第8章 整式的乘法单元复习（6大知识点+11大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

第8章 整式的乘法 知识点1：单项式乘单项式 1.法则：把系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2.注意：①系数相乘先定符号，再算绝对值；②同底数幂相乘遵循底数不变，指数相加；③结果化为最简单项式。 3.示例：。 知识点2：单项式乘多项式 1.法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 2.实质：利用乘法分配律转化为单项式乘单项式的运算。 3.注意：单项式与多项式的每一项相乘时，都要带上该项的符号。 知识点3：多项式乘多项式 1.法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 2.特殊公式：（二次项系数为1的十字相乘基础）。 3.注意：相乘后有同类项的要合并同类项，结果化为最简。 知识点4：乘法公式（完全平方公式&平方差公式） 公式类型 字母表达式 文字描述 核心特征 平方差公式 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 左：一同一反的两个二项式相乘；右：相同项平方减相反项平方 完全平方和公式 两数和的平方，等于两数平方和加两数积的2倍 左：二项式的平方；右：三项式，首平方+尾平方+乘积2倍在中间 完全平方差公式 两数差的平方，等于两数平方和减两数积的2倍 左：二项式的平方；右：三项式，首平方+尾平方-乘积2倍在中间 知识点5：乘法公式的常用变形 1.平方和变形： 2.完全平方互化：； 3.积的变形： 4.平方差逆用：（因式分解基础） 知识点6：整式乘法的混合运算 1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的。 2.运算依据：整式乘法法则、乘法公式、乘法运算律（交换律、结合律、分配律）。 3.注意：混合运算中，能运用乘法公式简算的优先使用公式，简化运算步骤。 【基础必考题型】 【题型1】平方差公式的应用 1.核心知识点：平方差公式的结构特征、公式中字母的代换性。 2.解题方法技巧： 找“同”找“反”：先确定两个二项式中的相同项和互为相反数的项； 套用公式：结果直接写为“相同项的平方-相反项的平方”； 简单代换：公式中、可代表单个字母、数字。 【例题1】.（25-26八年级上·四川宜宾·期末）下列公式中，适用平方差公式化简的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的适用条件，掌握好平方差公式的结构是关键． 平方差公式为，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：对于A选项：，其中是相同项，与互为相反数，符合平方差公式的形式，故A正确； 对于B选项：是完全平方公式的形式，不符合平方差公式，故B错误； 对于C选项：，是完全平方的形式，不符合平方差公式，故C错误； 对于D选项：中，与不是互为相反数，不符合平方差公式，故D错误． 故选：A． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·湖北孝感·期末）已知，，则的值为_________________． 【答案】3 【分析】此处考查了因式分解的应用．利用平方差公式，将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得 ， 代入已知和， 得， 解得， 故答案为：3． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·湖北孝感·期末）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，其中相同项为，与互为相反数，符合平方差公式结构，可利用平方差公式简便计算； B、中无完全相同和互为相反数的项，只能用多项式乘多项式计算，不符合要求； C、，属于完全平方公式的应用，不能用平方差公式； D、，属于完全平方公式的应用，不能用平方差公式； 故选：A． 【变式题1-3】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A． B．1 C．4048 D．4050 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将式子变形后利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【题型2】完全平方公式的应用 1.核心知识点：完全平方和/差公式的结构特征、乘积项的2倍系数。 2.解题方法技巧： 判“和”判“差”：根据二项式中间的符号确定用和公式还是差公式； 牢记三项：展开结果必为三项，避免出现的错误； 细节注意：单独数字或字母的平方要算具体值。 【例题2】.（25-26八年级上·山西朔州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由完全平方差公式：，直接展开即可得到答案． 【详解】解：． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘多项式及多项式乘多项式的运算法则，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）先根据平方差公式及完全平方公式化简，最后将两个结果相加． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 【变式题2-2】.（25-26六年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算：__________． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式的应用，将原式识别为完全平方公式的形式，从而简化计算． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为 1． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广东珠海·期末）已知．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式的变形，关键是灵活应用公式进行求解； （1）将代数式去括号后，整体代入求值即可； （2）将完全平方公式变形后，求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型3】完全平方式的参数求解与项的补充 1.核心知识点：完全平方公式结构特征、一元一次方程求解、分类讨论思想 2.解题方法技巧： 定平方项：确定完全平方式中的两个平方项，写出对应、； 配中间项：根据，令中间项等于列方程求参数； 补项分类：补充单项式构完全平方式时，分“补中间项、补首平方项、补尾平方项”三类讨论，验证每种情况的合理性。 【例题3】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）如果是一个完全平方式，那么k的值是______． 【答案】 【详解】解：根据完全平方公式， 在中，， 则， 解得． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是熟练应用公式进行解题；根据完全平方式的结构特征，建立关于的方程，进而求解的值。 【详解】解：∵代数式是完全平方式， ∴ ①当时， ， ∴ ②当时， ， ∴ 综上，的值为或． 故答案为：C． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）如果（是常数）是一个二项式的平方，那么的值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式的形式是解题的关键．利用完全平方公式对应系数即可求出的值． 【详解】解： （是常数）是一个二项式的平方， ， 即， ，则， 故选：B． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·黑龙江黑河·月考）在多项式中添加一个单项式，使其成为完全平方式，则添加的单项式为_____．（写出一个即可） 【答案】（或或或） 【分析】本题考查了完全平方式．考虑完全平方式的形式，通过添加单项式使多项式满足完全平方公式，可能添加的项包括中间项、平方项或常数项． 【详解】解：当是中间项时，添加，得到； 当是第一项时，添加，得到； 添加，得到． 因为也是一个完全平方式 故答案为：（或或或）． 【题型4】整式乘法的混合运算与化简 1.核心知识点：整式乘法各法则、乘法公式、混合运算顺序、同类项合并。 2.解题方法技巧： 定序运算：严格遵循“先乘方，再乘除，最后加减”，有括号先去括号； 公式优先：混合运算中，能识别并运用乘法公式的部分先简算，再进行普通乘法； 分步化简：每一步运算后及时合并同类项，减少后续计算量，如先算乘方，再算乘法，最后合并。 【例题4】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）先运用单项式乘多项式法则与完全平方公式计算，再合并同类项化简． （2）先运用多项式乘多项式法则与平方差公式展开各项，再去括号合并同类项化简 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式的连续应用，解题的关键是灵活运用平方差公式简化运算； （1）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式； （2）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江西宜春·期末）化简求值，其中． 【答案】化简结果为，求值为 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，涉及平方差公式、完全平方公式及单项式乘多项式的运算法则，关键是准确运用公式展开，注意符号的处理，避免合并同类项时出错．先利用乘法公式和整式运算法则将原式展开，再合并同类项化简为最简整式，最后代入计算出结果； 【详解】解： ． 当时，原式． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式；先根据乘法公式化简，再合并同类项，最后将字母的值代入计算即可求解． 【详解】解： ， 当，时，原式 【培优高频题型】 【题型5】乘法公式的变形求值 1.核心知识点：完全平方公式、平方差公式的常用变形、整体代入思想。 2.解题方法技巧： 找已知与未知的关系：根据已知条件（如、、），选择对应的公式变形； 整体代入：将、等看作一个整体，直接代入变形后的公式，无需单独求、； 验证变形：代入前检查公式变形是否正确。 【例题5】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知，，利用乘法公式求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了整式乘法的公式，掌握完全平方公式的形式和变形是解题的关键． （）利用完全平方公式变形计算即可； （）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴或． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河南洛阳·期末）若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值．可通过换元法结合完全平方公式的变形求解，核心是利用完全平方公式中与、的关系推导计算． 【详解】解：设，， ∵， 又∵，且由完全平方公式得， ∴将，代入得：， 即， 解得， ∴， 即， 故选：D． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江西宜春·期末）如图，两个正方形边长分别为，． (1)求阴影部分的面积（用含，的式子表示）； (2)当，时，求此时阴影部分的面积的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积、完全平方公式变形求值． （1）根据正方形的性质可知，，，，可得，根据三角形的面积公式即可得到代数式； （2）由完全平方公式可知，利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解：如下图所示， 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ； （2）解：，， ， . 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算其面积可以得到一个数学等式，请结合图形回答下列问题： (1)写出图1所示的数学等式：___________； (2)如图2是由4个长为宽为的全等长方形围成，根据图2回答下列问题： ①图2中小正方形边长为___________，大正方形边长为___________． ②由阴影部分面积可以得到的数学等式是：___________． ③已知，，求的值． 【答案】(1) (2)①，；②；③ 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，通过对完全平方公式变形求值等知识点，解题关键是掌握完全平方公式． （1）用两种方式表示图形的面积，从而可得等式； （2）①根据题意列代数式即可； ②用两种方式表示阴影部分的面积，从而可得等式； ③利用（2）②中的公式求解即可． 【详解】（1）解：图1中的面积可表示为，也可表示为， ∴图1中所表示的数学等式：； （2）解：①图2中小正方形边长为，大正方形边长为； ②阴影部分的面积可表示为，也可表示为， ∴得到的数学等式是； ③∵，， ∴ ∴． 【题型6】整式乘法中的“不含某项”问题 1.核心知识点：整式乘法展开、同类项合并、一元一次方程的求解（系数为0）。 2.解题方法技巧： 步骤：①按法则展开整式；②合并同类项，整理成标准多项式形式；③令“不含项”的系数为0，列方程求解字母参数； 关键：准确合并同类项，确定目标项的系数，如结果不含项，则项的系数为0； 验证：将求出的参数代入原式，展开验证是否真的不含该项。 【例题6】.（广东深圳市2024-2025学年七年级第二学期期中学业质量监测数学试题卷）若的计算结果中没有关于的一次项，则________． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再根据结果中没有关于的一次项，得到一次项的系数为 0 ，即可求解． 【详解】解： 若的计算结果中没有关于的一次项， 则， 解得：． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·山东德州·期末）若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键，展开多项式，合并同类项，得到项的系数表达式，令其等于，解方程求． 【详解】解：展开 ． ∵项的系数为 ， ∴， 解得． 故答案为 3． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则25是“完美勾股数”，7，24是25的”伴侣勾股数”． (1)木工师傅要制作一个直角三角形支架，要求三边长均为正整数，且斜边长为，则两条直角边的长度分别是___________cm和___________cm； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”； (3)已知且为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．多项式有一个因式，求的值． 【答案】(1)5， 12 (2) 证明见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了勾股数问题，完全平方公式的应用，多项式乘以多项式，因式分解等，熟练掌握相关内容是解题的关键． （1）根据勾股数可知，即可得出答案； （2）将原等式根据完全平方公式整理得，再根据新定义解答即可； （3）根据新定义可得，再根据多项式乘以多项式可得，然后根据法则计算整理，最后根据系数相等得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴斜边为，两条直角边的长度分别是和； 故答案为：5,12； （2）证明：∵， ∴， 即， ∴， 解得． ∵，即， ∴c是“完美勾股数”； （3）解：∵a，b为c的“伴侣勾股数”， ∴， ∴， ∴， 则． ∵， ∴． ∵多项式有一个因式， 设， ∴， 则， 解得． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与x无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知 ，即可得到关于x的代数式，根据取值与x可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵多项式的值与x的取值无关 ∴ 解得： 故答案为：； （2）∵，， ∴ ∵的值与x无关 ∴，即； （3）由图可知 ， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴ ∴． 【题型7】整式乘法中的错解分析与修正问题 1.核心知识点：整式乘法各法则、乘法公式、运算中的符号与漏项问题。 2.解题方法技巧： 分析错因：从“符号错误、漏项、公式误用、运算顺序错误”四个角度分析错解原因； 分步修正：按照正确的法则和步骤，重新计算原式，纠正错解中的问题； 总结警示：根据错解，总结同类题目的注意事项，避免重复犯错。 【例题7】.（25-26八年级上·四川内江·月考）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于把抄错成了4，得到的结果为；乙由于把抄错成了6，得到的结果为．则 _______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，求出．先根据多项式乘多项式运算法则求出，再分别求出，，最后求出结果即可． 【详解】解：， ∵甲把抄错成了4，得到的结果为， ∴， 解得：， ∵乙把抄错成了6，得到的结果为， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）数学课上老师出了一道题：计算的值．小亮的解法如下：你认为小亮的错在哪儿，并给出正确的答案． 【答案】见详解 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先判断小亮解题过程中的错误，再应用完全平方公式正确计算的值． 【详解】解：解题过程错在“”，应为“”，公式用错， 正确解法为． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知多项式，． 【基础设问】（1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③的几项中，出现错误的是________________（填序号），请写出正确的解答过程． 小明的作业 解： ． （2）小亮说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出的值为4，请你求出此时A的值． 【提升设问】（3）若x，y满足，求的值． 【答案】（1）①和③；正确的解答过程见解析（2）（3）8 【分析】（1）根据平方差公式，单项式乘多项式，完全平方公式和合并同类项法则找出错误的步骤，然后写出正确的解答过程即可； （2）直接利用整式的混合运算法则化简，进而利用整体代入计算得出答案； （3）先根据多项式除以单项式，完全平方公式进行计算求出，然后根据得到关于，的代数式；接着通过幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行化简，整体代入即可求解． 【详解】解：（1）①和③ 正确的解答过程如下： ． （2）∵， ∴， ∴． （3） ． ∵， ∴ 即， ∴ ． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·浙江温州·期中）在化简的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式(第一步) ；(第二步) 解法二：原式(第一步) (第二步) ．(第三步) 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 【答案】两种解法都错误，过程见解析 【分析】本题主要考查整式的乘法，完全平方公式，平方差公式等知识，按照整式乘法的相关运算法则和公式求解即可． 【详解】解：解法一错误，从第一步开始出错，末尾处应该是，或者加括号； 解法二错误，也是从第一步开始出错，混淆平方差公式和完全平方公式，的计算结果是． 正确的解答过程：原式． 【题型8】整式乘法的几何背景应用 1.核心知识点：整式乘法法则、乘法公式、几何图形的面积表示（数形结合）。 2.解题方法技巧： 两种表示：用整式乘法表示图形面积，同时用图形拼接/分割表示面积，建立等式； 公式推导：通过面积相等推导整式乘法公式，如用大正方形面积的两种表示推导完全平方公式； 实际应用：根据图形的长、宽、边长等几何量，列整式乘法表达式，求解未知量。 【例题8】.（25-26八年级上·山东济宁·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：___________，图：___________，图：__________ (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： 已知，，求代数式①；②的值． (3)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；② (3) 【分析】本题考查乘法公式的几何背景，准确识图，熟练掌握图形的面积计算，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成得面积为，由此可得出答案；根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成得面积为，由此可得出答案；根据图中两种不同拼图计算面积即可得出答案； （2）①根据图所得出的乘法公式可求出的值； ②根据图及①的结论可求出，再根据图所得出的乘法公式即可求出的值； （3）设，，则，，根据即可得出的值． 【详解】（1）解：∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成， ∴图中的阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成， ∴图中的阴影部分的面积为：， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的左边阴影部分是一个长为，宽为的长方形， ∴图中的阴影部分的面积为， ∵图中的右边阴影部分的面积是边长的正方形与边长为的正方形的差， ∴图中的右边阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； 故答案为：；；； （2）解：①∵， 又∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为； （3）解：设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值为． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试）定义：对于两个正数，如果，那么记．例如：因为，所以． （1）填空： ①_____； ②_____． （2）观察下列等式： ，发现 一般地，对于任意正数，猜想（a，_____），并证明你的猜想． 【初步应用】 （3）如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）2，4；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）设，，则，根据新定义可知，即可得出答案； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴；； （2）解：猜想，证明如下： 设，， 则， 根据新定义可知， 即； （3）解：∵，，， ∴， ∵大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景及图形面积的计算，解题的关键是通过计算两种不同图形的面积，建立等式，从而推导出平方差公式． （1）用大正方形面积减去小正方形面积，得到图①阴影部分的面积； （2）观察图形，确定图②中平行四边形的底边长和高，再用底乘高计算其面积； （3）根据两个图形中阴影部分面积相等，列出等式，推导出平方差公式． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：底边长为；对应的高为； 故答案为：；；． （3） 故答案为：． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山东日照·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【答案】（1）见解析；（2）①；②3；（3）；（4） 【分析】（1）根据大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和证明完全平方公式； （2）①利用完全平方公式变形计算即可求解； ②设，，求得，，再利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （4）利用（3）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， 大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：； （2）①∵，，， ∴， ∴； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ， 故答案为：； （4）解： ． 【点睛】此题考查了完全平方公式与图形面积，平方差公式与图形面积，完全平方公式的运用，平方差公式的运用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． 【压轴素养题型】 【题型9】整式乘法的跨学科/生活情境题 1.核心知识点：整式乘法法则、乘法公式、数学建模思想（将实际问题转化为数学问题）。 2.解题方法技巧： 提取信息：从生活/跨学科情境（如几何图形拼接、面积计算、物理体积计算）中提取关键数学量； 建立模型：将实际问题转化为整式乘法的数学表达式，如长方形草坪的面积计算、正方体礼盒的表面积计算； 求解作答：根据整式乘法法则计算表达式，结合实际情境确定结果的意义，如边长、面积为正数。 【例题9】.（23-24七年级下·浙江温州·期中）科技点亮未来，创新改变生活．某校七年级班同学参加了学校科技节比赛，制作了如图所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图所示． (1)用含的代数式表示图的板模型的总面积（结果需化简）； (2)若，，求板总面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式及代数式求值是解题的关键． （）结合图形表示出梯形和三角形的面积，再相加即可； （）将化成，代入计算即可． 【详解】（1）解：板模型的总面积 ， ； （2）解：∵，， ∴ ． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·四川巴中·期末）二维码中的数学 【阅读材料】 生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示信息，即可通过在网格中，对每一个方格涂色或不涂色来表示不同的信息． 【问题探究】 （1）图①中1个方格可表示2个不同信息；图②中2个方格可表示4个不同信息；图③的网格图，它可表示不同信息的总个数为_____________；（图中标号1、2、3、4表示四个不同位置的方格） （2）二维码的容量由网格图中方格数量、方格颜色（黑／白）等因素决定．现需扩大一个版本的二维码，在相邻的两边分别增加个方格和个方格，构成新的长方形（或正方形）二维码．已知扩展后满足以下条件： ．求扩展后的二维码共有多少个方格？ 【实践应用】 （3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用（行列）的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共510人，且要求和为正整数，则的最小值为_____________． 【答案】（1）16（2）24（3）47 【分析】（1）利用画树状图法解答即可． （2）根据题意，，结合，求得，再根据，开平方，求得，将展开，代入求值即可． （3）根据题意，得，故，分解质因数解答即可． 本题考查了画树状图，完全平方公式的变形求值，分解质因数，熟练掌握变形公式，正确分解质因数是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，画树状图如下： ， 共有16种不同的信息， 故答案为：16． （2）解：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 答：扩展后的二维码共有24个方格． （3）解：根据题意，得， 故， 故， 故的值为511,257,173,107,91,61,49,47， 故的最小值为47． 故答案为：47． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·山西长治·期中）综合与实践 某校为落实新课标劳动教育的理念，开垦了如图所示的两块边长分别为，的正方形劳动实践基地，它们的边长和为．现计划将边长为的正方形劳动实践基地用来种植土豆，将边长为的正方形劳动实践基地划分为4块，其中长为，宽为的长方形基地用来种植向日葵且种植的面积为，另外3块边长为的小正方形基地用来种植3种不同的蔬菜． (1)求该校劳动实践基地的总面积． (2)某劳动实践小组的同学准备为种植3种蔬菜的小正方形基地四周都加上铁网，防止小动物啃咬，求铁网的长． 【答案】(1)该校劳动实践基地的总面积为 (2)铁网的长为 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，涉及乘法公式、化简求值等知识点，熟练掌握乘法公式是解题的关键． （1）根据图形表示出劳动实践基地的总面积，然后进行变形求值即可； （2）根据题意，得3块小正方形基地的边长，然后根据求出，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得，． 劳动实践基地是两块边长分别为，的正方形， 劳动实践基地的总面积为． ． 答：该校劳动实践基地的总面积为． （2）解：根据题意，得3块小正方形基地的边长， 块小正方形基地的面积为， ， 为正整数， ． 根据题意，得3块小正方形基地四周都加铁网的长为． 答：铁网的长为． 【变式题9-3】.（23-24七年级下·陕西西安·期中）阅读下面一代文字，结合文字完成问题． 数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化． (1)观察下面拼图过程，计算图形面积写出相应等式______．    (2)如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，翻折，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时，计算梯形的面积S．（S用含a，b的代数式表示）    (3)如图3，某小区物业公司计划在小区绿化带的外部四个半圆里种植鲜花，内部直角梯形里铺草坪，直角梯形中，，若外部四个半圆中鲜花种植总面积为，中草坪铺设面积为，假设鲜花种植和草坪铺设密度不变，请你帮物业公司计算总共的草坪铺设面积是多少？小明在计算中发现与，间存在某种数量关系，请计算，写出小明“发现”的具体过程和它们之间的数量关系．    【答案】(1) (2)梯形的面积 (3)总共的草坪铺设面积是；之间的关系为：，，过程见解析 【分析】本题主要考查整式的运算与图形的面积： （1）用二种方式表示出图形面积即可得出结论； （2）由折叠的性质求出的长，从而得出的长，再根据梯形面积公式求解即可； （3）设根据题意得，整理得，再计算梯形面积即可，求出，得，再计算，从而得 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：； （2）解：由折叠得，， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∴ （3）解：设设 ∵ ∴ ∴ 整理得， ∴ ， ∴总共的草坪铺设面积为； 之间的关系为：，理由如下： ， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ， ∴ 【题型10】整式乘法的探究式规律问题 1.核心知识点：整式乘法运算、乘法公式、从特殊到一般的规律探究思想。 2.解题方法技巧： 计算特例：先计算前3-4个特殊式子，观察结果的数字、字母规律； 总结通式：根据特例规律，写出第个式子的通式（为正整数）； 验证通式：将取具体值代入通式，验证是否与特例结果一致； 应用规律：根据通式解决后续的计算、求值问题。 【例题10】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本134页活动1：个位数字是5的两位数平方的规律】 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… (1)填空：__________ (2)设个位数字是5的两位数中十位上数字为，请用含的式子表示题中等式蕴含的一般规律，并证明得到的规律： (3)小航同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：．．．．设第一个因数十位数上数字为，个位数上数字为，请你用含的式子表示这个规律_____，并用这个规律计算：． 【答案】(1)， (2)；证明见解析 (3)（，为正整数）， 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，多项式乘以多项式： （1）根据运算规律发现个位数字为5的数的平方，其结果为这个两位数的十位数字与其十位数字加1的数字相乘的结果的100倍再加上25，据此求解即可； （2）利用完全平方公式把展开即可； （3）证明 ，再利用该结论计算求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； ……， 以此类推可知， 故答案为：，； （2）解：由（1）可得（，为正整数）， 证明： （，为正整数）； （3）解： ， ∴． 故答案为：（，为正整数）． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·北京海淀·期中）阅读与思考 请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下： 观察下列各式： 个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？ 小丽的思考如下： 假设个位数字是5的两位数的十位数字为，则这个两位数可以表示为，这个两位数的平方为_____①______，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是______②_____． (1)任务一：补全上面小丽的解答过程：_______①_______：________②__________ (2)任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关． ①请直接写出：652=___________； ②请用代数式表示小丽发现的这一规律：___________ (3)任务三：类比小丽的探索思路，观察：，，，．．．的计算结果，请用代数式表示你发现的规律：___________ 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式和完全平方公式的应用，准确计算是解题的关键． （1）根据完全平方公式展开即可得解； （2）根据第一问的过程，，计算即可得解；观察所给式子，得出规律即可； （3）根据观察每一组中得两个数，第一个数末尾是，第二个数末尾是，设十位上的数字为，根据已知数字课表时为，展开即可得解； 【详解】（1），末尾的两个数是． 故答案是：；． （2）由（1）可得：； 故答案是：． ； 故答案是：． （3）根据观察可得： ， ， ， 当十位上的数字为 时， ； 故答案是：． 【变式题10-2】.（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在月历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为，，，，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 当时，如图1是2025年1月份的月历，小明在其中画出两个的方框，通过计算，；发现． (1)请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明； (3)请同学们利用小明的方法，借助2025年2月份的月历，继续进行如下探究． ①当时，如图2，在月历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； ②当时，如图3，若在月历中用的方框框住位置上的4个数，直接写出“”的值的规律； (4)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 【答案】(1)符合 (2)见解析 (3)①；② (4) 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究： （1）利用8，9，15，16四个数进行验证即可； （2）设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式进行即可； （3）①设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式计算即可； ②设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式计算即可； （4）根据中的规律，推出相应的规律即可． 【详解】（1）解：选取8，9，15，16四个数字，则：； 故符合此规律； （2）设框出的第一个数为，则剩下三个数为：， ∴； （3）①设框出的第一个数为，则剩下三个数为：， ； ②设框出的第一个数为，则剩下三个数为：， ； （4）当时，； 当时，； 当时，； ∴． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： 如果将中间的数记为为整数且，那么三个连续自然数可以表示为，它们的乘积可记为． 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积： ………………第一步 …………第二步 ……………………第三步 ．…………………………第四步 归纳总结：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即（n为整数，且）． 任务： (1)“规律探究”中，第二步到第三步运用了__________公式． (2)利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． (3)请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为m，且）的乘积的规律． 【答案】(1)平方差 (2)7980 (3) 【分析】本题考查多项式乘多项式，平方差公式； （1）根据第二步到第三步变化过程判断即可； （2）利用材料中发现的规律计算即可； （3）仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数的乘积的规律即可． 【详解】（1）解：“规律探究”中，第二步到第三步运用了平方差公式． 故答案为：平方差； （2）解：． （3）解：设三个连续偶数分别为， 则三个连续偶数的乘积 ． 【题型11】利用整式乘法判断整除性问题 1.核心知识点：整式乘法化简、因式分解（平方差、完全平方）、整除的数学意义。 2.解题方法技巧： 化简代数式：将待判断的代数式通过整式乘法、公式变形化简为最简形式； 提取因数：将化简后的式子提取出待判断的除数作为因数，如判断是否能被6整除，就将式子化为某个整式的形式； 验证整除：根据提取的因数，结合题干中字母的取值范围（如正整数、自然数），判断式子是否能被整除。 【例题11】.（24-25七年级下·山东枣庄·期末）规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“好运式”． 例如：；． (1)验证：是“好运式”； (2)推理：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“好运式”． (3)类比发现：任意两个连续偶数的平方差都能被________整除． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，利用平方差公式解答即可． （1）根据题中例题求解即可； （2）设任意两个连续奇数为和（是整数），利用平方差公式求解即可； （3）设任意两个连续偶数为和（是整数），然后列式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵． ∴能被8整除， ∴是“好运式”； （2）解：设任意两个连续奇数为和（是整数）， 是整数， 是8的倍数． 任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“好运式”． （3）解：设任意两个连续偶数为和（是整数）， 是整数， 是4的倍数． ∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除， 故答案为：4． 【变式题11-1】.（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请用含a，b的代数式表示________，________； (2)写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； (3)利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【答案】(1)，， (2) (3)见解析 【分析】本题考查平方差公式和图形面积． （1）将图1看成大正方形减去小正方形，将图2看成一个长方形，即可解答； （2）根据即可解答； （3）根据（2）中得出的公式，将化为含有因数3、5、17的式子即可证明． 【详解】（1）解：，， （2）解：∵， ∴； （3）解： ， ， ∴既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【变式题11-2】.（24-25七年级下·四川成都·期末）【问题产生】小明在学习平方差公式后，突发奇想：比任意一个偶数大5的数与这个偶数的平方差能被5整除吗？ 【特例尝试】（1）的结果是5的几倍？ 【证明结论】（2）设这个偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除； 【拓展思考】（3）比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差能被10整除吗？若能，请说明理由；若不能，请求出余数． 【答案】（1）13倍；（2）见解析；（3）不能，余数为5 【分析】本题考查整式的混合运算． （1）利用有理数的乘方法则及减法法则计算后再除以5即可； （2）根据题意列式为，将其计算并整理后进行判断即可； （3）设这个整数为m，根据题意列式为，然后将其除以10后进行判断即可． 【详解】解：（1） ， 即的结果是5的13倍； （2） ， ∵， ∴比大5的数与的平方差能被5整除； （3）设这个整数为m， ， ∵， ∴比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差不能被10整除，余数为5． 【变式题11-3】.（24-25七年级下·福建漳州·期末）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若（m，n都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）从已知条件变形得到的值，再将所求式子变形为含的形式，整体代入计算． （2）通过设元，把和用新的字母表示，利用完全平方公式的变形，结合已知条件求出两式乘积；或利用完全平方差公式与已知条件建立联系求解． （3）根据能被整除设出表达式，将变形为含的形式，再结合设出的表达式判断能否被整除． 本题主要考查了整体思想在代数式求值、整除问题中的应用，涉及完全平方公式、代数式变形等知识，熟练掌握整体代换的技巧是解题的关键． 【详解】（1）解：， ． ． （2）解：方法一： 设，． 则． ． ． ． ， ． ． 则． 方法二： 设，． 则． ． ． ． ． 则． （3）解：能被6整除， ∴设（为正整数） ∴ ． ∴也能被6整除. 易错点 1.单项式乘单项式时，忽略单独出现的字母，或同底数幂相乘时指数相加错误。 2.单项式乘多项式时，漏乘多项式的某一项，或相乘时忽略项的符号。 3.运用完全平方公式时，遗漏乘积项的2倍，出现的典型错误。 4.平方差公式误用，对非“一同一反”的二项式相乘套用平方差公式。 5.多项式乘多项式时，漏项或合并同类项错误，导致展开结果出错。 6.整式混合运算时，违背运算顺序，先算加减再算乘除，或去括号时符号处理错误。 7.“不含某项”问题中，未将代数式整理为标准形式，就直接令系数为0，导致系数判断错误。 8.代入求值时，负数、分数代入未加括号，导致运算符号错误。 重点 1.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的核心法则，能准确进行基础运算。 2.熟记平方差公式、完全平方和/差公式的结构特征，能直接应用公式进行简算。 3.掌握乘法公式的常用变形，能运用整体代入思想进行公式变形求值。 4.掌握整式乘法的混合运算顺序，能准确进行混合运算并化简。 5.会解决整式乘法中的“不含某项”问题，掌握“系数为0”的解题思路。 6.理解整式乘法的几何背景，能通过数形结合解决面积相关的几何问题。 7.掌握“先化简，再求值”的解题方法，能准确进行整式化简后的代入求值。 难点 1.乘法公式的灵活代换与综合应用，能将复杂代数式看作整体，套用乘法公式进行简算。 2.整式乘法中的规律探究问题，能从特殊例子中总结一般规律，并验证和应用规律。 3.含参数的整式乘法综合求解，能根据题干条件列方程/方程组，求解参数并解决后续问题。 4.整式乘法的跨学科/生活情境题，能准确提取数学信息，建立整式乘法的数学模型。 5.利用整式乘法判断整除性问题，能将代数式化简并提取因数，结合字母取值范围判断整除性。 6.多个乘法公式的联用与多次变形，能根据题意逐步推导，解决复杂的代数式求值问题。 7.整式乘法与几何图形的综合应用，能灵活运用“面积相等”建立整式乘法等式，解决几何与代数结合的问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，同底数幂的乘法，平方差公式，积的乘方、幂的乘方运算，需运用完全平方公式、同底数幂的乘法法则、平方差公式、积的乘方法则逐一判断运算的正确性． 【详解】解：∵根据完全平方公式， ， ∴A选项错误． ∵根据同底数幂的乘法法则， ， ∴B选项错误． ∵根据平方差公式， ， ∴C选项正确． ∵根据积的乘方法则， ， ∴D选项错误． 故选：C． 2．式子加上哪一项后得（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的应用，通过计算两个完全平方的差即可求出需要添加的项． 【详解】解：，， ∴需要添加的项为 ， 故选：B． 3．从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，分别表示出图形的面积，再结合变化过程分析即可解题． 【详解】解：由图知，图的面积为， 图的面积为， 结合图1到图2的变化过程可以发现， 故选：B． 4．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误。 通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为1，中间的数为上一行相邻两数之和． 由图可得展开式的系数依次为：1，4，6，4，1， 因此展开式的系数依次为：1，5，10，10，5，1， 所以， 所以展开式中含项为从左向右第4项，系数为10． 故选：B． 5．代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式的连续运用和幂的运算性质，熟练掌握平方差公式 的结构特征是解题的关键．本题可以连续运用平方差公式进行化简，最后得出结果并选择对应选项． 【详解】解： 故选：C． 二、填空题 6．已知，则的值是___________． 【答案】81 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式混合运算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．由已知方程解出 x 与 y 的关系，代入目标表达式并化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：81． 7．将多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则添加单项式的方法共有__________种． 【答案】5 【分析】本题考查了完全平方公式，考虑添加单项式后多项式成为完全平方的几种形式：二项式的平方或单项式的平方． 【详解】解：添加单项式后，能使多项式成为完全平方的情况如下： 1．添加，得到． 2．添加，得到． 3．添加，得到． 4．添加，得到． 5．添加，得到．故共有5种方法， 故答案为：5． 8．如图，用正方形卡片类4张、B类9张和长方形卡片类张拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为_____．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题的关键是掌握完全平方公式． 利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴大正方形的边长为，负值已舍， 故答案为：． 9．下列说法正确的有______．（选序号） ①若，则满足条件x的值有3个． ②若，，则用含x的代数式表示y为． ③已知，则的值是34． 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了零指数幂、有理数的乘方、幂的变形、换元法与完全平方公式的应用，熟练掌握分类讨论思想和代数变形技巧是解题的关键． 本题需对三个说法逐一判断： ①根据非零数的0次幂为1 ，1的任何次幂为1， 的偶次幂为1三种情况，求解方程． ②通过幂的变形，将转化为的表达式，再代入得到关于的代数式． ③利用换元法，设，将已知方程转化为关于的方程，求解即的值． 【详解】解：①∵当时，，此时，成立， ∴是一个解， 当时，，此时指数为奇数，，不成立， 当时，底数为0，无意义，不成立， ∴满足条件的值只有1个，故①错误； ②∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③，则，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴，故③正确 故选：②③． 10．数学活动 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ． ， ． …… 请你写出一般的规律__________． 【答案】 【分析】本题考查数字变化规律的探究以及完全平方公式，关键是通过观察已知等式，提取共性特征，再用字母表示数推导一般规律．观察给出的等式可知，左边均为个位数字是5的两位数的平方，右边的结果可拆分为“”的形式．设该两位数的十位数字为(为正整数)，将这个两位数表示为，通过整式的乘方运算展开验证，即可得到通用的规律表达式． 【详解】解：设个位为5的两位数的十位数字为(为正整数)，则该两位数可表示为， ∵， ∴一般规律为． 故答案为：． 三、解答题 11．利用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)400 (3)100 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 12．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求代数式的值． （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），；（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据整式混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可； （2）先根据整式混合运算法则进行化简，然后整体代入求值即可； （3）先根据整式混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解：（1）， 当，时，原式． （2）， 因为，所以，所以原式． （3） ， 当，时，原式． 13．请观察下列关于正整数的平方拆分等式： ①；②；③；④． (1)请用上面的拆分方法拆分__________； (2)用含有字母（是正整数）的等式表示这一规律：__________；并借助运算证明这个结论是正确的； 【答案】(1) (2)，证明见详解 【分析】本题主要考查了数字规律型问题，还考查了整式的混合运算和乘法公式．熟练掌握等式所反映的规律，是解题的关键． （1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出含的等式证明成立即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③；④； ∴； （2）解：∵①；②；③；④； ∴． 理由：∵右边， 左边， ∴左边右边， 成立． 14．如图，现有A，B，C三种不同型号的卡片若干张，其中A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是长为、宽为的长方形，C型卡片是边长为的正方形，其中．请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用1张A型正方形卡片，4张B型长方形卡片和张C型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，求的值及此时这个大正方形的边长； (2)A，B，C三种不同型号的卡片各有50张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 【答案】(1)， (2)100张 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义及应用，解题的关键是将卡片面积之和转化为完全平方式，从而确定大正方形的边长及所需卡片数量； （1）通过将卡片面积和表示为完全平方式，求出的值及大正方形边长； （2）通过设大正方形边长为（p，q为正整数），结合卡片数量限制，找到使面积最大的p，q组合，进而求出卡片总数． 【详解】（1）解：1张A型卡片面积为，4张B型卡片面积为，张C型卡片面积为，则大正方形面积为， ∵大正方形面积为完全平方式，且， ∴，此时大正方形边长为， 答：的值为，大正方形的边长为． （2）解：设大正方形边长为（p，q为正整数），则其面积为，对应A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 由题意，，，，且， 要使面积最大，需最大，结合，优先增大， 时，，由得，取， 此时，，满足条件， 此时卡片总数为， 答：当所拼成的大正方形面积最大时，需要三类卡片共100张． 15．阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用 观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： ；；；……． 如果将中间的数记为，为整数且，那么三个连续自然数可以表示为，，，它们的乘积可记为． 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积：   第一步   第二步   第三步 ．  第四步 归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即为整数且）． 任务： (1)“规律探究”中，第二步到第三步运用了________公式． (2)利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． (3)请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为，且）的乘积的规律． 【答案】(1)平方差 (2)7980 (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法，平方差公式，熟练掌握整式乘法的运算法则和平方差公式是解题的关键． （1）根据第二步到第三步变化过程判断即可； （2）利用材料中发现的规律计算即可； （3）仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数的乘积的规律即可． 【详解】（1）解：由计算过程可得运用了平方差公式． 故答案为：平方差． （2）解：． （3）解：设三个连续偶数分别为， 则三个连续偶数的乘积 ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 整式的乘法 知识点1：单项式乘单项式 1.法则：把系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2.注意：①系数相乘先定符号，再算绝对值；②同底数幂相乘遵循底数不变，指数相加；③结果化为最简单项式。 3.示例：。 知识点2：单项式乘多项式 1.法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 2.实质：利用乘法分配律转化为单项式乘单项式的运算。 3.注意：单项式与多项式的每一项相乘时，都要带上该项的符号。 知识点3：多项式乘多项式 1.法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 2.特殊公式：（二次项系数为1的十字相乘基础）。 3.注意：相乘后有同类项的要合并同类项，结果化为最简。 知识点4：乘法公式（完全平方公式&平方差公式） 公式类型 字母表达式 文字描述 核心特征 平方差公式 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 左：一同一反的两个二项式相乘；右：相同项平方减相反项平方 完全平方和公式 两数和的平方，等于两数平方和加两数积的2倍 左：二项式的平方；右：三项式，首平方+尾平方+乘积2倍在中间 完全平方差公式 两数差的平方，等于两数平方和减两数积的2倍 左：二项式的平方；右：三项式，首平方+尾平方-乘积2倍在中间 知识点5：乘法公式的常用变形 1.平方和变形： 2.完全平方互化：； 3.积的变形： 4.平方差逆用：（因式分解基础） 知识点6：整式乘法的混合运算 1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的。 2.运算依据：整式乘法法则、乘法公式、乘法运算律（交换律、结合律、分配律）。 3.注意：混合运算中，能运用乘法公式简算的优先使用公式，简化运算步骤。 【基础必考题型】 【题型1】平方差公式的应用 1.核心知识点：平方差公式的结构特征、公式中字母的代换性。 2.解题方法技巧： 找“同”找“反”：先确定两个二项式中的相同项和互为相反数的项； 套用公式：结果直接写为“相同项的平方-相反项的平方”； 简单代换：公式中、可代表单个字母、数字。 【例题1】.（25-26八年级上·四川宜宾·期末）下列公式中，适用平方差公式化简的是（    ）． A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·湖北孝感·期末）已知，，则的值为_________________． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·湖北孝感·期末）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A． B．1 C．4048 D．4050 【题型2】完全平方公式的应用 1.核心知识点：完全平方和/差公式的结构特征、乘积项的2倍系数。 2.解题方法技巧： 判“和”判“差”：根据二项式中间的符号确定用和公式还是差公式； 牢记三项：展开结果必为三项，避免出现的错误； 细节注意：单独数字或字母的平方要算具体值。 【例题2】.（25-26八年级上·山西朔州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 【变式题2-2】.（25-26六年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算：__________． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广东珠海·期末）已知．求： (1)的值； (2)的值． 【题型3】完全平方式的参数求解与项的补充 1.核心知识点：完全平方公式结构特征、一元一次方程求解、分类讨论思想 2.解题方法技巧： 定平方项：确定完全平方式中的两个平方项，写出对应、； 配中间项：根据，令中间项等于列方程求参数； 补项分类：补充单项式构完全平方式时，分“补中间项、补首平方项、补尾平方项”三类讨论，验证每种情况的合理性。 【例题3】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）如果是一个完全平方式，那么k的值是______． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式题3-2】.（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）如果（是常数）是一个二项式的平方，那么的值为（   ） A．3 B． C． D．6 【变式题3-3】.（25-26八年级上·黑龙江黑河·月考）在多项式中添加一个单项式，使其成为完全平方式，则添加的单项式为_____．（写出一个即可） 【题型4】整式乘法的混合运算与化简 1.核心知识点：整式乘法各法则、乘法公式、混合运算顺序、同类项合并。 2.解题方法技巧： 定序运算：严格遵循“先乘方，再乘除，最后加减”，有括号先去括号； 公式优先：混合运算中，能识别并运用乘法公式的部分先简算，再进行普通乘法； 分步化简：每一步运算后及时合并同类项，减少后续计算量，如先算乘方，再算乘法，最后合并。 【例题4】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【变式题4-1】.（25-26八年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江西宜春·期末）化简求值，其中． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【培优高频题型】 【题型5】乘法公式的变形求值 1.核心知识点：完全平方公式、平方差公式的常用变形、整体代入思想。 2.解题方法技巧： 找已知与未知的关系：根据已知条件（如、、），选择对应的公式变形； 整体代入：将、等看作一个整体，直接代入变形后的公式，无需单独求、； 验证变形：代入前检查公式变形是否正确。 【例题5】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知，，利用乘法公式求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河南洛阳·期末）若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江西宜春·期末）如图，两个正方形边长分别为，． (1)求阴影部分的面积（用含，的式子表示）； (2)当，时，求此时阴影部分的面积的大小． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算其面积可以得到一个数学等式，请结合图形回答下列问题： (1)写出图1所示的数学等式：___________； (2)如图2是由4个长为宽为的全等长方形围成，根据图2回答下列问题： ①图2中小正方形边长为___________，大正方形边长为___________． ②由阴影部分面积可以得到的数学等式是：___________． ③已知，，求的值． 【题型6】整式乘法中的“不含某项”问题 1.核心知识点：整式乘法展开、同类项合并、一元一次方程的求解（系数为0）。 2.解题方法技巧： 步骤：①按法则展开整式；②合并同类项，整理成标准多项式形式；③令“不含项”的系数为0，列方程求解字母参数； 关键：准确合并同类项，确定目标项的系数，如结果不含项，则项的系数为0； 验证：将求出的参数代入原式，展开验证是否真的不含该项。 【例题6】.（广东深圳市2024-2025学年七年级第二学期期中学业质量监测数学试题卷）若的计算结果中没有关于的一次项，则________． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·山东德州·期末）若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则25是“完美勾股数”，7，24是25的”伴侣勾股数”． (1)木工师傅要制作一个直角三角形支架，要求三边长均为正整数，且斜边长为，则两条直角边的长度分别是___________cm和___________cm； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”； (3)已知且为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．多项式有一个因式，求的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 【题型7】整式乘法中的错解分析与修正问题 1.核心知识点：整式乘法各法则、乘法公式、运算中的符号与漏项问题。 2.解题方法技巧： 分析错因：从“符号错误、漏项、公式误用、运算顺序错误”四个角度分析错解原因； 分步修正：按照正确的法则和步骤，重新计算原式，纠正错解中的问题； 总结警示：根据错解，总结同类题目的注意事项，避免重复犯错。 【例题7】.（25-26八年级上·四川内江·月考）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于把抄错成了4，得到的结果为；乙由于把抄错成了6，得到的结果为．则 _______． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）数学课上老师出了一道题：计算的值．小亮的解法如下：你认为小亮的错在哪儿，并给出正确的答案． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知多项式，． 【基础设问】（1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③的几项中，出现错误的是________________（填序号），请写出正确的解答过程． 小明的作业 解： ． （2）小亮说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出的值为4，请你求出此时A的值． 【提升设问】（3）若x，y满足，求的值． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·浙江温州·期中）在化简的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式(第一步) ；(第二步) 解法二：原式(第一步) (第二步) ．(第三步) 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 【题型8】整式乘法的几何背景应用 1.核心知识点：整式乘法法则、乘法公式、几何图形的面积表示（数形结合）。 2.解题方法技巧： 两种表示：用整式乘法表示图形面积，同时用图形拼接/分割表示面积，建立等式； 公式推导：通过面积相等推导整式乘法公式，如用大正方形面积的两种表示推导完全平方公式； 实际应用：根据图形的长、宽、边长等几何量，列整式乘法表达式，求解未知量。 【例题8】.（25-26八年级上·山东济宁·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：___________，图：___________，图：__________ (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： 已知，，求代数式①；②的值． (3)若，求的值． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试）定义：对于两个正数，如果，那么记．例如：因为，所以． （1）填空： ①_____； ②_____． （2）观察下列等式： ，发现 一般地，对于任意正数，猜想（a，_____），并证明你的猜想． 【初步应用】 （3）如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，求图中阴影部分的面积． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山东日照·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【压轴素养题型】 【题型9】整式乘法的跨学科/生活情境题 1.核心知识点：整式乘法法则、乘法公式、数学建模思想（将实际问题转化为数学问题）。 2.解题方法技巧： 提取信息：从生活/跨学科情境（如几何图形拼接、面积计算、物理体积计算）中提取关键数学量； 建立模型：将实际问题转化为整式乘法的数学表达式，如长方形草坪的面积计算、正方体礼盒的表面积计算； 求解作答：根据整式乘法法则计算表达式，结合实际情境确定结果的意义，如边长、面积为正数。 【例题9】.（23-24七年级下·浙江温州·期中）科技点亮未来，创新改变生活．某校七年级班同学参加了学校科技节比赛，制作了如图所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图所示． (1)用含的代数式表示图的板模型的总面积（结果需化简）； (2)若，，求板总面积． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·四川巴中·期末）二维码中的数学 【阅读材料】 生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示信息，即可通过在网格中，对每一个方格涂色或不涂色来表示不同的信息． 【问题探究】 （1）图①中1个方格可表示2个不同信息；图②中2个方格可表示4个不同信息；图③的网格图，它可表示不同信息的总个数为_____________；（图中标号1、2、3、4表示四个不同位置的方格） （2）二维码的容量由网格图中方格数量、方格颜色（黑／白）等因素决定．现需扩大一个版本的二维码，在相邻的两边分别增加个方格和个方格，构成新的长方形（或正方形）二维码．