精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为　　 A. 5， B. ，5 C. ，0 D. 0， 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义得到f'（5）等于直线的斜率﹣1，由切点横坐标为5， 得到纵坐标即f（5）． 【详解】由题意得f（5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1． 故选D． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题． 2. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A． 3. 为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析.若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. ，不具有线性相关性 B. 决定系数变大 C. 相关系数变小 D. 残差平方和变小 【答案】C 【解析】 【分析】从图中分析得到加入点后，回归效果会变差，再由决定系数，相关系数，残差平方和及相关性的概念和性质作出判断即可. 【详解】对于A，加入点后，变量与预报变量相关性变弱， 但不能说，不具有线性相关性，所以A不正确 对于B，决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以加上点后，决定系数变小，故B不正确； 对于C，从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以加上点后，回归效果变差. 所以相关系数绝对值越趋于0，故C正确； 对于D，残差平方和变大，拟合效果越差，所以加上点后，残差平方和变大，故D不正确； 故选：C. 4. 已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点为，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出双曲线的离心率，再由焦点坐标求出值. 【详解】双曲线的离心率， 抛物线，即的焦点坐标为，依题意，，所以. 故选：D 5. 设等差数列{an}前n项和为，已知，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合等差数列性质可求，再由等差数列求和公式及等差数列性质化简方程可求. 【详解】因为数列为等差数列， 所以，， 又，所以，故或， 因为，故，则， 所以，所以. 故选：D. 6. 设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得． 【详解】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以． 故选：B 7. 已知抛物线：（）焦点到准线距离为2，直线过抛物线的焦点交于，两点，且，点关于原点的对称点为，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先求出抛物线方程，设，，则由两点间斜率公式和焦点弦长公式结合、即可计算求解. 【详解】由题知，故曲线：， 设，，则，且，， 所以， 又， 所以，所以. 故选：D. 8. 已知函数，数列满足，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式判断函数奇偶性，判断函数的单调性，根据已知的条件推得数列的周期，从而计算的出结果； 【详解】由题意可知：的定义域为， 且，即， 可知为定义在上的奇函数，且， 因为在上单调递增，可知在上单调递增； 综上所述：在上单调递增，且为奇函数. 因为，则， 可得，即， 由可知：3为数列的周期，则， 且，所以. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ） A. 线性回归方程至少经过点中的一个点 B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C. 若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位 D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用回归直线的性质即可判断选项A，C，利用线性相关系数的性质即可判断选项B，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】对于A，直线由点拟合而成，可以不经过任何样本点，A错； 对于B，相关系数的绝对值越接近于，表示相关性越强，越接近于，相关性越弱，B正确； 对于C，回归直线方程为，变量x增加1个单位时，平均增加2个单位，故C正确； 对于D，样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确. 故选： BCD. 10. 已知为等差数列，为正项等比数列，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算判断AB；利用等比数列性质计算判断CD. 【详解】对于A，等差数列中，，， ，A正确； 对于B，等差数列中，，， 不一定为0，B错误； 对于C，正项等比数列中，，， ，C正确； 对于D，正项等比数列中，，， 不一定为1，D错误. 故选：AC 11. 已知函数，，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由，得，结合函数的单调性可得，由此判断AB，进而可得，构造函数，应用导数求其最大值即可判断CD. 【详解】由，得， 则，，， 两边同时取对数可得：， 又函数在单调递增， ∴，即，故A正确， 由，若，则， 此时，，，B错误； 所以，故， 设，则， 由，，可得，故在单调递增， 由，，可得，故在单调递减， 故，因此的最大值为，故C正确，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点睛：解题的关键是将其通过同构方法变形为，结合的单调性化简，求的最值的关键在于结合消元，将问题转化为求的最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数，则应满足，即可求解 【详解】，因为函数在上是单调函数， 故只能满足在上恒成立，即，，解得 故答案为: 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为，若过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于A，B两点，则___________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义求得答案. 【详解】依题意，点关于原点对称，而为线段中点，连接， 则四边形为平行四边形，， 所以. 故答案为：6 14. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可得：每段圆弧的圆心角为，半径满足，结合等差数列的通项公式和求和公式分析运算. 【详解】由题意可知：每段圆弧的圆心角为， 设第段圆弧的半径为，则可得， 故数列是以首项，公差的等差数列， 则， 则“蚊香”的长度为 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知等式可得，两式相减可得，再验证时的情形即可得结果；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得，利用裂项相消法即可得结果. 【详解】（Ⅰ）由可得， 上述两式相减可得，即， 因为，所以，所以，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等. 16. 如图，在四面体中，平面，．为的重心，点在线段上，. （1）证明：平面； （2）若，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用重心的性质结合线面平行的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量运算来求两平面夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 如图，连接并延长交于，连接， 为的重心，， 又，，， 平面，平面， ， 平面. 【小问2详解】 如图，以为轴，为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 因为的重心，点在线段上，， 则，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值. 17. 某款3A级别游戏自发布以来便受到了广泛关注，仅用了三天时间便在各大平台上卖出超过1000万份，这一速度令人惊讶.下表是该游戏发布以来在某一平台各月的销售量统计表. 月份编号 1 2 3 4 5 销售量（百万份） 8 6.3 5.1 3.2 2.4 （1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并判断月份编号与销售量之间是否具有较强的线性相关性； （2）预计该平台半年时间的销售量能否突破26百万份. 参考数据：； 参考公式：. 【答案】（1），具有较强的线性相关性 （2）不能 【解析】 【分析】（1）计算、、、、，代入可得答案. （2）用最小二乘法求月销售量与月份编号的一元线性回归方程，代入计算可得答案. 【小问1详解】 由题知，， ， ， ， 所以， 所以月份编号与销售量之间具有较强的线性相关性. 【小问2详解】 ，， 所以经验回归方程为. 当时，， 所以该平台半年时间的销售量不能突破26百万份. 18. 设函数，，为自然对数的底数. （1）讨论的极值点个数； （2）当，时，证明：. 【答案】（1）当时，无极值点，当时，唯一极小值点；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）求导，令，，，分和两种情况讨论函数的极值点即可. （2）当，时，要证：，即只需证明在恒成立，而当时，成立，从而只需证明在恒成立即可. 【详解】（1）由题意，， 记， 则， 所以在上是增函数，. ①当时，， 即在上恒成立，此时在上是增函数，无极值点. ②当时，，， 所以方程在上存在唯一零点. 所以，当时，，即； 当时，，即. 此时在上有唯一极小值点. （2）当，时， 要证：， 只需证成立， 即只需证明恒成立. 而当时，成立， 从而只需证明在恒成立即可. 令，，则， 令，， 则在上恒成立， 从而在上为减函数， 且，. 因此，存在，使得. 当时，； 时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，. 由，得， 所以，. 由于在上单调递减， 所以，， 即从而. 从而当，时，不等式成立. 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值点，考查导数的应用，零点，不等式，极值等综合应用能力，考查转化与化归，推理论证与运算求解能力.属于较难题. 19. 设是双曲线的左、右顶点，直线与的斜率分别为和，已知（为非零常数）． （1）求动点的轨迹的方程． （2）讨论与的公共点个数． （3）若位于第一象限内的点都在曲线的上方，求的取值范围． 【答案】（1）（或写成） （2）与的公共点个数总为2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程得到左右顶点坐标，再结合题中给的已知条件以及两点求斜率可得到轨迹方程； （2）联立方程化简，构造新的函数，根据函数的定义域以及单调性得到根的个数，再结合函数的对称性可得到结果； （3）根据题意分情况讨论，对于恒成立问题，作差法构造新的函数，根据导函数判断单调区间，根据最值求得结果. 【小问1详解】 由题意，得，，且． 设，则，即． 所以动点的轨迹的方程为（或写成）； 【小问2详解】 联立得方程组 消去，得， 化简，得， 又，故（或）， 易知函数在区间和上单调递增，且， 又，所以关于的方程（或）总有唯一实根， 又因为曲线与都关于轴对称（以代，方程不变），且， 所以当为任意非零常数时，与的公共点个数为2． 【小问3详解】 若点在第一象限，则，． 当时，，此时点必在曲线的上方． 当时，由，得，且． 由题意，得，即对任意恒成立． 令，，则不等式转化为． 设函数，则． ①当时，因为， 所以，故上单调递增， 所以，满足题意； ②当时，令，则，解得． 故在上单调递减，所以，不合题意． 综上所述，，即，解得． 所以的取值范围是． 【点睛】本题考查曲线与方程、曲线的位置关系、利用导数研究不等式恒成立时参数的取值范围问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，体现了直观想象、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为　　 A. 5， B. ，5 C. ，0 D. 0， 2. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析.若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. ，不具有线性相关性 B. 决定系数变大 C 相关系数变小 D. 残差平方和变小 4. 已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点为，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 5. 设等差数列{an}的前n项和为，已知，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 6 6. 设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线：（）的焦点到准线距离为2，直线过抛物线的焦点交于，两点，且，点关于原点的对称点为，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 已知函数，数列满足，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ） A. 线性回归方程至少经过点中的一个点 B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C. 若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位 D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. 10. 已知为等差数列，为正项等比数列，若，则有（ ） A. B C. D. 11. 已知函数，，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是_________． 13. 已知椭圆左､右焦点分别为，若过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于A，B两点，则___________. 14. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列前项和为，，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和． 16. 如图，在四面体中，平面，．为的重心，点在线段上，. （1）证明：平面； （2）若，，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 某款3A级别游戏自发布以来便受到了广泛关注，仅用了三天时间便在各大平台上卖出超过1000万份，这一速度令人惊讶.下表是该游戏发布以来在某一平台各月的销售量统计表. 月份编号 1 2 3 4 5 销售量（百万份） 8 6.3 5.1 3.2 2.4 （1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并判断月份编号与销售量之间是否具有较强的线性相关性； （2）预计该平台半年时间的销售量能否突破26百万份. 参考数据：； 参考公式：. 18. 设函数，，为自然对数的底数. （1）讨论的极值点个数； （2）当，时，证明：. 19. 设是双曲线的左、右顶点，直线与的斜率分别为和，已知（为非零常数）． （1）求动点的轨迹的方程． （2）讨论与的公共点个数． （3）若位于第一象限内的点都在曲线的上方，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$