精品解析：河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二下学期03月开学测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期03月开学测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与直线垂直的直线l的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由直线垂直的斜率关系求出直线l的斜率，再根据斜率与倾斜角关系可直接求解. 【详解】由题知直线的斜率为，故直线l的斜率为， 根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为150°. 故选：D 2. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，去除其中乙丙相邻情况，即可求得答案. 【详解】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻， 此时共有种排列方式； 然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列， 在这3个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入， 此时共有种排列方式； 故符合题意的不同排列方式共有（种）， 故选：C 3. 已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项定义求得，根据的取值确定曲线是椭圆还是双曲线，然后计算离心率． 【详解】由已知，， 当 时，方程为，曲线为椭圆， ，，离心率为； 当 时，方程为，曲线为双曲线，，，离心率为． 故选：C． 4. 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ） A. 560 B. 2735 C. 1136 D. 480 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：运用分类加法计数原理，结合组合的定义进行求解即可. 方法二：运用间接法，结合组合的定义进行求解即可. 【详解】方法一： 将“至少有1个一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”． 由分类加法计数原理，得不同取法有（种）． 方法二：考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种）， 故选：C 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性和在处的导函数值的正负即可得解. 【详解】的定义域为R，，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除B选项； 又， 所以，函数图象在处的切线斜率大于0，所以排除C、D选项； 故选：A. 6. 已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出，，再由可求得，从而可求表示出，进而可求得离心率 【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 由双曲线的对称性，不妨设均为第一象限点， 当时，，得，所以， 当时，，所以， 因为，所以， 所以，得， 所以， 所以双曲线的离心率为， 故选：B 7. 已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】依题意得. 故选：A 8. 已知是函数的导函数，，且对于任意的有．请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造，求导得出函数的单调性和奇偶性，从而判断答案． 【详解】令，，则， 故在 上单调递增， 而，故，故是偶函数， 故， 即， 故A正确，BCD错误， 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 存在点A使得 C. 若，则 D. 面积的最大值为12 【答案】BD 【解析】 【分析】根据离心率的公式即可判断A；设，根据向量的数量积即可判断B；根据椭圆的定义可判断C；由点在左右顶点时，面积的最大值，可判断D. 【详解】由，则，，，焦点在轴上， ，， 对于A，离心率，故A错误； 对于B，设，， ，若，则, 即，解得， 故存在点A使得，故B正确； 对于C，在中，， 若，则，但，故C错误； 对于D，当点在左右顶点时，面积的最大值， 即. 故选：BD 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若数列为等比数列，为其前项和，则，，，…成等比数列； B. 已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是7，取到最大值时的值是8； C. 已知数列的前项和为，则使 的最小正整数为12； D. 已知数列满足，设的前项和为，则． 【答案】BD 【解析】 【分析】当时，A选项不成立；根据数列的单调性判断B选项；C选项，解一元二次不等式求得的范围；D选项，利用并项求和计算. 【详解】A选项，若，当为偶数时， ，此时，不是等比数列，A错误； B选项，， 时，，随着的增大而减小，当时， ，随着的增大而减小， 所以取到最小值时的值是7，取到最大值时的值是8，B正确； C选项，由得，所以使 的最小正整数为，C错误； D选项，，所以，D正确. 故选：BD. 11. （多选）已知函数，则（ ） A. 当时，在上单调递减 B. 当时， 在上恒成立 C. 有2个零点，则 D. 有极值，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，当时，利用时，，即可判断；对于B，利用，即可判断；对于C，讨论的单调性，令，即可判断；对于D，利用当时，的单调性即可判断. 【详解】对于A，B选项，，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴，∴；故A正确，B错误； 对于C选项，， 当时，，单调递增，最多有一个零点， 当时，令，得， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 故， 若有2个零点，则只需，解得，故C正确； 根据选项C分析，结合极值概念可知，时，有唯一的极小值，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在，，，，，这个数中任取个，可组成无重复数字的四位数的个数______． 【答案】 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理计算可得. 【详解】分步完成， 第一步，首位数字不能为零，有种取法； 第二步，其余三位数可以从剩下的五位数中任取三位，共有种取法； 所以一共有种，即可组成无重复数字的四位数共 个. 故答案为： . 13. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论函数的单调性，确定其极小值点与极小值，由给定条件探讨极小值点位置、区间上函数值与极小值的关系即可作答. 【详解】由得， 所以当 或时，，当时，， 于是得在 和上都单调递增，在上单调递减， 当时，取得极小值， 因在区间上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得， 于是得，且， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】由与关系可得，然后可得及，最后由可得答案. 【详解】因，则， 两式相减可得：. 又，则，从而. 当时，； 当时， . 综上可得：，若.对任意恒成立，则. 故实数的最小值为3. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由长轴长可得 ，再根据离心率可得，再求 ，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设 ，联立曲线得到，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到，再根据求解即可. 【小问1详解】 由题可知，， ， 又，且，解得， ， 则椭圆的方程为 . 【小问2详解】 法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为 ， 联立，得， ， 设，则. 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得， ， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为 或. 16. 设函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程． （2）已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）求导，根据切点横坐标求出切线斜率和该点坐标，再结合直线点斜式求切线方程; （2）根据可得，设函数，求导求解最小值. 【小问1详解】 由，知 则,得， 故函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由恒成立，可得， 即在恒成立， 设，，则， 当时， ，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，即的最小值为1， 所以 ，即的最大值为1． 17. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱 ，，的中点，点G在棱上，且． （1）证明：． （2）证明：平面． （3）求平面与平面 夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系用向量的方法判断两条直线的垂直关系可得； （2）先用向量证明与平面的法向量垂直，再结合平面可得； （3）直接用向量的方法计算平面与平面的夹角可得. 【小问1详解】 由题意可知，， 两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为，所以，即． 【小问2详解】 由题中数量关系可得，，，，， 则，，． 设平面AEG的法向量为， 则，令，得． 因为， 所以，又平面，所以平面． 【小问3详解】 由（2）可知平面的一个法向量为． 因为平面 的一个法向量为，所以． 设平面与平面 的夹角为，则，． 故平面与平面 夹角的正弦值为. 18. 已知数列满足. （1）求证：为等差数列，并求出数列的通项公式. （2）设，记数列的前项和为. ①求； ②若，求的取值范围. 【答案】（1）由 . 则数列 是以 为首项，2为公差的等差数列， 则 ， 所以数列 的通项公式为； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用构造法，即可得等差数列递推关系，从而可求得通项公式； （2）①利用错位相减法，即可求和； ②利用分离参变量法，再利用递推关系求解数列中的最大项，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）得， 则. 于是， 上两式相减得： ， 所以. ②由，得 .令， 所以， 所以不是数列 的最大项，不妨设 的第 项取得最大值. 由，即 解得 ， 即数列 的最大值为，所以， 即的取值范围是 . 19. 已知，其中． （1）讨论的单调性； （2）已知． （i）若在处的切线经过坐标原点，求实数的值与的方程； （ii）对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）1，；（ii）． 【解析】 【分析】（1）求导，判断导函数的正负进行求函数的单调性； （2）（i）由导函数的几何意义进行求解； （ii） ，令，由知，现证当时对任意的，恒成立．构造函数，求导进行求解． 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，在上单调递减； 当时，由得，由得， 故在上单调递减，在上单调递增． 综上知：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，上单调递增． 【小问2详解】 （i）由题， 则，由于切线过坐标原点， 故有，解得， 此时切点为，故切线的方程为； （ii） ，令， 由知， 现证当时对任意的有恒成立： 令，其为关于的二次函数，开口向上，对称轴为， ①当即时，要证，只需证， ，令，注意到， ，令， 得，由于， 故，所以单调递增，， 所以上，单调递减，上 ，单调递增， 所以为的极小值点，所以， 所以当时，对任意的均有； ②当即时，要证，只需证其 ， ，显然单调递增， 所以， 故，所以当时，对任意的也有． 综上，当时，对任意的都有 ，所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期03月开学测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与直线垂直的直线l的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 72种 3. 已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ） A. 560 B. 2735 C. 1136 D. 480 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数的导函数，，且对于任意的有．请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 存在点A使得 C. 若，则 D. 面积的最大值为12 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若数列为等比数列，为其前 项和，则，，，…成等比数列； B. 已知数列的通项公式为，则取到最小值时 的值是7，取到最大值时 的值是8； C. 已知数列的前 项和为，则使 的最小正整数 为12； D. 已知数列满足，设的前 项和为，则． 11. （多选）已知函数，则（ ） A. 当时，在上单调递减 B. 当时， 在上恒成立 C. 有2个零点，则 D. 有极值，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在，，，，，这个数中任取个，可组成无重复数字的四位数的个数______． 13. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是_________. 14. 已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆 的方程； （2）过点的直线 与椭圆 交于两点，且，求直线 的方程. 16. 设函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程． （2）已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且． （1）证明：． （2）证明：平面． （3）求平面与平面 夹角的正弦值． 18. 已知数列满足. （1）求证：为等差数列，并求出数列的通项公式. （2）设，记数列的前 项和为. ①求； ②若，求的取值范围. 19. 已知，其中． （1）讨论的单调性； （2）已知． （i）若在处的切线 经过坐标原点，求实数的值与 的方程； （ii）对任意的，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $