精品解析：2026年河北张家口市桥东区中考一模数学试题

2026年河北省初中学业水平摸底考试数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若，，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据有理数乘法的符号法则判断的正负，再根据平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点所在象限． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点的横坐标，纵坐标， 又∵第三象限内点的横、纵坐标均为负数， ∴点在第三象限． 2. 若m与n互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用互为相反数的两数和为0，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解： m与n互为相反数， ， ． 3. 如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是 的（ ） A. 中线 B. 角平分线 C. 高线 D. 中垂线 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中线的定义和线段垂直平分线作图法判断即可． 【详解】由作图的痕迹可知：点是线段的中点， 线段是 的中线． 4. 2025年，全年全国粮食总产量约为71500万吨，比上年增长．将71500万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法表示形式为，其中，为整数，确定的值时，需看原数变为时小数点移动的位数，的绝对值与移动位数相同． 【详解】∵. 将原数化为时，得到，满足，小数点共向左移动位. ∴. ∴. 5. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图为2列，第1列有2个，第2列有1个，主视图为3列，第1列为1个，第2列为2个，第3列为1个，进行判断即可. 【详解】解：观察可知：左视图为2列，第1列有2个，第2列有1个，主视图为3列，第1列为1个，第2列为2个，第3列为1个， 移走①，左视图发生改变，移走②，左视图和主视图均不变，移走③，左视图和主视图都发生改变，移走④主视图发生改变. 故可移走②号小正方体. 6. 能使不等式成立的负整数解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解： ， ， ， ， ∴ 满足条件的负整数只有，共个． 7. 若x，y都是正整数，且满足，则x与y的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，即可得出结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴. 8. 如图，已知 的面积是12， ，点D是上的动点，点E是 的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接 、、，由中心对称的定义得出 ，且点 、、在同一直线上，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由垂线段最短并结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接 、、， ∵点E是 的中点， ∴， ∵点F和点D关于点E成中心对称， ∴ ，且点 、、在同一直线上， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵ 的面积是12， ，点D是上的动点， ∴由垂线段最短可得，当时，的长度最小，且此时， ∴ ， ∴的最小值为 【点睛】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 9. 某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费 元，第三次花费 元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（ ） A. 方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B. 第一次购买节能灯的单价是元 C. 第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D. 如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【答案】D 【解析】 【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果． 【详解】解：∵方程中， 是第二次购买的总价， 是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同， 故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为， ∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元， ∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； ， ， ， ， 解得， ∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个， ∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为个， ∵ 第二次和第三次购买数量相同， ∴ 第三次购买数量也为个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多元， 故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 10. 