第七章 幂的运算（单元自测·提升卷） 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026 学年七年级下册数学单元自测 第七章 幂的运算·能力提升 建议用时：60 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 ．下列运算正确的是( ) A ．a3 . a3 = 2a3 B ．(a3 )2 = a3 C ．(4ab)2 = 8a2b2 D ．(-a )3 . (-a ) = a4 2 ．已知3a = 5 ，3b = 10 ，则 3a+b 的值( ) A ．15 B ．50 C ．-5 D ．无法确定 3 ．若2x + y - 2 = 0 ，则 52x . 5y = ( ) A ．5 B ．10 C ．25 D ．50 4 ．计算(-0.25)2025 × 42026 的结果为( ) A ．4 B ．-4 C ． D ． ( m )A (5)．．m (m)，必 (n)为 (为)奇 (正)数 (整)数，若(-an) = -amn B (成立，则)（ n 必）为奇数 C ．m ，n 必同为奇数 D ．m ，n 必同为偶数 6 ．若2m = 5 ，8n = 4，则 2m-3n 的值为( ) A ． B ． C ． D ． 7 ．已知a = 3 ，b = (-2)2 ，c = ( π - 2025)0 ，则 a，b，c 的大小关系是( ) A ．b < a < c B ．b < c < a C ．c < b < a D ．a < b < c 8 ．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076g ．将数据0.000000076 用科学记数法表示为( ) A ．7.6 × 10-9 B ．7.6 × 10-8 C ．7.6 × 109 D ．7.6 × 108 9 ．若3x + 4y - 3 = 0 ，则 8x .16y 的值为( ). A ． B ．1 C ．8 D ．64 试卷第 1 页，共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 10 ．已知43x = 2021 ，47y = 2021 ，则 (x -1)(1- y )2025 = ( ) A ．1 B ．2021 C ．-1 D ．22021 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 ．若10x = 5 ，10y = 2，则 10x+y = ___________； 12 ．(-x2 ). (-x )2 . (-x )3 = ______． 13 ．计算22016 + (-2)2015 = _____． 14 ．已知42x ×52x+1 - 42x+1 × 52x = 203x-4 ，则 x 的值为________． 15 ．已知5x = 160 ，32y = 160 ，则 (-2022)(x-1)(y-1)-1 = __________． 16 ．若am = an (a >0, a ≠1) ，则 m = n ．根据此结论，解决问题：若(8x)3 = 236 ，则 x 的值为 . ____________ 三、解答题（共 9 小题，共 72 分） 17 ．计算 (1)-b2 × (- b)2 × (- b3 ) (2) (-3)×2 + (-2)2 - 5 (3) y3 . (-y ). (-y )5 . (-y )2 18 ．已知2a = 4 ，2b = 6 ，2c = 12 ． (1)求a + b - c 的值． (2)求22a+b-c 的值． 19 ．如果ac = b ，那么我们规定(a, b) = c ．例如：因为23 = 8 ，所以 (2,8) = 3 ． (1)根据上述规定填空：(-2, -8) = _____ ，(3,81) = _____； (2)记(3, 5) = a ，(3, 6) = b ，(3, 30) = c ．判断a 、b 、c 之间的等量关系，并说明理由． 20 ．计算： (1) a3 . a3 + (a2 )4 + (2a4 )2 ； (2) (-2x2 )3 + (-3x3 )2 + (x2 )2 . x2 ． 21 ．先化简，再求值：[5a4 . a2 - (3a6 )2 ÷ (a2 )3 ] ÷ (2a2 )2 ，其中 a = -5 ． 试卷第 2 页，共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 22 ．已知a = 2x ，b = 8x - 4x -1 ，请你利用所学知识用含a 的代数式表示b ． 23 ．若am = an （a > 0 且a ≠ 1 ，m ，n 是正有理数数），则 m = n ．利用该结论解决下面的问题： (1)如果8x = 25 ，求 x 的值； (2)如果2x+2 + 2x+1 = 24 ，求 x 的值； (3)若x = 5m ，y = 4 - 25m ，用含 x 的代数式表示y． 24 ．阅读下列各式：(xy )2 = x2y2 ，(xy )3 = x3y3 ，(xy )4 = x4y4 …… (1)根据积的乘方得出规律：（xy)m = _____ ，(xyz )n = _____； (2)应用规律： ①填空：5100 × 0.2100 = _____ ， ②计算：82023 × (-0.25)2024 × 0.52025 25 ．如果xn = y ，那么我们规定(x, y] = n ．例如：因为42 = 16 ，所以 (4,16] = 2 ． (1) (2, 8] = ______ ；若 (5, y] = 3 ，则 y = ______ ； (2)已知(3,15] = a ，(3, 6] = b ，(3, s] = c ，若 a + b = c ，求s 的值； (3)若(2, 20] = a ，(5, 20] = b ，令 t ，求 t 的值． 试卷第 3 页，共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 1 ．D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算， 幂的乘方和积的乘方计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A 、 a a a a3333 6. ，原式计算错误，不符合题意； B 、(a3 )2 = a3×2 = a6 ，原式计算错误，不符合题意； C 、(4ab)2 = 16a2b2 ，原式计算错误，不符合题意； D 、(-a )3 . (-a ) = (-a )3+1 = (-a )4 = a4 ，原式计算正确，符合题意；故选：D． 