精品解析：河南省禹州市第三高级中学2025-2026学年高二下学期开学数学试题

菁华校区高二第一次阶段性考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：人教A版2019选择性必修第二册全部，第三册第一章. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，，则的前2026项和（ ） A. 2023 B. 2025 C. 2026 D. 2137 【答案】D 【解析】 【分析】应用数列的周期性计算求和. 【详解】由，得，，， ，所以， 所以是以3为周期的周期数列， 又， 所以. 故选：D. 2. 已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题知，，解得， 所以的展开式的通项为， 令，得，所以的系数为. 故选：B. 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再令导函数为正得出单调增区间即可. 【详解】因为函数的导函数为， 令，即得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 4. 从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】先确定去沈阳游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解． 【详解】先从除甲、乙两人之外的3人中选1人去沈阳游览，共有种， 再从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种， 所以不同的选择方案共有种． 故选：B 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列的公差大于0 B. 中最大 C. 数列的公差与数列的公差相等 D. 使得的正整数的最小值为24 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，则， 所以数列的公差小于0，故A错误； 因为等差数列单调递减，且，，所以中最大，故B正确； 设公差为，则，其公差为， 故数列的公差与数列的公差不相等，故C错误； 因为，故D错误. 6. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析，的单调性，确定和都是唯一的，化简，得，得，构造函数，求导后即可求解. 【详解】由，得，所以在R上单调递增, 由，得，且，所以在上单调递增 因此，对任意，和都是唯一的， 由题意：， ，即，则， 故， 故，根据的是唯一的， 得，即， 故， 令， ，则， 由得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，取得最小值：， 因此，即：. 故选：C 7. 把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（    ） A. 10种 B. 种 C. 种 D. 45种 【答案】B 【解析】 【分析】采用隔板法求解. 【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球， 问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种. 故选：B. 8. 记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的所有n的和为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据牛顿数列的定义通过函数求导化简得数列递推式，即得等比数列，求出数列的通项与前项和，利用数列的增减性即可求得答案. 【详解】由可得，根据牛顿数列的定义，， 将和代入上式，得， 则数列组成首项为，公比为2的等比数列，故，于是， 则，，则等价于，即， 因为递增数列，且，故满足条件的有4，5两个，它们的和为. 故选：C. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，令，即可判断，对于BC，由，由系数计算公式和令进行判断，对于D，分别令和，得到和，进而可判断. 【详解】对于A，取，得，A错； 对于B,展开式中项的系数为，B对； 对于C，令， 可得二项式， 展开式中各项系数均为正， 即， 又 ，C错； 对于D，取，得， 取，得， 联立解得， 因此，D对. 故选：BD 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 过点且与曲线相切的直线恰有两条 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分析函数的单调性即可得出极值点个数；对于B， 利用函数的极值与零点存在定理可得出零点个数；对于C，通过检验是否恒成立即可判断；对于D，利用导数的几何意义写出切线方程，由求出的切点个数即可判断. 【详解】对于A，由求导得． 令，得或，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以和2是函数的两个极值点，故A正确； 对于B，由A项分析，在时取得极大值，在时取得极小值， 且当时，，当时，，故函数在定义域上有三个零点，故B正确； 对于C，由， 因为， 故曲线关于点不成中心对称，故C错误； 对于D，设切点为，则切线的方程为， 代入，可得，化简得，解得或． 故过点且与曲线相切的直线恰有两条，故D正确． 故选：ABD. 11. 设和分别为数列和的前项和.已知，则（ ） A. 是等比数列 B. 是递减数列 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用求出即可判断AC，利用错位相减法求，进而判断D，利用解出即可判断B. 【详解】由，当时，，所以， 当时，， 所以， 所以，即，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，故A正确； 所以，所以，所以， 由，解得，所以当时，是递减数列， 又，所以，所以是递减数列，故B正确； 由有：，所以，故C正确； 由①， 所以②， 由①②有： ， 解得，所以， 当时，当时，， 所以，故D错误. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2520的正因数有__________个. 【答案】48 【解析】 【详解】对2520分解质因数：， 根据正因数个数公式计算得：. 13. 已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案. 【详解】当时，，设切点为， 则切线斜率为，那么切线方程为， 将代入方程中解得，故切线方程为； 由于为偶函数，其图像关于轴对称， 故当时，切线方程为. 综上可知，切线方程为和. 故答案为：. 14. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知求的方法，分别讨论时，与时，的通项，再进行验证； 【详解】由， 当时，， 当时，， 两式相减，得，即， 所以， 所以， 所以， 由于时，不满足上式， 所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 从这六个数字中任取4个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的四位数？ （1）该数是奇数： （2）不大于4210的偶数； （3）数字4和5至多出现一个. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据个位和千位的特殊位置，利用分步乘法计数原理即可求解； （2）根据千位和个位的数字分类讨论，利用分类加法计数原理即可求解； （3）根据数字4和5出现的情况，分类讨论，利用分类加法计数原理即可求解. 【小问1详解】 根据题意，排四位奇数的排法分三步： 第一步：先排个位共有种排法， 第二步：再排千位有种排法， 第三步：最后排中间两位共有种排法， 根据分步乘法计数原理共有：种排法； 【小问2详解】 第一类：千位为1或3时，个位为选一个，共有种排法； 第二类：千位为2时，个位为和选一个，共有种排法， 第三类：千位为时，个位为0时， 当百位2时，十位排1共有1种排法，当百位排1时，十位有3种排法， 所以千位为时，个位为0时，共有种排法， 第四类：千位为4时，个位为2时，百位从0和1选一个排有种排法，十位有种排法， 所以共有种排法， 根据分类加法计数原理共有：种排法； 【小问3详解】 第一类：数字4和5没有出现，则从排四位数，共有种排法； 第二类：数字4出现一次，数字5没有出现，数字4排千位有种排法， 数字4不排千位，在后面三位选一个位置排数字4有种选法， 再排千位有种选法， 最后排剩下的两个位置有种排法，共有种排法， 所以数字4出现一次，数字5没有出现，共有种排法； 第三类：数字5出现一次，数字4没有出现， 同理数字4出现一次，数字5没有出现的情况，共有种排法， 根据分类加法计数原理共有种排法. 16. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前n项和为，且，.令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出等差数列的首项和公差，即可求得其通项公式； （2）由，求得数列的通项公式，根据等差数列的前项和公式及等比数列的前项和公式，分组求和，即可得到数列的前n项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 则，解得. 所以的通项公式； 【小问2详解】 数列满足，，①. 当时，，解得； 当时，，②， ①-②得：，整理得， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列；所以； 结合（1）知， 所以数列的前n项和. 17. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）当时，求的最值. 【答案】（1） （2）最小值为，无最大值 【解析】 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【小问1详解】 依题意，，，则在处的切线斜率为， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. 【小问2详解】 由. 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 故当时，取得最小值为 当时，， ， 故在区间上的最小值为，无最大值. 18. 已知正项数列的前n项和为，且，表示不超过x的最大整数，如，，. （1）求数列的通项公式： （2）记，求的值； （3）记，若，求n的最小值. 【答案】（1） （2）2551 （3）316 【解析】 【分析】（1）利用递推关系可证明等差数列求通项公式； （2）利用分组求和，放缩求和可求值； （3）利用对数运算性质来估计项数，即可求解. 【小问1详解】 由，当时，可得， 两式相减可得： 所以，（），又因为， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，即； 【小问2详解】 由， 则， 因为， ， 所以， 即. 【小问3详解】 由，则，，，， 可得：当时，，， 当时，记 则 两式相减可得： 则， 因为时，，，所以 则 所以，因为，所以，所以. 19. 已知函数，（）． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围； （3）若，且不等式在上恒成立，求a的最小值． 【答案】（1） 当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）函数定义域为，求导，再分和两种情况讨论求解即可得答案； （2）函数零点即方程的解，等价于,将问题转化为求与图像的交点个数; （3）根据题意得在上恒成立，故令，求函数最大值即可得答案. 【小问1详解】 由题意，， 当时，恒成立，在单调递增； 当时，令，得， 当，，当， 在单调递增，在单调递减 【小问2详解】 有两个零点，等价于有两个实数根，即， 即，等价于与有两个交点． 由得，， 当，，当，， 在单增，单减． 且，， ，，，，且时，，图象如图， 的取值范围是 【小问3详解】 不等式为， 所以不等式在上恒成立， 所以在上恒成立． 设，则， 当时，，， 又在上是增函数，，， 所以存在，使得， 当时，，； 当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减， ，， 则，所以， 因为，所以， 又因为，所以，所以a的最小值为1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 菁华校区高二第一次阶段性考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：人教A版2019选择性必修第二册全部，第三册第一章. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，，则的前2026项和（ ） A. 2023 B. 2025 C. 2026 D. 2137 2. 已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 4. 从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列的公差大于0 B. 中最大 C. 数列的公差与数列的公差相等 D. 使得的正整数的最小值为24 6. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（    ） A. 10种 B. 种 C. 种 D. 45种 8. 记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的所有n的和为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 12 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 过点且与曲线相切的直线恰有两条 11. 设和分别为数列和的前项和.已知，则（ ） A. 是等比数列 B. 是递减数列 C. D. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2520的正因数有__________个. 13. 已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 14. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 从这六个数字中任取4个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的四位数？ （1）该数是奇数： （2）不大于4210的偶数； （3）数字4和5至多出现一个. 16. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前n项和为，且，.令，求数列的前n项和. 17. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）当时，求的最值. 18. 已知正项数列的前n项和为，且，表示不超过x的最大整数，如，，. （1）求数列的通项公式： （2）记，求的值； （3）记，若，求n的最小值. 19. 已知函数，（）． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围； （3）若，且不等式在上恒成立，求a的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $