7.2.1 三角函数的定义 7.2.2 单位圆与三角函数线课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.2 任意角的三角函数 7.2.1 三角函数的定义 7.2.2 单位圆与三角函数线 第七章 三角函数 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 任意角的正弦、余弦与正切的定义 1 锐角三角函数的坐标解释 图7.2.1-1 当 是锐角时，它的终边在第一象限内.如图7.2.1-1所示，在 终边上任取一个不同于坐标原点的点，作垂直 于 点，记,则 是一个直角三角形，且 ，，，由此可知 ， ， . 6 2 任意角的三角函数的定义 图7.2.1-2 如图7.2.1-2所示，设是任意角 终边上异于原点的任 意一点， . 说明 定义 定义域 正弦 余弦 正切 , 7 温馨提示 对任意角的三角函数的理解 （1）三角函数值是比值，是一个实数，由相似三角形的性质可知，三角函数值 的大小与点在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关. （2）要明确 是一个整体，而不是与 的积，如同表示自变量为 的函数一样，离开 的“”“”“ ”等是无意义的. （3）因为， ，根据正弦函数、余弦函数的定义，我 们可以得到正弦函数、余弦函数的值域为 .#1.3.4 8 典例详解 例1-1 [教材改编P16例3]求 角的正弦值、余弦值和正切值. 图7.2.1-5 【解析】如图7.2.1-5，在平面直角坐标系中作出 角，在其终 边上取一点，使，作垂直于 轴， 垂足为点，则 . 在（等腰直角三角形）中， ， 所以点的坐标为 . 所以，， . . . . . 9 【归纳总结】 部分特殊角的三角函数值 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 不存在 0 不存在 此表是学习三角函数的基础，必须熟记，但不要硬背，要抓住三角函数的定义及这 些特殊角之间的关系，结合三角函数值在各象限的符号记忆. 10 知识点2 正弦、余弦与正切在各象限的符号 图7.2.1-3 三角函数值的符号是根据三角函数的 定义和各象限内点的坐标的符号得出 的．由于原点到角的终边上任意一点的距 离 总是正值，所以三角函数值的符号分 别由,, 确定，各三角函数在每个象限的 符号如图7.2.1-3所示. 11 特别提醒 三角函数在各象限的符号可简记为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”， 即第一象限内各三角函数值的符号均为正；第二象限内正弦值为正；第三象限内正 切值为正；第四象限内余弦值为正．注意该口诀仅适用于判断终边在四个象限中的 角的三角函数值的符号，对于终边落在坐标轴上的角的三角函数值的符号，可根据 三角函数的定义判断. 12 典例详解 例2-2 [教材改编P17例4]确定下列各值的符号. （1） ； 【解析】因为 为第三象限角，所以 . （2） ； 【解析】因为 是第四象限角， 所以 . 13 （3） ； 【解析】因为 （注意区分弧度与角度）为第二象限角， 所以 . （4） . 【解析】 . . . 14 例2-3 [教材改编P17例5](2025·江西省乐平中学期中)已知且 ，则角 的终边所在的象限是( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】根据三角函数的定义，, , ，， ， 的终边在第三象限． 15 知识点3 单位圆与三角函数线 1 单位圆 一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足 的点组成的集合称为单位 圆（单位圆是以坐标原点为圆心，1为半径的圆）. 图7.2.1-4 如图7.2.1-4,当角 的终边与单位圆的交点为 时， ，此时，， .因此 我们也可以用单位圆上点的坐标表示三角函数值. . . . . 16 2 三角函数线 设角 的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点 ， 过点作垂直于轴于 ． 由三角函数的定义知点，其中, ,设单 位圆与轴的正半轴交于点，单位圆在点的切线与 的终边或其反向延长线相交 于点，则．我们称,,分别为 的余弦线、正弦线、正切 线．#1.1 17 各象限内的三角函数线如下表所示：#1.2 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 图形 （由三角函数线可以看出，正弦函数、余弦函数的值域为 ，正切函数的值域 为 ）#1.2.2 18 典例详解 例3-4 [教材改编P21 T1]作出 的正弦线、余弦线和正切线. 图7.2.1-6 【解析】在直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图 7.2.1-6，以轴的正半轴为始边作的终边，与单位圆交于点 ， 作轴于点，过单位圆与轴正方向的交点作 轴的垂线, 与的终边的反向延长线交于点，则,,分别为 的正弦 线、余弦线、正切线. 19 总结 三角函数线的特征 （1）位置：两条在以坐标原点为圆心的单位圆内，一条在以坐标原点为圆心的单位 圆外. （2）方向：正弦线由原点指向轴上的垂足；余弦线由原点指向 轴上的垂足；正切 线由切点指向切线与 的终边或其反向延长线的交点. （3）书写：起点（比如点）在前，终点（比如点）在后，写为 . 20 题型解析 03 题型1 任意角的三角函数值 例5 [教材改编P15例1]已知角 的终边经过点，，则__, ___, _ __. 【解析】因为 （要牢记特殊角的三角函数值）， 所以角 的终边经过点， ， 又，所以点 位于单位圆上， 所以,, ． . . 22 例6 [教材改编P18练习B T5]已知角 的终边落在直线上，求 ， , 的值. 思路点拨 先确定角 终边上一个点的坐标，然后利用三角函数的定义求得 ， , 的值. 23 【解析】 角 的终边落在直线（【扫清障碍】角 的终边为射线，因此 要对角 终边的位置进行分类讨论）上， 角 的终边落在第二象限或第四象限（注意直线经过两个象限）. 若角 的终边落在第二象限，则可取其上一点， ， ， , ; 若角 的终边落在第四象限，则可取其上一点， ， ， , . . . . . 24 名师点评 （1）根据角的终边上一点的坐标可确定角的终边所在的象限.（2）要正 确理解角的终边在直线上的意义，因为角的终边是射线，所以可能出现两种情况， 解题时要注意分类讨论. 例7 已知角 以坐标原点为顶点，以 轴的非负半轴为始边，终边经过点 ，且，则实数 的值是( ) A A.2 B. C. D. 【解析】因为角 终边经过点，且 ，所以 ， 可得 （注意隐含条件）， 整理可得，解得或 （舍去）． . . 25 变式 已知角 的终边经过点，且，则实数 的取值范 围是________. 给什么得 什么 已知点，且 ，由正、余弦函数在各象限 符号可知点 在第二或第四象限. 求什么想 什么 求实数的取值范围，想到要建立关于 的不等关系. 差什么找 什么 由点在第二、第四象限，得，解得 ， 故的取值范围为 . 易错警示 如果变式中的条件为 ，那么要注意“等号”（轴线角）的情 况，所以掌握三角函数的定义是解决该问题的关键. 26 任意角的三角函数值的求解方法 （1）若已知角，只需确定出该角的终边上一点的坐标，即可求出各三角函数值； （2）若已知角 终边上一点 是以坐标原点为圆心的单位圆上的点， 则,, ； （3）若已知角 终边上一点 不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点， 先求，则，， ; （4）若角 终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论. 27 【变式题】 1.(2025·江西省上饶市第一中学月考)已知角 的终边过点 ,则 的值是( ) C A.1 B. C. D. 【解析】因为角 的终边过点 ,所以 为坐标原点 ， 所以, , 所以 . 28 题型2 三角函数值的符号 1 判断三角函数值的符号 例8 判断下列各式的符号： （1） ; 【解析】 是第二象限角, . 是第三象限角, . . （2） . 【解析】, . ,, . 29 名师点评 判断三角函数值的和、差、积、商的符号，首先应准确确定相关角的终边 所在的象限，其次需确定各三角函数值的符号，最后利用四则运算法则求解. 30 2 由三角函数值的符号判断角的终边所在象限 例9 (2025·河南省洛阳市强基联盟联考)若，且，则角 是 ( ) C A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】由可知 , 异号，则 为第二或第三象限角. 由可知 , 异号，则 为第三或第四象限角. 综上可知， 为第三象限角. 31 3 利用三角函数值的符号求值 例10 ［多选题］(2025·黑龙江省大庆实验中学期末)已知, ，则函 数 的值可以为( ) BD A. B.3 C.1 D. 32 【解析】当为第一象限角时，,, 均为正值， . 当为第二象限角时，为正值，, 为负值， . 当为第三象限角时，，为负值, 为正值， . 当为第四象限角时，，为负值, 为正值， . 综上，的值可以为 ,3. 33 对于确定角 是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后 依据三角函数值的符号来确定角 是第几象限角；对于已知角 的终边所在的象限 来判断角 的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全 正，二正弦，三正切，四余弦”来处理. 34 【变式题】 2.___0.（填“ ”“”或“ ”） 【解析】由于, , ,2, 的终边分别在第三、二、一象限， ,， , . 35 3.(2025·湖北省八校期末)设 是第四象限角，则点 在( ) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】根据题意，令 ，由 是第四象限角， 得，即，则， ， 即点的横坐标小于0，纵坐标大于0，故点 在第二象限． 36 题型3 三角函数线的应用 1 比较三角函数值的大小 例11 [教材改编P21探索与研究]若，试比较 , 与 的大小. 图7.2.1-7 【解析】如图7.2.1-7所示，设角 的终边与单位圆交于点 ，单 位圆与轴正半轴的交点为，过点作,垂足为点 ，过 点作垂直于轴，交的延长线于点，则,分别为 的正切线、正弦线， 角 对应的弧的长度 . 由图可知 ， （该结论及其变形在后续学习中经常遇到,需 要重视）. . . 37 利用三角函数线比较三角函数值的大小的步骤 （1）确定角的终边的位置，作出对应的三角函数线； （2）观察三角函数线的方向，确定对应三角函数值的正负； （3）比较三角函数线的大小，确定对应三角函数值绝对值的大小； （4）结合三角函数线的大小和方向，确定三角函数值的大小. 38 【变式题】 4.把，，， 由小到大排列为____________________________ ___. 39 【解析】如图D 7.2.1-1所示，在平面直角坐标系中,以 为圆心作单位圆， 图D 7.2.1-1 40 单位圆交轴正半轴于点，分别作出角,,,终边分别交单位圆于点，， ， 过点，，分别向轴引垂线，交轴于，，.过点作轴的垂线交角 的 终边于点 . 则， ， ， ． 而， ， ． 2 解三角不等式 例12 利用单位圆中的正弦线、余弦线、正切线求 的取值范围: （1） ； 图7.2.1-8 【解析】如图7.2.1-8,画出单位圆，作 轴的平行线：直线 ,交单位圆于,两点，作射线,,分别过点, 作轴的垂线，，在内， ， 由图可知，满足条件的角 的终边在图中阴影部分 （包括边界）内，故所求的 的取值范围为 , . 42 （2） . 图7.2.1-9 【解析】如图7.2.1-9，过单位圆与轴正半轴的交点作 轴的 垂线，在垂线上取一点，使得，此时终边落在直线 上的角的正切值为 . 在内， ， 由图可知，满足条件的角 的终边在图中阴影部分（不包括边 界）内， 故所求的的取值范围是 , . 43 44 解形如或 的三角不等式时,在平面直角坐标系及单位圆中,标出满 足的角的终边（若为,则角的终边是直线 与单位圆的两个交点与 原点的连线所在的射线；若为,则角的终边是直线 与单位圆的两个交点与 原点的连线所在的射线；若为 ,则角的终边与角的终边的反向延长线表示的正切 值相同）,根据三角函数值的大小,找出 在 内的取值,结合图形求解即可. 说明：在后续学习过三角函数的性质后，常利用性质求解三角不等式. 45 【变式题】 5.若，且，，利用三角函数线，得到 的取值范围是 _ _____. 图D 7.2.1-2 【解析】如图D 7.2.1-2所示单位圆，由于， ， 若终边为，且，则 ， ，所以 的取值范围是 . 46 3 利用三角函数线证明 例13 若，试证明 . 【解析】 （利用定义） 设是角 终边上任一点（不同于原点）， ， 则 . ，, . , , . 47 图7.2.1-10 （利用三角函数线） 如图7.2.1-10，，分别为 的正弦线、余弦线， . 在中，有， ， . 48 考情揭秘 本节知识是后续学习的基础，高考主要考查对三角函数值符号的判断.考查题型主要 为选择题，试题难度简单. 核心素养：逻辑推理（三角函数值的符号的判断）. 49 考向 三角函数值的符号 例14 (全国Ⅱ卷)若 为第四象限角，则( ) D A. B. C. D. 【解析】 （通性通法） 由题意，知 ，所以 ，所以或， ，故选D． （优解） 当时，， ，排除A，B，C，选D． 50 命题探源 本题取材于教材第18页【练习A】第5题,主要考查三角函数值的符号及 象限角的概念. 素养探源 素养 考查途径 逻辑推理 由 是第四象限角推断角 所在象限，由此 推断出 ， 的符号. 51 变式探源 (新课标全国卷Ⅰ)若 ，则( ) C A. B. C. D. 【解析】因为，所以 为第一或第三象限角，即 或 ， . 那么 或 ， . 所以 为第一或第二象限角或终边在轴的正半轴上的角，从而 . 52 高考新题型专练 1.[多选题](2025·广东省18校期末)若 为第一象限角，则下列不一定为正值的是 ( ) BCD A. B. C. D. 【解析】由题意得, , ,或.易得, 是第一或第三 象限角，可正可负，可正可负，故选 . 53 2.[多选题]已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终 边落在直线上，则 的值是( ) AC A. B. C. D. 【解析】记为坐标原点.若终边与射线 重合，取终边上一点 ，则 ， 故, ， 故 . 若终边与射线重合，取终边上一点，则 ，故 , ， 故 . 54 知识测评 04 建议时间：25分钟 1.(2025·上海市同济中学月考)已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴 重合，终边过点，则 ( ) C A. B.2 C. D. 【解析】由正切函数的定义可得 . 56 2.,, 的大小关系为( ) C A. B. C. D. 【解析】易知 ,在单位圆中，作出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察 它们的长度，则有 ． 3.(2025·吉林省长春市期末)已知，则点 所在的象限是( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】,, 为第二象限角，， ，故点 在第四象限. 57 图7.2.1-1 4.在平面直角坐标系中，角 , 终边与单 位圆的交点分别为， （如图7.2.1-1 （1）），将绕原点 顺时针旋转角 ，得到 （如图7.2.1-1（2））， 则点 的坐标为( ) D A. B. C. D. 【解析】点是的终边与单位圆的交点，又 ，根据 三角函数定义，得点的坐标为 ．故选D． 58 5.［多选题］若，则角 是( ) BD A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】 与 在第二或第四象限异号，故角 是第二或第四象限角. 设角 终边上一点的坐标为，该点到原点的距离为 ，则 ，即，所以角 终边上点的横、纵坐标异号，故角 是 第二或第四象限角. 6.已知角 的终边经过点，其中,则 __. 【解析】,,, 点 到原点的距离 , . 59 7.已知角 的终边过点,且,则的值为__, ____． 【解析】因为角 的终边过点,所以为坐标原点 ,因 为,所以,所以,角 是第三象限角,所以 , . 8.已知角 的终边在函数的图象上，求 ， ， 的值． 【答案】 角 的终边在函数 的图象上， 在角 的终边上任意取一点，则 ， 可得，， ． 60 高考模拟 05 建议时间：30分钟 9.(2025·福建省福州市期末)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的正半轴重合， 终边上一点，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意可得 ，，则 ，所以 ，所以,整理可得 ， 解得或（舍），所以.所以 . 62 10.若 ,且不等式 和 成立，则角 的取值范围 是( ) B A. B. C. D. 【解析】由三角函数线知，在内使 的角 ,使 的角 , 故 的取值范围是， . 63 11.新定义 正余混弦 (2025·福建省长乐第一中学月考)平面直角坐标系中，设角 的 终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，规定：比值 称为 的正余混弦，记作 ．若,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意得 , ， 且,即,且，解得.故 . 64 12.［多选题］(2025·湖北省随州市部分高中联考)在平面直角坐标系中，角 以 为始边，终边经过点 ，则下列各式的值一定为负的是( ) BC A. B. C. D. 【解析】, 为第四象限角,则, ， 不确定正负，,, ,故 选 . 65 13.在平面直角坐标系中,已知函数,且 的图象过定点 ,且角 的终边过点,始边是轴正半轴,则 的值 为____. 20 【解析】令,得,代入函数解析式求得 ,所以函数 的图象恒过定点.因为角 的终边过点,所以 , ，所以 . 66 14.已知 为锐角，求证： （1） ; 【答案】设单位圆与轴，轴的正半轴分别交于,两点，角 的终边与以坐标原 点为圆心的单位圆交于点 . 如图D 7.2.1-1，连接,,,过点作，,， 分别为垂足. , , , , 67 ,又四边形在扇形 内， ，即 , . 又,即, . 68 （2） . 【答案】在图D 7.2.1-1中，,,, . 图D 7.2.1-1 函数在 上单调递减， , , . , . 69 谢谢观看 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 70 $