如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形 边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】理解题意，熟练掌握列表法和概率公式是关键 根据题意列出表格，然后找出符合题意的情况，利用概率公式法求解即可 【详解】解：根据题意列表求和如下： 1 2 4 1 2 3 5 2 3 4 6 4 5 6 8 ∵点P经过两次运动后到达点D， ∴点P两次运动的数字和为3或8， 由表格得：共有9种等可能的结果，其中符合题意的有3种， ∴点P经过两次运动后到达点D的概率是 11. 嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 【答案】C 【解析】 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即 ， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 12. 如图，点O为矩形对角线的交点，， ，点E是 边上一点（不含端点及中点），连接 并延长，交边于点F．将矩形沿 折叠，点A，D的对应点分别是点，，直线和直线相交于点H，连接，，，嘉嘉得出一个正确的结论：，淇淇继续探究，发现了以下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. 当点和点C不重合时， C. D. 当在直线 上方时，点到直线 距离的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质可得 ，结合题意得出垂直平分 ，即可判断A；连接，先证明，得出，由折叠的性质可得，，从而可得，，即可判断B；连接，证明点、、、四点共圆，得出，从而可得，最后由正切的定义计算即可判断C；连接，则点在以点为圆心，为半径的圆弧上，求出，由图形并结合垂径定理可得，当时，此时点距离 最远，即可判断D． 【详解】解：∵点O为矩形对角线的交点， ∴ ， ∵， ∴垂直平分 ， ∴ ，故A选项正确，不符合题意； 如图：连接， ∵点O为矩形对角线的交点， ∴ ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵ ， ∴，故B选项正确，不符合题意； 如图，连接， ∵点O为矩形对角线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 如图，连接， 由折叠的性质可得：， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上， ∵， ∴， 由图形并结合垂径定理可得，当时，此时点距离 最远，此时最大距离为，故D选项错误，符合题意． 【点睛】矩形的对角线相等；同弧所对的圆周角相等；折叠的性质：对应边相等，对应角相等． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二次根式的加法运算计算即可． 【详解】解：． 14. 如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设交格点于点，连接 ，由题意可得 ，为的中点，从而可得，设菱形的边长为，由题意可得，，再求得 ，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接，设交格点于点，连接 ， 由题意可得为的中点， ∵网格由相同的小菱形组成的， ∴ ，，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 设小菱形的边长为，取格点，，连接交于点，则， ， 由题意得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在 中，， ∴． 15. 如图，的边在x轴上，连接，点D是的中点，反比例函数的图象经过A和D两点．若的面积为24，则k的值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】设点、，由平行四边形的性质得，再由是中点，得．将代入反比例函数，化简得 ．结合平行四边形面积，代入 后，进而求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴ 且， ∴点的坐标为． ∵点是的中点， ∴点的坐标为，即， ∵点在反比例函数上， ∴ ∵， ∴ 解得 ， ∵平行四边形的面积底高（A点的纵坐标）， ∴， 将 代入得， 解得． 【点睛】本题以平行四边形与反比例函数为载体，通过设点坐标，利用平行四边形性质、中点坐标公式建立点D的坐标，再结合反比例函数解析式与平行四边形面积公式，将几何问题转化为代数方程求解． 16. 如图，正方形的边长为，点O在正方形的内部，以O为圆心，2为半径的圆经过点D和C，与边交于点E，在正方形内的圆弧上取一点F，使得 ，连接并延长和边交于点G，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】首先，根据题意作出辅助线，然后，根据已知数据得出，，．接着，可证得，是等边三角形，再根据在中，，得出，，，最后，得出即可． 【详解】如图，连接，， ， ，过作于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点，在上，半径为2，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，． ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 数轴上有A，B两点，点A表示的数是，点B表示的数是． （1）当时，求线段的长； （2）若点A在点B的右侧，求符合要求的的最小整数值． 【答案】（1）3 （2）0 【解析】 【分析】（1）将代入计算即可； （2）根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，点表示的数是，点表示的数是， ∴； 【小问2详解】 解：由题意知， 解得， ∴的最小整数值为 ． 18. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）当 时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下： 当 时， ．…………………………………第一步 移项，得 ，………………………………………第二步 配方，得，即 ，…………第三步 由此可得，，……………………………………第四步 ∴，．……………………………第五步 请指出嘉嘉在第 步出现了错误，并写出正确的解答过程； （2）若方程的两个实数根分别是和，且 ，求的值． 【答案】（1） 解：在第二步出现了错误；正确的解答过程如下： 当 时， ， 移项，得 ， 配方，得 ，即 ， 由此可得， ， ∴ ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据配方法计算即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知， ， ∵ ， ， ∴ ， 解得 ， 代入判别式 成立， ∴ ． 19. 为增强学生交通安全意识，某中学举办了交通安全知识竞赛，现随机抽取了部分学生成绩（大于60分）进行分析，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩/分 人数/人 A 18 B m C 68 D 30 （1）本次调查共抽取了 名学生； （2）求表中m的值和扇形统计图中x的值； （3）若抽取的A等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，92，93，94，94，95，95，96，97，97，97，97，98，98，99，99，100，求这组成绩的众数和中位数；若随机从该组数据中抽取一个成绩，求该成绩大于中位数的概率； （4）已知该校共有学生2000人，学校准备对本次测验安全意识薄弱的学生（D：）进行安全教育，请估计该校需要参加安全教育活动的学生人数． 【答案】（1）200 （2）， ， （3）众数为97，中位数为 ，概率为 （4）300名 【解析】 【分析】（1）用C等级人数除以所占百分比即可； （2）用总人数乘以B等级所占百分比可得m，用D等级人数除以总人数可求所占百分比； （3）根据众数、中位数的定义及概率公式求解； （4）利用样本估计总体思想求解． 【小问1详解】 解：抽取学生总数为：（名）； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：A组数据中97出现了4次，出现的次数最多，因此众数为97； A组数据共18个，按从小到大顺序排列后，第9位、第10位分别为96，97， 因此中位数为：； 随机从该组数据中抽取一个成绩，该成绩大于中位数的概率为； 【小问4详解】 解：（名） 答：估计该校需要参加安全教育活动的学生人数为300名． 20. 如图，某旅游景点的游客中心AB垂直于地面，测得游客中心的高度AB为10米，该景点的后山上长有一棵松树EF，嘉嘉在游客中心楼顶A处测得树顶F的俯角α=22.62°，经询问当地导游，得知后山的坡比为3：4，从山脚C处沿着斜坡行走6米可到达E处，游客中心楼底B处到山脚C的距离BC=6米． （1）求游客中心AB与松树EF之间的水平距离； （2）求松树EF的高度．（参考数据：） 【答案】（1）米 （2） 米 【解析】 【分析】根据坡度的定义求出，即可得到的长；作辅助线构造直角三角形，根据三角函数的定义求出，进而得出的长，根据已知条件求出，进而得到的长，计算即可得解． 【小问1详解】 后山的坡比为3：4， 设，， ， 由题可得： （米）， ， ， （米），（米）， （米）， （米）． 【小问2详解】 过点 作 ，过点作 ， ，，（米）， （米）， 在 中，， ， （米）， （米）， （米）， （米）， （米）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，线段 的端点为和，直线：恒过定点． （1）求定点的坐标； （2）当直线和线段 有交点时，求的取值范围； （3）若直线和线段 所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 【答案】（1） （2）的取值范围是且 （3），整数k的值为， 【解析】 【分析】（1）将函数解析式变形为，可得当时，，不管取任何不为0的值，均成立，即可得到定点的坐标； （2）将，分别代入直线，解得 ，，即可得到的取值范围是且； （3）先利用待定系数法求出线段 所在直线的函数解析式为，再由点是直线和直线 的交点，得到，整理得到，进而推出当是正整数时，的值可以是1，5，即可求解整数k的所有值． 【小问1详解】 解：∵， 当时，，不管取任何不为0的值，均成立， ∴定点的坐标为； 【小问2详解】 解：当直线经过点时，将代入，得，解得 ， 当直线经过点时，将代入，得，解得， ∴的取值范围是且； 【小问3详解】 解：设 所在直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， ∴线段 所在直线的函数解析式为， ∵点是直线和直线 的交点， ∴， ∴， 当是正整数时，的值可以是1，5， ∴整数k的值为，． 22. 如图，在中， ，点D和点E分别在和边上（不与端点重合），且 ，延长和射线交于点F，作 ，与边交于点G，作 的外接圆在上方的部分，连接． （1）若 ， ，求的长． （2）求证：是的切线． （3）若 ， ，直接写出 的值． 【答案】（1）2 （2） 证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵是的半径， ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】(1)根据直角三角形所对的直角边是斜边的一半可解此问； (2)首先，根据 ，得 ，再由 ， ，得 ，根据 ，得 ，进而 ，得出结论； (3)先根据勾股定理求得 ，设的半径为， ，再根据，得 ， ， ，接着，证出 ，得，即 ，解得 (舍去)，可得 ，最后，得出． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ ， ， ， ∴ ． 设的半径为， ， ∴ ． ∵，即， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ，是的切线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴，即 ， ∴ ， 解得 (舍去)． ∴ ． ∴． 【点睛】根据已知条件利用三角函数值及相似三角形的判定与性质证出 ，得是解决本题的关键． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），当时，y的取值范围是． （1）求抛物线的解析式． （2）求k的值． （3）将抛物线在之间的函数图象记作，将在直线 下方的部分向上翻折，其余部分不变，得到的新图象记作．设的最高点和最低点的纵坐标分别为和，若，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）由函数对称轴为直线,当时，y的取值范围是，可得是函数的最小值，即抛物线的顶点为，代入抛物线解析式可求得，即可得抛物线解析式； （2）由函数对称轴为直线,可得时，时对应的函数值为，即可求解； （3）依据题意，分在直线 上或上方、在直线 下方两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为，当时，y的取值范围是， ∴是函数的最小值，即抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ． 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线 对称轴为， ∵， ∴当时，取最大值， ∴， ∴k的值为8． 【小问3详解】 解：如图，设图象折叠后顶点M的对应点为，点H是图象上的点，图象为区域， 由（1）可知，由（2）可知，即点H在直线 上， ∵点与点关于直线 对称， ∴， 当点在直线 上或上方时，的最高点为， 的最低点为， ∴，， 解得； 当点在直线 下方时，的最高点为H， 的最低点为， ∴，， 解得； 综上所述，． 24. 数学兴趣小组对三角形面积的最值问题展开了如下探究： 【探究1】 （1）如图1，已知等边三角形的边长为，则 (用含的代数式表示)； （2）如图2，菱形的边长为6，，点和点 分别在边和边上，，连接，求 面积的最小值； 【探究2】 （3）如图3，在 中，，为边上的高，(为定值)，求 面积的最小值(用含的代数式表示)． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形三线合一的性质作出边上的高，结合勾股定理求出高的长度，再计算面积； （2）连接，根据菱形性质证明 为等边三角形，再通过角的等量代换证明与全等，得到 ，结合判定 为等边三角形，将面积最值转化为 的长度最值，最后依据垂线段最短求出 的最小值，进而得到 面积的最小值； （3）先通过翻折变换构造正方形 ，设、，在中利用勾股定理建立、的关系式，结合完全平方公式的非负性得到关于的不等式，求解得到的最小值后，求出面积的最小值即可． 【详解】（1）解：过点作 于点，如图， ∵是等边三角形，边长为， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （2）解：连接，如图， ∵四边形是菱形，边长为6， ∴，， ∵， ∴ 是等边三角形， ∴，， ∵菱形中， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，∵， ，， ∴， ∴ ， 又∵， ∴ 是等边三角形， ∴由（1）得， 要使 的面积最小，只需使 的长度最小， 根据垂线段最短，当时， 取得最小值， ∵ 是等边三角形，， ∴在 中，由勾股定理得， ∴ 面积的最小值为； （3）解：∵为边上的高， ∴， 作 关于对称的，作 关于对称的 ，延长 ， 交于点 ，如图， 则，，，，． ∵， ∴， 又∵， ∴四边形 是矩形， 又∵， ∴矩形 是正方形，正方形边长为． 设，，则，，， 在中， ，由勾股定理得， 即， 展开化简得 由完全平方公式的非负性可知，变形得， ∴，即， 当时， 由求根公式得(舍去)， ∴ 的最小值为，即的最小值为， 根据的面积， ∴最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省初中学业水平摸底考试数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若，，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若m与n互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（ ） A. 中线 B. 角平分线 C. 高线 D. 中垂线 4. 2025年，全年全国粮食总产量约为71500万吨，比上年增长．将71500万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 能使不等式成立的负整数解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若x，y都是正整数，且满足，则x与y的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知的面积是12， ，点D是 上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费 元，第三次花费 元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（ ） A. 方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B. 第一次购买节能灯的单价是 元 C. 第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D. 如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 10. 如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形 边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 12. 如图，点O为矩形对角线的交点，， ，点E是边上一点（不含端点及中点），连接并延长，交边于点F．将矩形沿折叠，点A，D的对应点分别是点，，直线和直线相交于点H，连接，，，嘉嘉得出一个正确的结论：，淇淇继续探究，发现了以下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. 当点和点C不重合时， C. D. 当在直线上方时，点到直线距离的最大值为 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：_______． 14. 如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______． 15. 如图，的边在x轴上，连接 ，点D是 的中点，反比例函数的图象经过A和D两点．若的面积为24，则k的值为_______． 16. 如图，正方形的边长为，点O在正方形的内部，以O为圆心，2为半径的圆经过点D和C，与边交于点E，在正方形内的圆弧上取一点F，使得 ，连接并延长和 边交于点G，则的值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 数轴上有A，B两点，点A表示的数是，点B表示的数是． （1）当时，求线段 的长； （2）若点A在点B的右侧，求符合要求的的最小整数值． 18. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）当 时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下： 当 时， ．…………………………………第一步 移项，得 ，………………………………………第二步 配方，得，即 ，…………第三步 由此可得，，……………………………………第四步 ∴，．……………………………第五步 请指出嘉嘉在第 步出现了错误，并写出正确的解答过程； （2）若方程的两个实数根分别是和，且 ，求的值． 19. 为增强学生交通安全意识，某中学举办了交通安全知识竞赛，现随机抽取了部分学生成绩（大于60分）进行分析，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩/分 人数/人 A 18 B m C 68 D 30 （1）本次调查共抽取了 名学生； （2）求表中m的值和扇形统计图中x的值； （3）若抽取的A等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，92，93，94，94，95，95，96，97，97，97，97，98，98，99，99，100，求这组成绩的众数和中位数；若随机从该组数据中抽取一个成绩，求该成绩大于中位数的概率； （4）已知该校共有学生2000人，学校准备对本次测验安全意识薄弱的学生（D：）进行安全教育，请估计该校需要参加安全教育活动的学生人数． 20. 如图，某旅游景点的游客中心AB垂直于地面，测得游客中心的高度AB为10米，该景点的后山上长有一棵松树EF，嘉嘉在游客中心楼顶A处测得树顶F的俯角α=22.62°，经询问当地导游，得知后山的坡比为3：4，从山脚C处沿着斜坡行走6米可到达E处，游客中心楼底B处到山脚C的距离BC=6米． （1）求游客中心AB与松树EF之间的水平距离； （2）求松树EF的高度．（参考数据：） 21. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点 ． （1）求定点 的坐标； （2）当直线和线段有交点时，求的取值范围； （3）若直线和线段所在直线交于点 ，点 的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 22. 如图，在中， ，点D和点E分别在 和边上（不与端点重合），且 ，延长和射线交于点F，作 ，与边交于点G，作 的外接圆在上方的部分，连接． （1）若 ， ，求的长． （2）求证： 是的切线． （3）若 ， ，直接写出 的值． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），当时，y的取值范围是． （1）求抛物线的解析式． （2）求k的值． （3）将抛物线在之间的函数图象记作，将在直线 下方的部分向上翻折，其余部分不变，得到的新图象记作．设的最高点和最低点的纵坐标分别为和，若，求t的取值范围． 24. 数学兴趣小组对三角形面积的最值问题展开了如下探究： 【探究1】 （1）如图1，已知等边三角形的边长为，则 (用含的代数式表示)； （2）如图2，菱形的边长为6，，点 和点 分别在边和边上，，连接，求 面积的最小值； 【探究2】 （3）如图3，在中，，为边上的高，(为定值)，求面积的最小值(用含的代数式表示)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $