6.4.1平面几何中的向量方法 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.1平面几何中的向量方法 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．在四边形ABCD中，若＝－，则四边形ABCD为（ ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 2．在△ABC中，若·＝－5，则△ABC的形状一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 3．在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足＋2＝0，若·＝，则BC的值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 4．在△ABC中，＋＝0，·＝，则△ABC的形状为（ ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰(非等边)三角形 5．在△ABC中，动点P满足2＝2－2·，则点P轨迹一定通过△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．已知非零向量与满足·＝0，且2＝·，则△ABC为（ ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 7．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记P(a，b)．若斜坐标系中，x轴正方向和y轴正方向的夹角为，则该坐标系中M(2，2)和N(4，1)两点间的距离为（ ） A．2 B．1 C． D． 8．（多选）已知AB，CD为圆O的直径，P为圆O内一点，AB＝2，∠PCD＝45°，则（ ） A．＋＝＋ B．·＝· C．|＋|≥2 D．·的最大值是1 二、填空题 9．在△ABC中，O为其外心，2＋2＋＝0，若BC＝2，则cos ∠COB＝________． 10．已知AD为△ABC的边BC上的中线，O为△ABC的重心且AD＝3，BC＝2，则·＝________． 三、解答题 11．（13分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F，G分别是AD，BC的三等分点．设＝a，＝b． （1）用a，b表示，． （2）如果|b|＝|a|，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 12．（13分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝，D是BC边上的中点，CE⊥AB，AD与CE交于点F． （1）求CE和AD的长度； （2）求cos ∠CFD． 13．（13分）如图，已知△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，点I是△ABC的内切圆圆心(即△ABC三条内角平分线的交点)，直线AI与BC交于点D． （1）设＝m＋n，求m和n的值； （2）求线段AI的长． 6.4.1平面几何中的向量方法 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．在四边形ABCD中，若＝－，则四边形ABCD为（ ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 解析：B　在四边形ABCD中，若＝－，则AB∥CD，且AB＝CD，所以四边形ABCD是梯形． 2．在△ABC中，若·＝－5，则△ABC的形状一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解析：D　在△ABC中，因为·＝－5<0，所以A为钝角，所以△ABC一定是钝角三角形． 3．在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足＋2＝0，若·＝，则BC的值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 解析：C　如图，取BC中点O，连接AO，∵＋2＝0，即＝2，∴M为BC边上靠近点C的三等分点．∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴·＝0，又＝，∴·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||2＝，∴||＝2，即BC的值为2． 4．在△ABC中，＋＝0，·＝，则△ABC的形状为（ ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰(非等边)三角形 解析：D　因为＋＝0，所以·＋·＝0，所以·(＋)＝0，所以(－)·(＋)＝0，所以2＝2，即BC＝BA，又·＝1×1×(－cos B)＝，所以cos B＝－，所以B＝，所以△ABC为等腰(非等边)三角形． 5．在△ABC中，动点P满足2＝2－2·，则点P轨迹一定通过△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：A　因为2＝2－2·，所以2·＝2－2＝(－)·(＋)＝·(＋)，所以·(2－－)＝·(＋)＝0，设AB的中点为E，则＋＝2，则·2＝0，所以⊥，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过△ABC的外心． 6．已知非零向量与满足·＝0，且2＝·，则△ABC为（ ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：C　由2＝·，得·(－)＝0，得·(＋)＝0，得·＝0，所以AB⊥AC．因为·＝0，所以·(－)＝0，所以－＋－＝0，所以－||＋||＝0，即||＝||，所以△ABC为等腰直角三角形． 7．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记P(a，b)．若斜坐标系中，x轴正方向和y轴正方向的夹角为，则该坐标系中M(2，2)和N(4，1)两点间的距离为（ ） A．2 B．1 C． D． 解析：D　设与x轴方向相同的单位向量为e1，与y轴方向相同的单位向量为e2，则＝2e1＋2e2，＝4e1＋e2，则＝－＝－2e1＋e2，所以||2＝(－2e1＋e2)2＝4e＋e－4e1·e2＝4＋1－4×cos ＝5－2＝3，所以M，N两点间的距离为，故选D． 8．（多选）已知AB，CD为圆O的直径，P为圆O内一点，AB＝2，∠PCD＝45°，则（ ） A．＋＝＋ B．·＝· C．|＋|≥2 D．·的最大值是1 解析：ABD　因为AB，CD为圆O的直径，所以O是AB，CD的中点，所以＋＝2，＋＝2，因此选项A正确；·＝(＋)·(＋)＝－2＋(＋)·＋·，因为O是AB的中点，AB，CD为圆O的直径，所以＋＝，AC⊥CB，于是·＝－2＋(＋)·＋·＝－2＋·＝·(－)＝·，所以选项B正确；由||<＝，所以有|＋|＝2||<2，因此选项C不正确；设||＝t，·＝－2＋·＝－t2＋2t×＝－(t－1)2＋1，所以·的最大值是1，因此选项D正确．故选ABD． 二、填空题 9．在△ABC中，O为其外心，2＋2＋＝0，若BC＝2，则cos ∠COB＝________． 答案：－ 解析：由2＋2＋＝0可得－2＝2＋，平方可得42＝42＋2＋4·，由于O为△ABC外心，所以||＝||＝||＝r，所以4r2＝4r2＋r2＋4r·r cos ∠BOC⇒cos ∠BOC＝－． 10．已知AD为△ABC的边BC上的中线，O为△ABC的重心且AD＝3，BC＝2，则·＝________． 答案：－4 解析：∵O为△ABC的重心且AD＝3，∴OD＝1，∵＋＝2，－＝2，将两式平方再相减，得·＝2－2＝2－＝1－()2＝－4． 三、解答题 11．（13分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F，G分别是AD，BC的三等分点．设＝a，＝b． （1）用a，b表示，． （2）如果|b|＝|a|，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 解：＝－＝－＝b－a； ＝＋＝＋＝＋＝a＋b． （2）EF⊥EG．证明如下： 由（1）知，＝b－a，＝b＋a， ∴·＝·＝b2－a2＝×|a|2－|a|2＝0． ∴⊥，∴EF⊥EG． 12．（13分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝，D是BC边上的中点，CE⊥AB，AD与CE交于点F． （1）求CE和AD的长度； （2）求cos ∠CFD． 解：（1）∵CE是高，∴∠AEC＝，在Rt△AEC中，AC＝2，∠EAC＝， ∴CE＝AC sin ∠EAC＝2sin ＝． ∵AD是中线，∴＝(＋)， ∴2＝＝(2＋2·＋2) ＝＝，∴AD＝， ∴CE＝，AD＝． （2）法一　∵AE＝AC·cos ＝1＝AB，∴＝， ∴＝－＝－， ∴·＝(＋)· ＝＝＝， ∴cos ∠CFD＝cos 〈，〉＝＝＝． 法二　如图，过D作DG∥CE交BE于点G， ∵D是BC的中点，∴G是BE的中点， ∴AE＝EG＝GB＝1，EF是△AGD的中位线，DG是△BCE的中位线， ∴EF＝GD＝CE＝，AF＝AD＝， cos ∠CFD＝cos ∠AFE＝＝＝． 13．（13分）如图，已知△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，点I是△ABC的内切圆圆心(即△ABC三条内角平分线的交点)，直线AI与BC交于点D． （1）设＝m＋n，求m和n的值； （2）求线段AI的长． 解：（1）由于AD是∠BAC的平分线，所以＝＝， 因此＝，从而＝＋＝＋(－)＝＋， 由平面向量基本定理可得m＝，n＝． （2）由（1）可知2＝2＋·＋2． 由题意，2＝16，2＝36． 由＝－得2＝2－2·＋2， 即25＝36－2·＋16，所以·＝． 因此2＝＝18，即||＝3， 又＝，BC＝5，所以BD＝2， 连接BI，则BI是∠ABD的平分线，因此＝＝2，从而AI＝AD＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $