河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二下学期03月开学测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期03月开学测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．与直线垂直的直线l的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 3．已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（    ） A． B． C．或 D．或 4．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（    ） A．560 B．2735 C．1136 D．480 5．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   6．已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（    ） A． B． C． D．2 7．已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（   ） A． B． C． D． 8．已知是函数的导函数，，且对于任意的有．请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．存在点A使得 C．若，则 D．面积的最大值为12 10．下列命题正确的有（   ） A．若数列为等比数列，为其前项和，则，，，…成等比数列； B．已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是7，取到最大值时的值是8； C．已知数列的前项和为，则使的最小正整数为12； D．已知数列满足，设的前项和为，则． 11．已知函数，则（    ） A．当时，在上单调递减 B．当时，在上恒成立 C．有2个零点，则 D．有极值，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在，，，，，这个数中任取个，可组成无重复数字的四位数的个数______． 13．若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是_________. 14．已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 16．（15分）设函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程． (2)已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且． (1)证明：． (2)证明：平面． (3)求平面与平面夹角的正弦值． 18．（17分）已知数列满足. (1)求证：为等差数列，并求出数列的通项公式. (2)设，记数列的前项和为. ①求； ②若，求的取值范围. 19．（17分）已知，其中． (1)讨论的单调性； (2)已知． （i）若在处的切线经过坐标原点，求实数的值与的方程； （ii）对任意的，都有，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期03月开学测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C C C A B A A BD BD AC 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14．3 15．(1) (2)或 【分析】（1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到，再根据求解即可. 【详解】（1）由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. （2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 16．(1) (2)1 【分析】（1）求导，根据切点横坐标求出切线斜率和该点坐标，再结合直线点斜式求切线方程; （2）根据可得，设函数，求导求解最小值. 【详解】（1）由，知 则,得， 故函数在点处的切线方程为，即. （2）由恒成立，可得， 即在恒成立， 设，，则， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，即的最小值为1， 所以，即的最大值为1． 17．(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）建立空间直角坐标系用向量的方法判断两条直线的垂直关系可得； （2）先用向量证明与平面的法向量垂直，再结合平面可得； （3）直接用向量的方法计算平面与平面的夹角可得. 【详解】（1）由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为，所以，即． （2）由题中数量关系可得，，，，， 则，，． 设平面AEG的法向量为， 则，令，得． 因为， 所以，又平面，所以平面． （3）由（2）可知平面的一个法向量为． 因为平面的一个法向量为，所以． 设平面与平面的夹角为，则，． 故平面与平面夹角的正弦值为. 18．(1)证明见解析， (2)①；② 【分析】（1）利用构造法，即可得等差数列递推关系，从而可求得通项公式； （2）①利用错位相减法，即可求和； ②利用分离参变量法，再利用递推关系求解数列中的最大项，即可得参数范围. 【详解】（1）由. 则数列是以为首项，2为公差的等差数列， 则， 所以数列的通项公式为； （2）①由（1）得， 则. 于是， 上两式相减得： ， 所以. ②由，得.令， 所以， 所以不是数列的最大项，不妨设的第项取得最大值. 由，即解得， 即数列的最大值为，所以， 即的取值范围是. 19．(1)答案见解析 (2)（i）1，；（ii）． 【分析】（1）求导，判断导函数的正负进行求函数的单调性； （2）（i）由导函数的几何意义进行求解； （ii），令，由知，现证当时对任意的，恒成立．构造函数，求导进行求解． 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，在上单调递减； 当时，由得，由得， 故在上单调递减，在上单调递增． 综上知：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，上单调递增． （2）（i）由题， 则，由于切线过坐标原点， 故有，解得， 此时切点为，故切线的方程为； （ii），令， 由知， 现证当时对任意的有恒成立： 令，其为关于的二次函数，开口向上，对称轴为， ①当即时，要证，只需证， ，令，注意到， ，令， 得，由于， 故，所以单调递增，， 所以上，单调递减，上，单调递增， 所以为的极小值点，所以， 所以当时，对任意的均有； ②当即时，要证，只需证其， ，显然单调递增， 所以， 故，所以当时，对任意的也有． 综上，当时，对任意的都有，所以的取值范围为． $