6.4.2向量在物理中的应用举例 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.2向量在物理中的应用举例 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为（ ） A．7 B．10 C．14 D．70 2．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为（ ） A．10 N B．5 N C．10 N D．5 N 3．点P在平面上以速度v＝(－2，3)作匀速直线运动，若4秒后点P的坐标为(－5，16)，则点P的初始坐标为（ ） A．(3，13) B．(3，4) C．(－7，19) D．(－13，28) 4．已知F1＝i＋3j，F2＝3i－4j，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，若F1，F2共同作用于一物体，使物体从点M(3，－2)移到点M′(4，7)，则合力所做的功为（ ） A．－5 B．5 C．－13 D．13 5．某人在高为h米的楼上水平抛出一石块，速度为v，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是（ ） A．v B．|v| C．v D．|v| 6．某学生体重为m kg，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为mg N(重力加速度大小为g)，如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（ ） A． B． C． D． 7．（多选）在水流速度为10 km/h的自西向东的河中，如果要使船以10 km/h的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（ ） A．北偏西30° B．北偏西60° C．20 km/h D．30 km/h 8．（多选）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为α，下列结论中正确的是（ ） A．当α＝时，|F1|＝|G| B．当α＝时，|F2|＝ C．当α＝时，|F1|有最小值 D．α越小越省力，α越大越费力 二、填空题 9．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝10 N，则物体的重力大小为__________ N． 10．一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功W＝250 J，则F与s的夹角等于________． 11．已知力F1，F2，F3满足|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，且F1＋F2＋F3＝0，则|F1－F2|＝________． 三、解答题 12．（14分）质量m＝2．0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力|F|＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2．0 m的距离．(g＝9．8 N/kg) （1）分别求物体所受各力对物体所做的功； （2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？ 13．（14分）两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为sA＝(4，3)，sB＝(2，10)． （1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s； （2）计算s在sA上的投影向量． 14．（15分）一条河南北两岸平行．如图所示，河面宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．游船在静水中的航行速度是v1，水流速度v2的大小为|v2|＝4 km/h．设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸上的点A′在点A的正北方向． （1）若游船沿AA′到达北岸A′点所需时间为6 min，求v1的大小和cos θ的值； （2）当θ＝60°，|v1|＝10 km/h时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 6.4.2向量在物理中的应用举例 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为（ ） A．7 B．10 C．14 D．70 解析：D　F做的功为F·s＝10×14×cos 60°＝10×14×＝70． 2．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为（ ） A．10 N B．5 N C．10 N D．5 N 解析：A　如图所示，可得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，且||＝||，所以△AOC，△COB为等边三角形，所以||＝||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N． 3．点P在平面上以速度v＝(－2，3)作匀速直线运动，若4秒后点P的坐标为(－5，16)，则点P的初始坐标为（ ） A．(3，13) B．(3，4) C．(－7，19) D．(－13，28) 解析：B　设点P的初始坐标为(x，y)，因为点P在平面上以速度v＝(－2，3)作匀速直线运动，若4秒后点P的坐标为(－5，16)，可得解得即点P的初始坐标为(3，4)． 4．已知F1＝i＋3j，F2＝3i－4j，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，若F1，F2共同作用于一物体，使物体从点M(3，－2)移到点M′(4，7)，则合力所做的功为（ ） A．－5 B．5 C．－13 D．13 解析：A　因为F1＝i＋3j，F2＝3i－4j，M(3，－2)，M′(4，7)，所以F1＝(1，3)，F2＝(3，－4)，＝(1，9)，所以(F1＋F2)·＝(4，－1)·(1，9)＝－5．故选A． 5．某人在高为h米的楼上水平抛出一石块，速度为v，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是（ ） A．v B．|v| C．v D．|v| 解析：B　设石子的落地时间为t，则gt2＝h，解得t＝，所以石子落地点与抛出点的水平位移的大小|s|＝|v|t＝|v| ． 6．某学生体重为m kg，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为mg N(重力加速度大小为g)，如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（ ） A． B． C． D． 解析：B　由题意，当该学生两只胳膊的拉力最大时，他两只胳膊的夹角最大，不妨设为θ，θ∈(0，π)，设此时两只胳膊的拉力为F1，F2，则|F1|＝|F2|＝mg N，则|F1＋F2|＝mg，即有|F1＋F2|2＝(mg)2，所以F＋F＋2F1·F2＝(mg)2，即(mg)2＋(mg)2＋2××(mg)2×cos θ＝(mg)2，故cos θ＝，故θ＝，故选B． 7．（多选）在水流速度为10 km/h的自西向东的河中，如果要使船以10 km/h的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（ ） A．北偏西30° B．北偏西60° C．20 km/h D．30 km/h 解析：AC　如图所示，设||＝10，||＝10，所以||＝＝20，而tan ∠CBA＝，所以∠CBA＝60°，即船出发时行驶速度的大小为20 km/h，方向为北偏西30°． 8．（多选）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为α，下列结论中正确的是（ ） A．当α＝时，|F1|＝|G| B．当α＝时，|F2|＝ C．当α＝时，|F1|有最小值 D．α越小越省力，α越大越费力 解析：AD　由题意可得|G|＝|F1＋F2|，则|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|×|F2|×cos α＝2|F1|2(1＋cos α)，解得|F1|2＝．对于A：当α＝时，|F1|2＝＝|G|2，故A正确；对于B：当α＝时，|F1|2＝＝|G|2，即|F2|＝|G|，故B错误；对于C：|F1|2＝，因为y＝cos α在(0，π)内单调递减，则|F1|2＝在(0，π)内单调递增，所以α越小越省力，α越大越费力，且|F1|2无最小值，故C错误、D正确． 二、填空题 9．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝10 N，则物体的重力大小为__________ N． 答案：10 解析：一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力|G|＝|F1＋F2|，因为F1，F2与水平夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝10 N，由向量加法的平行四边形法则可知F1＋F2的方向是竖直向上的，且|F1＋F2|＝2|F1|sin 45°＝2×10×＝10，所以物体的重力大小为10 N． 10．一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功W＝250 J，则F与s的夹角等于________． 答案： 解析：设F与s的夹角为θ，由＝F·s，得250＝10×50×cos θ，解得cos θ＝． 又θ∈[0，π]，∴θ＝． 11．已知力F1，F2，F3满足|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，且F1＋F2＋F3＝0，则|F1－F2|＝________． 答案： 解析：由题意，如图，在等边三角形ABC中，可令F1＝，F2＝，F3＝，所以|F1－F2|＝＝＝ ＝． 三、解答题 12．（14分）质量m＝2．0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力|F|＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2．0 m的距离．(g＝9．8 N/kg) （1）分别求物体所受各力对物体所做的功； （2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？ 解：（1）木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力N，如图所示． 拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)； 支持力N与位移方向垂直，不做功，所以WN＝N·s＝0；重力G对物体所做的功为WG＝G·s＝|G||s|cos (90°＋θ)＝mg·|s|cos (90°＋θ)＝－19．6(J)． （2）物体所受各力对物体做功的代数和为W＝F＋WN＋WG＝0．4(J)． 13．（14分）两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为sA＝(4，3)，sB＝(2，10)． （1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s； （2）计算s在sA上的投影向量． 解：（1）s＝sB－sA＝(2，10)－(4，3)＝(－2，7)． （2）设s与sA的夹角为θ， 则cos θ＝， 所以s在sA上的投影向量为|s|cos θ·＝·＝·sA＝·(4，3)＝． 14．（15分）一条河南北两岸平行．如图所示，河面宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．游船在静水中的航行速度是v1，水流速度v2的大小为|v2|＝4 km/h．设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸上的点A′在点A的正北方向． （1）若游船沿AA′到达北岸A′点所需时间为6 min，求v1的大小和cos θ的值； （2）当θ＝60°，|v1|＝10 km/h时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 解：（1）设游船的实际速度为v． 由AA′＝1 km，6 min＝0．1 h，得|v|＝10 km/h，|v2|＝4 km/h． 由|v1|2＝|v|2＋|v2|2＝102＋42＝116，得|v1|＝2 km/h， cos θ＝－＝－． 所以v1的大小为2 km/h，cos θ的值为－． （2）当θ＝60°，|v1|＝10 km/h时，设到达北岸B点所用时间为t h，作出向量加法示意图如图所示，由向量数量积运算得 2＝|tv|2＝t2(v1＋v2)2＝t2(102＋42＋2×10×4×cos 60°)＝156t2，所以AB＝2t． 在Rt△AA′C中，t|v1|cos 30°＝1，从而t＝ h． 所以AB＝×2＝． 故游船的实际航程为 km． 学科网（北京）股份有限公司 $