2 ．B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法逆用，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．逆用同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵ 3a = 5 ，3b = 10 ， : 3a+b = 3a .3b = 5 × 10 = 50 ． 故选：B． 3 ．C 【分析】利用指数运算法则和已知条件直接计算． 本题考查了同底数幂乘法，幂的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵ 2x + y - 2 = 0 ， : 2x + y = 2 ， 又∵ 52x . 5y = 52x+y ， : 52x . 5y = 52 = 25 ，故选：C． 4 ．B 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键． 根据幂的乘方与积的乘方的逆运算进行计算即可求解． 【详解】解：(-0.25)2025 × 42026 答案第 1 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 = (-1)2025 × 4 = -4 ， 故选：B． 5 ．A 【分析】本题考查幂的乘方， 运用指数法则化简，并利用奇数次幂的性质判断条件．化简等式左边，比较系数得出 m 的奇偶性条件，n 无限制，即可解答． 【详解】解：∵ (-an)m = (-1)m . (an)m = (-1)m . amn ， 且给定等式为(-an)m = -amn ， : (-1)m . amn = -amn ， 假设amn ≠ 0 ，则 (-1)m = -1 ， :m 为奇数． 因此，m 必为奇数，n 可为任意正整数．故选 A． 6 ．A 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，代数式求值，由 2m-3n 可得2m ÷ 23n ，进而得到 2m ÷ 8n ，代入已知计算即可求解，掌握同底数幂除法和幂的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】解：∵ 2m = 5 ，8n = 4 ， : 2m-3n = 2m ÷ 23n ， = 2m ÷ (23 )n ， = 2m ÷ 8n ， = 5 ÷ 4 ， 答案第 2 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 故选：A． 7 ．C 【分析】本题考查负指数、平方和零指数幂的计算， 注意零指数幂的底数不能为零，根据运算法则分别计算a，b，c 的值，再比较大小． 【详解】∵ a b = (-2)2 = 4 ， c = ( τ - 2025)0 = 1， : c = 1 < b = 4 < a = 8 ，即 c < b < a ． 故选：C． 8 ．B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于 1 的数，科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1 ≤ a < 10 ，n 为负整数．”正确确定 a 和 n 的值是解答本题的关键，由题意可知本题中a = 7.6 ，n = -8 ，即可得到答案． 【详解】解：0.000000076 = 7.6 × 0.00000001 = 7.6 × 10-8 ． 故选：B． 9 ．C 【分析】本题考查同底数幂的运算， 幂的乘方，代数式求值，掌握幂运算的运算法则是解题关键． 将 8x .16y 转化为以 2 为底的指数形式，利用已知条件3x + 4y = 3 进行计算即可． 【详解】解：∵ 3x + 4y - 3 = 0 ， : 3x + 4y = 3， ∵ 8 = 23 ，16 = 24 ， : 8x = (23 )x = 23x ，16y = (24 )y = 24y ， : 8x .16y = 23x . 24y = 23x+4y = 23 = 8 ． 故选：C． 5 答案第 3 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 10 ．C 【分析】本题考查幂的运算性质、代数式的化简求值， 掌握幂的乘方和积的乘方运算法则是解题关键． 利用幂的乘方和积的乘方运算，结合43× 47 = 2021 推出xy= x + y ，再化简(x -1)(1-y ) 并计算其2025 次幂，得到结果． 【详解】解：Q 43x = 2021 ，47y = 2021 ， : 43xy = 2021y ，47xy = 2021x ， : (43 × 47)xy = 2021x . 2021y = 2021x+y ， Q 43 × 47 = 2021， : 2021xy = 2021x+y ， xy = x + y ， : (x -1)(1- y ) = x - xy -1+ y = x + y - xy -1 = xy - xy -1 = -1， : (x -1)(1- y )2025 = (-1)2025 = -1．故选：C ． 11 ．10 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用．逆用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：10x+y = 10x × 10y = 5 × 2 = 10 ．故答案为：10． 12 ．x7 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关公式是解题的关键． 根据指数运算规则，分别计算每个部分的符号和指数，然后相乘． 【详解】解：原式 = (-x2 ). (x2 ). (-x3 ) = x7 ． 13 ．