精品解析：黑龙江大庆市肇源县第五中学2025-2026学年九年级下学期阶段学情自测数学卷

2025-2026学年度初中数学考试卷 肇源县第五中学 考试时间：120分钟；满分：120分 一、单选题（每题3分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 4月9日，据猫眼专业版数据，《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）已破156亿元，成为首部冲进全球影史票房榜前五的亚洲电影．将数据15600000000用科学记数法表示应为　　 A. B. C. D. 3. 下图是一个三通水管，如图放置，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 周长相等的两个等腰三角形全等 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合 D. 点在线段上，如果，那么点是线段的中点 5. 如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 课堂上，老师出示了这样一个问题：如图①，已知，请利用尺规作．如图②是甲、乙两位同学的作法，其中正确的是（ ） A. 甲、乙均正确 B. 甲正确，乙错误 C. 乙正确，甲错误 D. 甲、乙均错误 7. 如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，弦，垂足为E，连接，已知，则度数是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，已知，，，那么边的长是（ ） A. 6 B. C. D. 10. Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论 ①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是【 】 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 分解因式：_____． 13. 若，则_________． 14. 分式方程的解为________． 15. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形的中点为圆心，则该扇形的面积为___________． 16. 如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为_____． 17. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 18. 若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，例如2的差倒数为，的差倒数为．现知道，，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推．则__________． 三、解答题 19. 计算： 20. 先化简，再求值：1﹣，其中x、y满足|x﹣2|+（2x﹣y﹣3）2＝0． 21. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，米，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）填空：_____，_____； （2）求点离水平地面的高度； （3）求电线塔的高度（结果保留根号）． 22. 体重管理年是国家卫生健康委会同教育部、体育总局等16个部门于2025年启动的健康促进活动，旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，实施为期三年的全民体重管理专项行动．某中学响应号召，每天组织全校学生开展系列体育活动．为了解学生对各项球类运动的喜好程度，学校从喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 结合调查信息，回答下列问题： （1）统计表中，_____，_____；统计图中，足球所对应扇形的圆心角的度数为_____； （2）试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数； （3）该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从3名喜欢乒乓球，1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的5名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动．请用列表法或画树状图的方法，求被抽到的2名同学都喜欢乒乓球的概率． 23. 苹果是大家喜爱的水果之一．一果园年的苹果销量为吨，年销量为吨，若每年销量增长率相等． （1）求销量增长率； （2）某电商从果园以元/箱进货，再以元/箱卖出，每周可以卖出箱．该电商想提价销售，已知每提价1元，每周销量减少3箱，设每周销售苹果获利元，写出（元）与售价（元/箱）之间的函数关系式，并求出当苹果的每箱售价为多少元时，这周的利润最大，最大利润是多少？ 24. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的坐标是、点的纵坐标是． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图像，若、则的取值范围是______； （3）为轴正半轴上一点，连接，若的面积是16，求点的坐标． 26. 如图，是的直径，，是上两点，是的中点，过点作的垂线，垂足为，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 27. 如图，抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初中数学考试卷 肇源县第五中学 考试时间：120分钟；满分：120分 一、单选题（每题3分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式乘以单项式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 2. 4月9日，据猫眼专业版数据，《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）已破156亿元，成为首部冲进全球影史票房榜前五的亚洲电影．将数据15600000000用科学记数法表示应为　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： ， 故选：C． 3. 下图是一个三通水管，如图放置，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三视图的知识，熟练掌握简单组合图形的三视图的画法是解题的关键； 首先根据左视图是从左往右看得到的视图，三通从左往右看得到上面的圆柱看到的视图是一个矩形； 然后下半部分看到的则是一个圆，由此可得到它的左视图． 【详解】它的左视图是下面一个圆，上面一个不完整矩形， 故选：B． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 周长相等的两个等腰三角形全等 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合 D. 点在线段上，如果，那么点是线段的中点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断，等腰三角形的性质，选项A是等腰三角形的基本性质，真命题；选项B周长相等的等腰三角形不一定全等，假命题；选项C等腰三角形的角平分线、中线和高线不一定全部重合，仅顶角相关三线合一，假命题；选项D点C在线段上时恒成立，但C不一定是中点，假命题． 【详解】解：A等腰三角形的两腰相等，则两底角相等（等边对等角），故A正确，是真命题； B、周长相等的两个等腰三角形，如边长分别为5，5，6和4，6，6，周长均为16但不全等，故B错误，是假命题； C、等腰三角形仅顶角的角平分线、底边上的中线和高线互相重合，底角平分线等不一定重合，故C错误，是假命题； D、点C在线段上时，总有，但C不一定为中点，例如时C非中点，故D错误，是假命题； 故选：A． 5. 如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和是，掌握了以上知识是解答本题的关键；先根据角平分线得到，再利用三角形内角和可得，根据垂直平分线的性质可得，然后即可求解的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； 故选：B 6. 课堂上，老师出示了这样一个问题：如图①，已知，请利用尺规作．如图②是甲、乙两位同学的作法，其中正确的是（ ） A. 甲、乙均正确 B. 甲正确，乙错误 C. 乙正确，甲错误 D. 甲、乙均错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，菱形的性质与判定，作与已知角相等的角的尺规作图，甲的作图可证明，则由平行线的性质可得结论；乙的作图可证明四边形是菱形，则，则由平行线的性质可得结论． 【详解】解：由甲的作图方法可得，则，故甲正确， 由乙的作图方法可知，，则四边形是菱形， ∴， ∴，故乙正确， 故选：A． 7. 如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线与三角形其他两边（或两边的延长线）相交，所得的对应线段成比．本题中根据，可得，根据线段、的长度可求结果． 【详解】解：在中， ， ， ，， ． 故选：A． 8. 如图，是的直径，弦，垂足为E，连接，已知，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，推出即可求解． 【详解】解：是直径，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 在中，已知，，，那么边的长是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，先利用正弦的定义得到 ，可计算出，然后根据勾股定理计算的长． 【详解】解：如图， 在中，，， ， ， ． 故选B． 10. Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论 ①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是【 】 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°， ∴AD =DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN =90°－∠ADN=∠FDC． ∴△EDA≌△FDC（ASA）． ∴AE=CF． ∴BE+CF= BE+ AE=AB． 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=BC． ∴(BE+CF)=BC． ∴结论①正确． 设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= a－b． ∴． ∴． ∴结论②正确． 如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O． ∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形， ∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD， OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG． ∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD． ∴结论④错误． ∵△EDA≌△FDC， ∴． ∴结论③错误． 又当EF是Rt△ABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分． ∴结论⑤正确． 综上所述，结论①②⑤正确．故选C． 二、填空题（每题3分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次根式的有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，由此列出不等式求解． 【详解】解：∵函数， ∴ ， 解得：． ∴自变量的取值范围是 ， 故答案为：． 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用平方差公式分解． 【详解】解：． 故答案为： 13. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减求值，熟练掌握分式的加法法则，整体代入，是解题的关键． 利用分式的加法性质，将 拆分为 ，再代入已知条件计算． 【详解】解：由 ， 得 ． 故答案为： ． 14. 分式方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，方程两边同乘以，得整式方程，求出整式方程的解，注意进行检验取舍即可． 【详解】解：， 去分母得， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以，分式方程的解为， 故答案为：． 15. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形的中点为圆心，则该扇形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据题意得到扇形的半径，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵的中点为圆心， ∴，即扇形的半径为， ∴该扇形的面积为， 故答案为： 16. 如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点．由作图可知，平分，求得，，解直角三角形即可求解． 【详解】解：作于点，则点D到的距离为的长， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 18. 若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，例如2的差倒数为，的差倒数为．现知道，，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推．则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先把前4个数求出来，再分析各数之间存在的规律，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 则该数列以，，这三个数循环出现， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是写出前几个数，得到存在的规律． 三、解答题 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，有理数的乘方，进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，有理数的乘方的运算法则是解题的关键． 20. 先化简，再求值：1﹣，其中x、y满足|x﹣2|+（2x﹣y﹣3）2＝0． 【答案】－ 【解析】 【分析】先通分, 并将除法运算化为乘法运算对原式进行化简, 再通过已知条件,根据 “绝对值和完全平方数均大于等于0”的性质列出二元一次方程组, 解得x和y的值, 将其代入原式计算即可． 【详解】原式＝1－＝1－＝＝－. 因为|x－2|＋(2x－y－3)2＝0，所以解得, 当x＝2，y＝1时，原式＝－＝－. 【点睛】本题主要考查分式的运算,注意运算的准确性. 21. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，米，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）填空：_____，_____； （2）求点离水平地面的高度； （3）求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）； （2）点离水平地面的高度为米 （3）电线塔的高度为米． 【解析】 【分析】（1）根据仰角和俯角的定义以及三角形的内角和定理进行计算即可； （2）由坡度的定义可得，，使用勾股定理构造方程并求解即可； （3）设米，利用正切函数的定义表示出和，容易证明四边形是矩形，则米，米．在直角中，由正切函数的定义构造方程并求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作，垂足为， 由题意可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由题意可得，， ∵斜坡的坡度， ∴，即， 在直角中，， ∴， 解得米． 答：点离水平地面的高度为米． 【小问3详解】 解：如图，设米， 由（2）可得，米，米， 在直角中，， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴米， 在直角中，， ∴， ∴， 解得， ∴米． 答：电线塔的高度为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，坡度、仰角和俯角的概念，特殊角的三角函数值，矩形的判定与性质，添加垂线构造直角三角形是解题关键． 22. 体重管理年是国家卫生健康委会同教育部、体育总局等16个部门于2025年启动的健康促进活动，旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，实施为期三年的全民体重管理专项行动．某中学响应号召，每天组织全校学生开展系列体育活动．为了解学生对各项球类运动的喜好程度，学校从喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 结合调查信息，回答下列问题： （1）统计表中，_____，_____；统计图中，足球所对应扇形的圆心角的度数为_____； （2）试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数； （3）该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从3名喜欢乒乓球，1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的5名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动．请用列表法或画树状图的方法，求被抽到的2名同学都喜欢乒乓球的概率． 【答案】（1）；； （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图与扇形统计图． （1）首先用喜欢排球的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量；再用样本容量乘以乒乓球所占的百分比即可求得a，用样本容量减去其他求得b值，根据足球的占比乘以得到足球所对应扇形的圆心角的度数； （2）用总人数乘以喜欢羽毛球的人所占的百分比即可； （3）设3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的分别为红1，红2，红3，绿1，绿2，通过列表即可求出被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率． 【小问1详解】 解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%， ∴样本容量为； ∴（人）， （人）； 足球所对应扇形的圆心角的度数为 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（人）； 【小问3详解】 解：设3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的分别为红1，红2，红3，绿1，绿2，列表如下： 红1 红2 红3 绿1 绿2 红1 （红1，红2） （红1，红3） （红1，绿1） （红1，绿2） 红2 （红2，红1） （红2，红3） （红2，绿1） （红2，绿2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，绿1） （红3，绿2） 绿1 （绿1，红1） （绿1，红2） （绿1，红3） （绿1，绿2） 绿2 （绿2，红1） （绿2，红2） （绿2，红3） （绿2，绿1） ∵共20种等可能的结果，其中被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的有6种等可能情况， ∴被抽到的2名同学都喜欢乒乓球的概率为． 23. 苹果是大家喜爱的水果之一．一果园年的苹果销量为吨，年销量为吨，若每年销量增长率相等． （1）求销量增长率； （2）某电商从果园以元/箱进货，再以元/箱卖出，每周可以卖出箱．该电商想提价销售，已知每提价1元，每周销量减少3箱，设每周销售苹果获利元，写出（元）与售价（元/箱）之间的函数关系式，并求出当苹果的每箱售价为多少元时，这周的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）函数关系式为，当苹果的每箱售价为元时，这周的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设销量增长率为m，进而建立方程计算可以得解； （2）依据题意，建立关于每周销售苹果获利W元与售价x之间的函数关系式，再进行计算可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，设销量增长率为m， ∴． ∴或（不合题意，舍去）． ∴． 答：销量增长率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，每周销售苹果获利W元， ∴，且满足， ∴， ∴当时有W最大，最大为， ∴当每箱售价为元时，这周利润最大为元． 24. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由和平分推出，结合可证，从而得到四边形为平行四边形，再用“一组邻边相等”判定为菱形； （2）先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理算出对角线的长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的坐标是、点的纵坐标是． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图像，若、则的取值范围是______； （3）为轴正半轴上一点，连接，若的面积是16，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、求反比例函数解析式、一次函数与三角形面积的相关应用、反比例函数图像等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）将代入，即可解出解析式；再确定点B的坐标，然后运用待定系数法求得解析式即可； （2）根据函数图像确定一次函数图像在反比例函数图像上方部分所对应的x的取值范围即可； （3）如图：D为与x轴的交点，易得D点坐标，再过点B作轴，过点A作轴，通过面积的计算得出点C的坐标即可． 【小问1详解】 解：将代入得：； ∴， ∵点B的纵坐标是， ， ， 将和代入得： ，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可得：一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、两点， ∴由函数图像可得：当时，x的取值范围为：或． 【小问3详解】 解：如图：D为与x轴的交点， 由（1）可知，，当时，，解得：， ∴，     ∵C在x轴正半轴， ∴，则， 如图：过点B作轴，过点A作轴， ∵、， ∴、， ， ∴ ， ， ，解得： ∴． 26. 如图，是的直径，，是上两点，是的中点，过点作的垂线，垂足为，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）连接交于点，由点是的中点可得，所以，证明四边形是矩形， 则，故有，然后通过切线的判定即可求证； （）由是的中点，则，通过圆周角定理得，，所以，即，又，从而证明； （）由勾股定理得，再证明，，即，解得，从而求出半径． 【小问1详解】 证明：如图，连接交于点， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵为半径， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：∵是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：由（）得，， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，矩形的判定和性质，圆的切线判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 27. 如图，抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，线段的长度最大，最大值是 （3）或或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分五种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，，三点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度最大，最大值是， 【小问3详解】 解：由（1）得：点， 设抛物线的对称轴为直线l， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设点， 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图， 此时点Q在的垂直平分线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $