7.2.3 同角三角函数的基本关系式课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.2 任意角的三角函数 7.2.3 同角三角函数的基本关系式 第七章 三角函数 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 高考考向分析 06 高考模拟 05 知识测评 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 同角三角函数的基本关系式 1 同角三角函数的基本关系式 基本关系式 条件 语言描述 平方关 系 同一个角 的正弦值、余弦值 的平方和等于1 商数关 系 同一个角 的正弦值、余弦值 的商等于角 的正切值 6 知识剖析 对同角三角函数的基本关系式的理解 （1）同角三角函数的基本关系式中的角都是“同一个角”，而 不一定成立.“同角”与角的表示形式无关，如 也成立，这里的同角 是指 . （2） 是的简写，读作“ 的平方”，不能将 写成 ， 前者是 的正弦的平方，后者是 的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并 能正确书写.#1.1.1.2 . . 7 2 关系式的变形 特别提醒 使用变形公式 ，时，“”由角 的终边所在的象限确定，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题. 8 典例详解 例1-1 下列四个结论中成立的是( ) B A.且 B.且 C.且 D. 是第二象限角时， 【解析】根据同角三角函数的基本关系式进行验证，因为当 时， 且 ，所以B成立，易知A，C，D都不成立. 9 例1-2 [教材改编P23例1](2025·山东省德州市期中)已知 是第二象限角，且 ，则 的值是( ) D A. B. C. D. 【解析】 （通法） 为第二象限角， , . （优解） 由题意可设角 终边上的一点 ，则 . 10 重难拓展 知识点2 与 之间的关系 对进行恒等变形，若两边同时加上 可得到关系 式： ； . 若将上述两式相加可得到关系式： . 说明 POINT 已知，中的一个值，利用方程思想进一步可以求得 , 的值 11 发散探讨 如何确定 的符号？ 的符号的判定方法： 由三角函数的定义知，当角 的终边落在 直线上时， ，即 ；当角 的终边落在直线 的上半平面区域内时， ，即；当角 的终边落在直线 的下半平面区域 内时， ，即 ．如图7.2.3-1所示. 12 的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当角 的终边落在 直线上时， ，即；当角 的终边落在直线 的上半平面区域内时， ，即；当角 的终边 落在直线的下半平面区域内时，，即 .如图 7.2.3-2所示． 13 典例详解 例2-3 [教材改编P23例3]已知，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】由已知得 ，所以 . 14 例2-4 (2025·辽宁省沈阳市广全实验学校月考)设是 的一个内角，且 ,则这个三角形是( ) B A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】将两边同时平方得 ，又 ， . ,，，即 是钝角， 故这个三角形是钝角三角形. 15 题型解析 03 题型1 利用同角三角函数的基本关系式求值 1 已知某个三角函数值，求其余三角函数值 例5 若，则 的值为_______. 6或 17 【解析】因为（【易错点】此处易忽略对角 的终边所在象限的讨论， 从而直接认为】），所以 是第一或第二象限角. 当是第一象限角时， ， 所以 ； 当是第二象限角时， ， 所以 . . . 18 名师点评 在利用平方关系求值时，要注意正确选取开方后根号前面的符号，一般有 以下三种情况. （1）已知一个角的一个三角函数值及这个角的终边所在位置，此类情况只有一个解. （2）已知一个角的一个三角函数值，但该角的终边所在位置没有给出，解题时要先 根据已知的三角函数值确定这个角的终边所在的位置，然后求解，此类情况一般有 两个解. （3）已知一个角的一个三角函数值，但该数值是用字母给出的，此时既要对角的终 边所在的象限进行分类讨论，也要对表示该值的字母的正负进行分类讨论.另外，还 要注意该角的终边有可能落在坐标轴上. 19 已知某个三角函数值求其余三角函数值的方法 若已知角的正弦值（余弦值），求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号， 然后根据平方关系求出该角的余弦值（正弦值），再利用商数关系求解该角的正切 值即可. 注意：（1）利用变形公式或时,应依据角 的终边所在位置来确定等号右边式子的“”或“ ”. （2）熟记下面几组“勾股数”，有时可快速得到这类问题的答案： ， ，，，，，， ， . 20 2 弦化切求齐次式的值 母题 致经典·母题探究 例6 [教材改编P26练习B T2]已知 ，则 （1） ____; 【解析】 . （2） __; 【解析】 . 21 （3） ___. 1 【解析】 ， （注意“1”的妙用，这样便使得分子分母均为二次齐次式 ） 则有 . 22 思路点拨 思路一 由得 ,将该式代入分式可直接解出前两 小题； 思路二 注意到分式的分子和分母均是关于 , 的齐次式，由题意得 ，所以可将分子分母同时除以 的相关量，然后把 代入即可. 这里用思路二解答. 23 子题 子题1 (2025·辽宁省葫芦岛市期初)已知，则 ( ) A A. B.2 C. D.6 【解析】 , . （【关键点】注意结合 ,巧妙地将分子分母“齐次化”） 24 子题2 设，且，则 的值 是( ) C A. B.2 C. 或2 D.不存在 【解析】 ， , 即 ， 化简得 ， , , 即 , 解得或 . 25 弦化切求齐次式的值的方法 （1）已知角 的正切值，①求形如 的分式的值，可将分子、分母同时 除以 ；求形如 的分式的值，可将分子、分母同时除以 ，将正、余弦转化为正切，从而求值. ②求形如 的整式的值，可将整式看成分母为1的分式， 再将分母1变形为 ，转化为形如 的分式求解. （2）若已知由 和 构成的代数式（通常是分式或整式的齐次式）的值， 求角 的正切值，则用上述方法将等式化为关于 的方程求解即可. 26 【变式题】 1.(2025·甘肃省兰州市期末)已知3，，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】，，解得 ． 又， ， ，， ， ．故选D． 27 3 切化弦求值 例7 (2025·河南省平顶山市叶县高级中学期末)已知 ，且 ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】，且，两边同时除以 ， 可得，解得或 ， 或（舍去）. （结合 为第四象限角进行取舍） . . 28 当所给三角函数式同时含有正切与正（余）弦时，常将题干中的 化为 的形 式（切化弦），再进行计算. 29 4 利用 与 之间的关系求值 例8 [教材改编P23例3]已知，，则 ( ) A A. B. C. D.1 思路点拨 显性条件有两个：和 ，隐性条件为同角三角 函数的基本关系式，充分利用这些条件即可求得问题的解. 【解析】 因为，所以 .把 代入，整理得 ，即 ，从而，则，所以 . 30 令，则 ，代入 ，得到 ,，所以，整理可得 ，解得 ，即 . 由 ，得 ，于是，即 ，解 得 . 联想到“勾股数” “, ,2”，则有 令 ,,则 . 31 例9 根据已知条件，且 可以得到以下结论： （1）________； （2）________； （3）________. 本题的结论是开放的.由 可以得出的结论是多样的，为此 需明确方向,从同角三角函数的关系式入手. 32 【解析】因为，所以 ，则 ， 即 ； 此外注意到 ，因此 ②;由，且可知， ，从 而 ③；亦可将③式与条件联立得, ④;由④式可 得 ⑤. 从①②③④⑤中选择任何三个填上即可. 33 名师点评 对于此类结论开放型试题，在解题的过程中需先明确方向，然后顺着这个 方向进行探索，在探索过程中充分运用各种关系进行衍生，显然本题的求解方向为 同角三角函数之间的关系. 34 在处理 与 之间的关系的问题时，要牢记以下关系式： ； ； ; . 35 【变式题】 2.(2025·浙江省温州市期末)已知，且，则 ( ) D A. B. C. D. 36 【解析】由，得 ， 则 ， ， ， （由 范围确定 的符号） 则 ．故选D． . . 37 题型2 利用同角三角函数的基本关系式化简 1 根式型化简 例10 化简： （1），其中 是第二象限角； 【解析】因为 是第二象限角,所以, . 故 . 38 （2） . 【解析】,，，且 ，从而原式 . 39 2 高次型化简 例11 [教材改编P27 T4]化简: （1） ; 【解析】原式 （【扫清障碍】利用 分解因式.注意 ） . . . 40 （2） . 【解析】原式 . 41 化简三角函数式的技巧 三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，目的是使结果尽可能简单，也就是项数 尽可能少，次数尽可能低，函数种类尽可能少，式子中尽量不含根号，能求值的一 定要求值. 42 化简同角三角函数式的常用方法： （1）化切为弦，即把不是正、余弦的函数都化为正、余弦函数，从而减少函数种类， 达到化简的目的； （2）对于含有根号的，常把被开方数（式）化成完全平方数（式），然后去根号， 达到化简的目的; （3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解或构造 ，以 降低次数，达到化简的目的. 43 题型3 三角恒等式的证明 1 普通恒等式的证明 例12 求证： . 教材深挖 对教材例题证明方法的挖掘 本题所证等式是一个十分经典的三角恒等式，本题实际上是教材第24页【例5】的第 （3）小题，教材分别以作差法和从左向右推导的方法进行了证明，此处再列举几种 证明方法，体会一题多解的思想. 44 【解析】 因为右边分母为 ，故可将左边分式的分子分母同乘以 . 左边 右边.故原等式成立. 因为左边分母是 ，故可将右边分式的分子分母同乘以 . 右边 左边.故原等式成立. 45 只需证明左、右两边都与某个中间结果相等即可，为此，可先将它们的 分母变为相同. 因为左边 ， 右边 ， 所以左边 右边，故原等式成立. 证明内项积等于外项积. 因为 ， 所以 . 46 利用分析法逐步寻求等式成立的条件. 要证成立，只需证 ，即证 ，此式显然成立，故 成立. 47 利用同角三角函数的基本关系式证明三角恒等式的方法 三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有： （1）从左向右推导或从右向左推导，一般是由繁向简推； （2）左右归一，即证明左、右两边都等于同一个式子； （3）比较法，即证明“左边-右边”或“ ”； （4）化异为同法，即针对左、右两边式子的差异，有针对地变形，以消除差异； （5）变更命题法，如要证明，可证或证 等. 48 2 条件恒等式的证明 例13 已知，求证： . 49 【解析】由，可得，即 ， 故有 ， 即 ， 即 ， 展开得，即 . 50 条件恒等式的证明方法 含有条件的三角恒等式的证明方法与普通恒等式的证明方法基本相同，但应注意条 件的利用.证明的常用方法有：①直推法，从条件直推到结论；②代入法，将条件代 入到结论中，转化为三角恒等式的证明；③换元法. 51 【变式题】 3.已知,求证： . 【答案】设,,则 , . 由，得 , 即, , . 52 高考考向分析 04 考情揭秘 本节知识是后续学习的基础，解题关键是利用同角三角函数的基本关系进行化简、 求值、证明等.考查题型为选择题，题目简单. 核心素养：数学运算（利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值、证明）. 54 考向 利用同角三角函数化简、求值 例14 (2023·全国乙卷)若,,则 _ ____. 【解析】由且 ，解得 故 . 55 例15 (2023·全国甲卷)设甲:,乙: ,则( ) B A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】甲等价于 ，等价于 ，所以由甲 不能推导出乙，所以甲不是乙的充分条件；由，得 ， 两边平方可得 ，即 ，所以由乙可以推 导出甲，则甲是乙的必要条件. 56 例16 (2022·浙江)设，则“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由 可得， 当时， ，故充分性成立；（注意区分充分性与必要性） 当时， ，故必要性不成立. 所以“”是“ ”的充分不必要条件． . . . . 57 例17 (新高考全国Ⅰ卷改编)若，则 ( ) C A. B. C. D. 58 【解析】原式 . 59 高考新题型专练 1.［多选题］(2025·河南省周口市期末)已知，，且 ， ，下面选项正确的是( ) ACD A. B.或 C. D. 【解析】因为，，所以 ，因为 ，所以，解得或 ．因为 ，，经检验，当时， ，不合题意，所以 ，此时，，．故选 ． 60 2.［多选题］(2025·山东省德州市校际联考)已知， ，则 下列结论正确的是( ) ACD A. B. C. D. 61 【解析】因为，所以，又，所以 ， 所以可得 ，故A正确； 由，可得 ，则可得 ，所以 ，故D正确； 由解得所以 ，故B错误，C正确.故选 . 知识测评 05 建议时间：25分钟 1.(2025·甘肃省酒泉市期末)若，且 为第二象限角，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】因为 是第二象限角，所以 ，则 . 64 2.(2025·山东省威海市期中)已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合， 终边在直线上，则 ( ) A A. B. C.1 D.2 【解析】由已知易得，则 . 65 3.若，则 ( ) B A. B.2 C. D. 【解析】 由解得 ． ,,则 ，即 ， ，解得 ． 66 设，则 ，代入 ,得 ， , 又， , 整理可得,解得，即 ． 67 4.(2025·安徽省阜阳第一中学月考)已知，，若 是第二象限 角，则 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】，， ， 解得或 为第二象限角，，, ， ，， ． 68 5.［多选题］若 是第二象限的角，则下列各式中成立的是( ) BC A. B. C. D. 【解析】由同角三角函数的基本关系式，知 ，所以A错误； ，因为 是第二象限角，所 以,，所以原式 ，所以B正确； 是第二象限角， 所以,，所以有 ，所以C正确； ，但是 是第二象限角， 符号不确定，所以D错误.故选 . 69 6.(2025·福建省闽南师范大学附属中学月考)若， ， 则 ___. 1 【解析】，，， , , . 7.已知,则 ___. 2 【解析】,,解得 , . 70 8.（1）化简： ； 【答案】原式 . 71 （2）求证： . 【答案】 左边 右边. 所以原等式成立. 左边 ， 右边 . 故左边 右边，所以原等式成立. 72 令, . 则,即 . 故左边 右边. 所以原等式成立. 73 高考模拟 06 建议时间：30分钟 图7.2.3-1 9.新情境 黄金分割 (2025·河南省信阳市期末)随着智能手机 的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照 片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉 更自然、更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式， 是指把画面横、竖各分三部分，以比例 为分隔， B A. B. C. D. 4个交叉点即为黄金分割点．如图7.2.3-1，分别用，，， 表示黄金分割点,若照 片长、宽比例为，设 ，则 ( ) 75 【解析】依题意，所以 ，所以 . 76 10.已知，，记数的取值集合为，若 ， ，则以点 为顶点的平面图形可以是( ) A A.正方形 B.五边形 C.三角形 D.线段 【解析】将与联立，解得, 或,,则或，即,，故点 可 以是，,， ，则以这四个点为顶点的平面图形是 一个正方形. 77 11.新定义 对偶不等式 ［多选题］(2025·广东省广州市海珠中学月考)定义：关于 的两个不等式和的解集分别为和 ，则称这两个不等式为 对偶不等式.如果不等式与不等式 为 对偶不等式，且，则 ( ) AD A. B. C. D. 78 【解析】因为不等式与不等式 为对 偶不等式，所以可设不等式的对应方程两个根为， ，则 不等式对应方程的两个根为，，所以， ，，，故 ，即 .因为，，所以或，所以 或 .故答案为 . 79 12.［易错题］已知 ，，则__， ____． 【解析】因为，所以 ，所以 注意不要通过除以来求解 ，因为此时求出的 的值有两个负值，还需进行取舍 ， 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ． 又，所以， ， 所以 ． . . 80 13.新情境 人脸识别 (2025·江苏省南通中学月考)人脸识别技术应用在各行各业，改 变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图象，并从中 提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之 间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距 离．假设二维空间两个点， ，曼哈顿距离 ． 余弦相似度： ． 余弦距离： ． 81 （1）若，，，求，之间的 和余弦距离； 【答案】因为，， ， 所以 ， ， 所以余弦距离等于 ． 82 （2）已知，， ， ，若，，求 的值． 【答案】由 ，可得 ， 同理，由，可得 ， 故 ， 则 ，可得 ． 83 14.(2025·山东省济南第九中学月考)已知 , 是关于 的方程 的两个根，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意可知,, , ，解得 或 ， , 是关于的方程 的两个根， ,解得或, . 故 . 84 谢谢观看 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 85 $