22015 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，同底数幂乘法逆用，根据有理数乘方运算法则，逆用同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：22016 + (-2)2015 = 22016 - 22015 答案第 4 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 = 2 × 22015 - 22015 = (2 -1)× 22015 = 22015 ． 故答案为：22015 ． 14 ．4 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则． 根据同底数幂的乘法，可化成同类项，根据合并同类项，可得答案． 【详解】解：∵ 42x ×52x+1 - 42x+1 × 52x = 203x-4 ， : 42x × 52x × 5 - 42x × 52x ×4 = 203x-4 ， : 42x × 52x × (5 - 4) = 203x-4 ， : 202x = 203x-4 ， : 2x = 3x - 4 ，解得：x = 4 ，故答案为：4 ． 15 ．1 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂， 推出指数相等．由于5× 32 = 160 ，因此对等式5x = 160 两边同时取y 次方，可以得到5xy = 160y ，再把 160 换成5 × 32 得到 5xy = 5y × 32y ，接着把 32y 换成5x （都等于 160）得到 5xy = 5x+y ，从而推出xy = x + y ，最后对(-2022)(x-1)(y-1)-1 中的指数去括号，整体代入可得结果． 【详解】解：∵ 5x = 160 ， : (5x )y = 160y ， : 5xy = (5× 32)y = 5y × 32y ∵ 5x = 160 ，32y = 160 , : 5xy = 5y × 160 = 5y × 5x = 5x+y ， : xy = x + y ， : (-2022)(x-1)(y-1)-1 = (-2022)xy-x-y +1-1 = (-2022)xy-(x+y ) = (-2022)0 = 1． 故答案为：1． 答案第 5 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查同底数幂的乘法， 积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 16 ．4 【分析】本题考查了幂的乘方的应用， 包括正用与逆用，掌握幂的乘方法则是关键；将方程化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． ( 3 )【详解】解：3(8x) = 236 ，得 83x = 236 ． 因此2 (所以8)9 (3)x (x) 6 (3)) = 29x ． 根据题意，若am = an （ a > 0 ，a ≠ 1），则 m = n ，所以9x =36 ，解得 x = 4 ． 故答案为：4． 17 ．(1) b7 (2) -7 (3) y11 【分析】本题考查幂的运算，有理数的混合运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）利用同底数幂的乘法法则运算即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减； （3）利用同底数幂的乘法法则运算即可． 【详解】（1）解：-b2 × (- b)2 × (- b3 )， = -b2 × b2 × (- b3 )， = b2+2+3 ， = b7 ； （2）解：(-3)×2 + (-2)2 - 5 ， = -6 + 4 - 5 ， = -7 ； （3）解：y3 . (-y ). (-y )5 . (-y )2 ， = y3 . (-y )1+5+2 ， 答案第 6 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 = y3 . (-y )8 ， 3 8 = y . y ， 3+8 = y ， 11 = y ． 18 ．(1) a + b - c = 1 (2)8 【分析】（1）可利用同底数幂的乘除运算法则，将 2a+b-c 转化为2a ·2b ÷ 2c ，结合已知条件求出其值，再根据指数的唯一性得到a + b - c 的值； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘除法则，将 22a+b-c 转化为(2a)2 ·2b ÷ 2c，代入已知值计算即可． 【详解】（1）解：∵ 2a = 4 ，2b = 6 ，2c = 12 ， : 2a+b-c = 4 × 6 ÷12 = 24 ÷12 = 2 = 21 ∵底数相同的幂相等时，指数相等， : a + b - c = 1． （2）解：22a+b-c = 22a ·2b ÷ 2c = (2a)2 ·2b ÷ 2c = 42 × 6 ÷12 = 16 × 6 ÷12 = 8 ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方，解题关键是熟练运用幂的运算公式，将所求式子转化为已知幂的组合形式，再代入计算． 19 ．(1)3 ，4 (2) c = a + b ，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算和同底数幂的乘法运算； （1）直接利用有理数乘方运算法则计算得出答案； （2）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：∵ (-2)3 = -8 ， :(-2, -8) = 3 ； Q34 = 81， :(3,81) = 4 ． 故答案为：3 ，4； （2）解：c = a + b ，理由如下， 答案第 7 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 ∵(3,5) = a,(3,6) = b,(3,30) = c ， :3a = 5,3b = 6,3c = 30 ， Q 5 × 6 = 30 ， :3a ×3b = 3a+b = 3c ， :c = a + b ． 20 ．(1) a6 + 5a8 (2) 2x6 【分析】本题考查幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），解题的关键是熟练掌握幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变、指数相加； 幂的乘方，底数不变、指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则分别化简各项，再合并同类项； （2）同理，先利用积的乘方、同底数幂的乘法法则化简各项，再合并同类项． 【详解】（1）解：a3 . a3 + (a2 )4 + (2a4 )2 = a3+3 + a2×4 + 22 . (a4 )2 = a6 + a8 + 4a8 = a6 + 5a8 ； （2）解：(-2x2 )3 + (-3x3 )2 + (x2 )2 . x2 = (-2)3 . (x2 )3 + (-3)2 . (x3 )2 + x4 . x2 = -8x6 + 9x6 + x4+2 = -8x6 + 9x6 + x6 = 2x6 ． 21 ．-a2 ，-25 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的各类运算法则是解题的关键． 先根据幂的运算法则对代数式进行化简，然后将a = -5 代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 = (5a6 - 9a12 ÷ a6 ) ÷ 4a4 = (5a6 - 9a6 ) ÷ 4a4 = -4a6 ÷ 4a4 2 = -a ． 答案第 8 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 当a = -5 时，原式= -(-5)2 = -25 ． 22 ．b = a3 - a2 -1 【分析】本题考查幂的乘方运算及代数式的变形， 解题的关键是将8x , 4x 转化为以2x 为底数的幂，再结合a 与2x 的关系进行代换．通过幂的乘方将8x , 4x 转化为(2x)3 , (2x)2 ，再利用 a = 2x 得到2x = a ，代入b 的表达式后化简，即可用含a 的代数式表示b ． 【详解】解：Q a = 2x ，b = 8x - 4x -1 ， : b = (2x)3 - (2x)2 -1 ，把a = 2x 代入上式： : b = a3 - a2 -1． 23 ． (2) x = 2 (3) y = 4 - x2 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘， （1）逆用幂的乘方将原式整理为 23x = 25 ，再根据指数相等求出答案； （2）逆用同底数幂相乘法则得2× 2x+1 + 2x+1 = 24 ，再提出公因式，并根据指数相等得出答案； （3）逆用幂的乘方整理，再代入计算． 【详解】（1）解：∵ 8x = 23x ， : 23x = 25 ， : 3x = 5 ， 解得x = ； （2）解：∵ 2x+2 + 2x+1 = 24 ， : 2 × 2x+1 + 2x+1 = 24 ， : 2x+1 × (2 +1) = 24 ， : 2x+1 = 23 ， : x +1 = 3 ，解得x = 2 ； （3）解：∵ x = 5m ，y = 4 - 25m ， 答案第 9 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ y = 4 - 52m ， ∴ y = 4 - x2 ． 24 ．(1) xmy m ，xn yn zn (2)①1 ， 【分析】本题主要考查了积的乘方计算， 积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用积的乘方法则计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为0.25 × 0.52 × (0.25× 0.5 × 8)2023 ，进而求解． 【详解】（1）解：根据题意得，(xy)m = xmy m ，(xyz)n = xn yn zn ， 故答案为：xmy m ，xn yn zn ； （2）解：① 5100 × 0.2100 = (5×0.2)100 = 1， 故答案为：1 ，1； ② 82023 × (-0.25)2024 × 0.52025 = 82023 × 0.252023 × 0.25 × 0.52023 × 0.52 = 0.25 × 0.52 × (0.25 × 0.5 × 8)2023 25 ．(1)3 ，125 (2)90 (3)3 【分析】本题考查有理数的乘方， 同底数幂的乘法逆用，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）由 23 = 8 ，可直接得出 (2,8] = 3 ；由 53 = 125，可得出 y = 125 ； （2）由题意可得出 3a = 15 ，3b = 6 ，3c = s ．根据a + b = c ，得出 3a+b = 3c ，即 3a . 3b = 3c ， 答案第 10 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 进而即可求出s = 15 × 6 = 90 ； （3）由题意可得出 2a = 20 ，5b = 20 ，那么 2a = 5b = 20，则 2a+2b = 2a . 22b = 20b ，故 ( b = a + b ，而 ( 2 a ) b = 20 b ，得到 2 ab = 20 b ，则 ( 2, 20 b = ab ，故 a + 2 b = ab ，即可求解 )(【 (2)解 (0)】（1）解： (2) ∵ 23 = 8 ， ． : (2,8] = 3 ， ∵ (5, y] = 3 ，53 = 125 ， : y = 125 ； 故答案为：3 ，125； （2）解：∵ (3,15] = a ，(3, 6] = b ，(3, s] = c ， : 3a = 15 ，3b = 6 ，3c = s ， ∵ a + b = c ， : 3a+b = 3c ，即 3a . 3b = 3c ， : s = 15 × 6 = 90 ； （3）解：∵ (2, 20] = a ，(5, 20] = b ， : 2a = 20 ，5b = 20 ， : 2a = 5b = 20 ， : 2a+2b = 2a . 22b = 2a . 4b = 5b . 4b = 20b ， : (2, 20b = a + 2b ， ∵ (2a)b = 20b ， : 2ab = 20b ， : (2, 20b = ab ， : a + 2b = ab ， 答案第 11 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $