称 垂直 续表 8 典例详解 例1-1 已知，，，则角 与 的终边( ) C A.关于轴对称 B.关于 轴对称 C.关于直线对称 D.关于直线 对称 【解析】，， ， ， 则， ， 角 与 的终边关于角的终边所在直线对称，即角 与 的终边关于直线 对称. 9 点评 角 的终边与角的终边相同，因此在直角坐标系中分别作出角， 的终边 即可发现角 与 的终边的关系：关于直线 对称. 10 知识点2 诱导公式 1 诱导公式 11 巧学妙记 记忆口诀：奇变偶不变，符号 看象限（核心是符号和名称）.将 视为一 个基本单位，则所有的诱导公式形式可统 一. 12 2 诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式① 将角转化为 的角求值. 公式② 用正角的三角函数值表示负角的三角函数值. 公式③ 将~ 的角转化为 的角求值. 公式④ 将 ~的角转化为 的角求值. 公式⑤~⑧ 实现正弦与余弦的相互转化. 13 典例详解 例2-2 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 ． 14 例2-3 [多选题] (2025·河南省邓州市春雨国文学校开学考试)已知 为第二象限角， 则下列结论正确的是( ) BC A. B. C. D. 【解析】因为 为第二象限角， 所以 ，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ,故D错误. 15 例2-4 (2025·江苏省盐城市五校月考)设，，是 的三个内角，则下列关系 式恒成立的是( ) B A. B. C. D. 【解析】（灵活运用三角形的内角和为 是解题的关键） ，故A错误; ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. . . 16 重难拓展 知识点3 一组重要公式 1 ①当 时，由诱导公式有 . ②当 时，由诱导公式有 . 类似地，有 . 17 2 ①当 时，由诱导公式有 . ②当 时，由诱导公式有 . 类似地,有 . 18 典例详解 例3-5 求 的值. 【解析】①当为奇数时，原式 ]= . ②当为偶数时，原式 .综上可知，原式 . （【另解】直接利用左栏公式代入求解） 19 题型解析 03 题型1 利用诱导公式求值、化简、证明 1 求值 例6 [教材改编P35 T2] 求值： （1） ； 【解析】原式 . 21 （2） ; 【解析】原式 . （3） . 【解析】原式非特殊角，因此要考虑与其他式子之间的关联 . . . 22 利用诱导公式求值的步骤 利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,即 口诀：负化正，大化小，化到锐角就行了. 23 【变式题】 1.(2025·山东省东营市期末)若，且 是第三象限角，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】， ， 又 是第三象限角， ， ． 24 2 化简 例7 [教材改编P34练习B T3] 化简： （1） ； 【解析】原式 . 25 （2） ； 【解析】原式 （注意 与 的大小） . 26 原式 （3） . 【解析】 当, 时, 原式 . 当, 时, 原式 . 所以原式 27 28 利用诱导公式化简三角函数式的一般原则是负化正、大化小、异角化同角、异名化 同名、弦切互化等，对于比较复杂的化简问题，一般先利用诱导公式将三角函数式 化为同角三角函数式，再利用同角三角函数的基本关系式变形求解. 29 【变式题】 2.化简： （1） ； 【答案】原式 . 30 （2）， 为整数. 【答案】 当为偶数时，设 ，则 原式 . 当为奇数时，设 ，则 原式 31 . 综上可得，原式 . 由 ， ， 得 ， . 又 ， 故原式 . 原式 . 33 3 证明 例8 求证： （1） ； 【解析】因为左边 右边，所以 等式成立.（左边较复杂，右边较简单，因此可以从左边入手） 34 （2） . 【解析】因为左边 , 右边 , 所以左边 右边，故原等式成立.（两边都较复杂，所以对两边进行化简，使其结果 一致） 35 题型2 利用互余（互补）关系求值 例9 [教材改编P36 T6] 已知 是第四象限角，且，则 ____. 36 【解析】 是第四象限角，且 ， 为第一象限角， . ， , , . 37 名师点评 事实上，我们根据公式⑤⑥⑦⑧还能够得到 ， ,, .利用该结论，我们可 以更快地求出本题的答案. 因为 是第四象限角，且，所以 , 所以 ,所以 . 38 例10（1）已知，则 _ ____. 【解析】 . （2）已知,则 __. 【解析】 , 发现 , , 则 . 39 名师点评 解决以上问题的关键是观察已知函数式中的角与所求函数式中的角的关系， 也就是这两个角的和（或差）是否为 的整数倍.若是，就可以运用诱导公式建立其 三角函数值之间的联系. 40 （利用互余、互补关系）给值求值问题的求解步骤 41 【变式题】 3.已知,则 ___. 【解析】利用诱导公式，可得 . 42 题型3 诱导公式的综合应用 1 与同角三角函数的基本关系式的综合 例11 (2025·山东省聊城市期末)若 为第二象限角，且 ，则 的值是( ) B A.4 B. C. D. 【解析】由，知 ， 原式 . 43 2 与三角形的综合 例12 在中，，试判断 的形状. 思路点拨 结合三角形的内角和定理和诱导公式，先将已知等式进行化简，再对三 角形的形状进行判断. 【解析】 ,， . 又, ， , . 又，为的内角， ， 故 为等腰三角形. 44 诱导公式在三角形中的应用 解决此类题目时注意隐含的条件，如在中， , ，另外， 三角形三个内角中至多有一个钝角、大边对大角等知识点在解题中也常常用到. 设，，是 的三个内角，则 ； ； ；（注意 不是直角） ； . 45 【变式题】 4.(2025·浙江省杭州四中期末)已知,,为 的三个内角，下列各式不成立的是 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意知，在中， . 对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D不正确． 46 新考法·思维创新 例13 新定义 数字黑洞 (2025·湖南省邵阳市第二中学期中)数字串2024，依次写出该 数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一 个新数字串，重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称这个反复 出现的数字串为“数字黑洞”.如果把这个数字串看作一个数，并将这个数设为 ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】数字串2024经过第一步之后为404，经过第二步之后为303，再变为123，再 变为123，123反复出现，所以 ，所以 . 47 高考考点分析 04 考情揭秘 利用诱导公式对三角函数式进行变形是高考考查的热点，一般与后面将要学习的三 角恒等变换综合命题.以选择题、填空题为主，试题难度中等偏下. 核心素养：数学运算（给值求值），逻辑推理（利用偶函数的定义求参数、利用诱 导公式变形）. 49 考向 诱导公式的应用 例14 (2023·全国甲卷)若为偶函数，则 ___. 2 【解析】 （定义法） 因为为偶函数，所以 ，即 ，即 ,即,得 . （特值法） 因为为偶函数，所以 ，即 ，得 . 50 例15 (2023·北京)已知命题若 , 为第一象限角，且 ,则 .能说 明为假命题的一组 , 的值为___， _________________. （答案不唯一） 【解析】取 ，，有 ，此时 ，不满足 ， 命题为假命题， 能说明命题为假命题的一组 ， 的值可以是 ， ． 51 高考新题型专练 1.新考法 新定义题 ［多选题］ (2025·山东省烟台市期末)在平面直角坐标系 中， 角 以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点 ， ，定义， ，则( ) ACD A. B. C. D. 52 【解析】对于A选项，根据题意及三角函数的定义可得 ， ，故A选项正确； 对于B选项，， 选项错误； 对于C选项，， 选项正确； 对于D选项，， 选项 正确．故选 ． 53 2.新考法结构不良(2025· 福建省三校协作体联考)在 ， ， 这三个条件中 任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题. 问题：已知 ___ ， 【答案】若选①，则，即 . 若选②，则 ， 即 ，即 ， . 若选③， ， 即 ， . 54 （1）求 的值； 【答案】 . 55 （2）当 为第三象限角时，求 的值. 【答案】当 为第三象限角时， ， 即 ， ， 即，解得 ， ， . 56 知识测评 05 建议时间：25分钟 1.(2025·湖南省娄底市期末)若，且 ，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】因为,且 ,所以 . 2.在中，,则 的值为( ) B A. B. C. D.2 【解析】， ， . 58 3.(2025·河北省邯郸市调研)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为 之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得 到．如下表为部分锐角的正弦值，则 的值为（小数点后保留2位有效数字） ( ) 59 A. B. C.0.36 D.0.42 【解析】 ． 续表 √ 60 4.(2025·四川省泸县第五中学开学考试)记,那么 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 ,则 , . 由，得 ， , . ， . . 61 5.［多选题］(2025·湖北省宜昌市期末)对于函数 其中,,,选取,,的一组值计算 ,所得出的正确结果可能是( ) AC A.4和6 B.3和2 C.2和4 D.1和2 【解析】,,则 , ,, ,所 以的结果应为偶数，故选 . 62 6.［多选题］(2025·河南省平顶山市期末)在平面直角坐标系中，若角 的终边与单 位圆交于点，将角 的终边按逆时针方向旋转后得到角 的终边， 记角 的终边与单位圆的交点为 ，则下列结论正确的为( ) ABD A. B. C. D. 【解析】由题意得， 为第一象限角，则， ， ，， ， 即点坐标为 ,可得A,B,D正确，C错误． 63 7.(2025·江苏省徐州市棠张中学月考)已知，且 为第三象限角，则 _ ___. 【解析】 . 为第三象限角， ， 为第四象限角， . . 64 8.（1）求值： . 【答案】因为，所以 . （2）求值： . 【答案】原式 . 65 （3）化简： . 【答案】 当为偶数时，设， , 原式 ; 当为奇数时，设， , 原式 综上可知，原式 . 66 因为 ， 所以 . 原式 . 高考模拟 06 建议时间：30分钟 9.(2025·吉林省长春市十一高中月考)已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴正半轴 重合，终边上一点坐标为，则 ( ) C A.3 B. C. D. 【解析】由已知可得， ，则 ． 69 10.新定义 广义互余 ［多选题］(2025·四川省南充市白塔中学月考)定义：角 与 都是任意角，若满足，则称 与 “广义互余”.已知 ，下 列角 中，可能与角 “广义互余”的是( ) ACD A. B. C. D. 70 【解析】，，，若 ， 则 . 对于A， 可能成立，角 可能与角 “广义互余”，故A 符合条件； 对于B，， 不可能等于 ，故 B不符合条件； 对于C，，即，又，故 ， 即C符合条件； 对于D，，，故D符合条件.故选 . 71 11.(2025·山东省枣庄市期末)如图7.2.4-1所示，在平面直角坐标系 中，一半径为1的 圆的圆心的初始位置在点处，此时圆上一点的位置在点处，圆在 轴上沿正 向滚动．当圆滚动到圆心位于点时，点 的坐标为____________________． 图7.2.4-1 72 【解析】如图D 7.2.4-1所示，由题意知 . 图D 7.2.4-1 圆的半径为1，，故 ， ， ． ， ． 点的坐标为 ． 73 12. ___, ____. 【解析】 , . 74 13.新考法 结构不良 在 ， , ， 的终边关于轴对称，并且 这三个条 件中任选一个，补充在下面问题中． 已知第四象限角 满足____，求下列各式的值． 75 【答案】选①， ， ， ． 选②， 是第四象限角，， ， 又， ， ，, ． 选③， 是第四象限角，，，又 ， 的终边关于 轴对 称， ， . ， ，即 ． （1） ； 【答案】 ． 76 （2） ． 【答案】 ． 77 14.(2025·重庆市南坪中学校月考)已知 是第三象限角，且 . （1）化简 ； 【答案】 . （2）若，求 ； 【答案】,即 ， 因为 是第三象限角，所以 ， 所以 . 78 （3）若，求 . 【答案】当时，因为 ，所以 . 79 谢谢观看 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 80 $