已知扩展后满足以下条件： ．求扩展后的二维码共有多少个方格？ 【实践应用】 （3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用（行列）的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共510人，且要求和为正整数，则的最小值为_____________． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·山西长治·期中）综合与实践 某校为落实新课标劳动教育的理念，开垦了如图所示的两块边长分别为，的正方形劳动实践基地，它们的边长和为．现计划将边长为的正方形劳动实践基地用来种植土豆，将边长为的正方形劳动实践基地划分为4块，其中长为，宽为的长方形基地用来种植向日葵且种植的面积为，另外3块边长为的小正方形基地用来种植3种不同的蔬菜． (1)求该校劳动实践基地的总面积． (2)某劳动实践小组的同学准备为种植3种蔬菜的小正方形基地四周都加上铁网，防止小动物啃咬，求铁网的长． 【变式题9-3】.（23-24七年级下·陕西西安·期中）阅读下面一代文字，结合文字完成问题． 数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化． (1)观察下面拼图过程，计算图形面积写出相应等式______．    (2)如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，翻折，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时，计算梯形的面积S．（S用含a，b的代数式表示）    (3)如图3，某小区物业公司计划在小区绿化带的外部四个半圆里种植鲜花，内部直角梯形里铺草坪，直角梯形中，，若外部四个半圆中鲜花种植总面积为，中草坪铺设面积为，假设鲜花种植和草坪铺设密度不变，请你帮物业公司计算总共的草坪铺设面积是多少？小明在计算中发现与，间存在某种数量关系，请计算，写出小明“发现”的具体过程和它们之间的数量关系．    【题型10】整式乘法的探究式规律问题 1.核心知识点：整式乘法运算、乘法公式、从特殊到一般的规律探究思想。 2.解题方法技巧： 计算特例：先计算前3-4个特殊式子，观察结果的数字、字母规律； 总结通式：根据特例规律，写出第个式子的通式（为正整数）； 验证通式：将取具体值代入通式，验证是否与特例结果一致； 应用规律：根据通式解决后续的计算、求值问题。 【例题10】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本134页活动1：个位数字是5的两位数平方的规律】 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… (1)填空：__________ (2)设个位数字是5的两位数中十位上数字为，请用含的式子表示题中等式蕴含的一般规律，并证明得到的规律： (3)小航同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：．．．．设第一个因数十位数上数字为，个位数上数字为，请你用含的式子表示这个规律_____，并用这个规律计算：． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·北京海淀·期中）阅读与思考 请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下： 观察下列各式： 个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？ 小丽的思考如下： 假设个位数字是5的两位数的十位数字为，则这个两位数可以表示为，这个两位数的平方为_____①______，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是______②_____． (1)任务一：补全上面小丽的解答过程：_______①_______：________②__________ (2)任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关． ①请直接写出：652=___________； ②请用代数式表示小丽发现的这一规律：___________ (3)任务三：类比小丽的探索思路，观察：，，，．．．的计算结果，请用代数式表示你发现的规律：___________ 【变式题10-2】.（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在月历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为，，，，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 当时，如图1是2025年1月份的月历，小明在其中画出两个的方框，通过计算，；发现． (1)请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明； (3)请同学们利用小明的方法，借助2025年2月份的月历，继续进行如下探究． ①当时，如图2，在月历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； ②当时，如图3，若在月历中用的方框框住位置上的4个数，直接写出“”的值的规律； (4)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： 如果将中间的数记为为整数且，那么三个连续自然数可以表示为，它们的乘积可记为． 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积： ………………第一步 …………第二步 ……………………第三步 ．…………………………第四步 归纳总结：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即（n为整数，且）． 任务： (1)“规律探究”中，第二步到第三步运用了__________公式． (2)利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． (3)请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为m，且）的乘积的规律． 【题型11】利用整式乘法判断整除性问题 1.核心知识点：整式乘法化简、因式分解（平方差、完全平方）、整除的数学意义。 2.解题方法技巧： 化简代数式：将待判断的代数式通过整式乘法、公式变形化简为最简形式； 提取因数：将化简后的式子提取出待判断的除数作为因数，如判断是否能被6整除，就将式子化为某个整式的形式； 验证整除：根据提取的因数，结合题干中字母的取值范围（如正整数、自然数），判断式子是否能被整除。 【例题11】.（24-25七年级下·山东枣庄·期末）规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“好运式”． 例如：；． (1)验证：是“好运式”； (2)推理：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“好运式”． (3)类比发现：任意两个连续偶数的平方差都能被________整除． 【变式题11-1】.（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请用含a，b的代数式表示________，________； (2)写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； (3)利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【变式题11-2】.（24-25七年级下·四川成都·期末）【问题产生】小明在学习平方差公式后，突发奇想：比任意一个偶数大5的数与这个偶数的平方差能被5整除吗？ 【特例尝试】（1）的结果是5的几倍？ 【证明结论】（2）设这个偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除； 【拓展思考】（3）比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差能被10整除吗？若能，请说明理由；若不能，请求出余数． 【变式题11-3】.（24-25七年级下·福建漳州·期末）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若（m，n都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 易错点 1.单项式乘单项式时，忽略单独出现的字母，或同底数幂相乘时指数相加错误。 2.单项式乘多项式时，漏乘多项式的某一项，或相乘时忽略项的符号。 3.运用完全平方公式时，遗漏乘积项的2倍，出现的典型错误。 4.平方差公式误用，对非“一同一反”的二项式相乘套用平方差公式。 5.多项式乘多项式时，漏项或合并同类项错误，导致展开结果出错。 6.整式混合运算时，违背运算顺序，先算加减再算乘除，或去括号时符号处理错误。 7.“不含某项”问题中，未将代数式整理为标准形式，就直接令系数为0，导致系数判断错误。 8.代入求值时，负数、分数代入未加括号，导致运算符号错误。 重点 1.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的核心法则，能准确进行基础运算。 2.熟记平方差公式、完全平方和/差公式的结构特征，能直接应用公式进行简算。 3.掌握乘法公式的常用变形，能运用整体代入思想进行公式变形求值。 4.掌握整式乘法的混合运算顺序，能准确进行混合运算并化简。 5.会解决整式乘法中的“不含某项”问题，掌握“系数为0”的解题思路。 6.理解整式乘法的几何背景，能通过数形结合解决面积相关的几何问题。 7.掌握“先化简，再求值”的解题方法，能准确进行整式化简后的代入求值。 难点 1.乘法公式的灵活代换与综合应用，能将复杂代数式看作整体，套用乘法公式进行简算。 2.整式乘法中的规律探究问题，能从特殊例子中总结一般规律，并验证和应用规律。 3.含参数的整式乘法综合求解，能根据题干条件列方程/方程组，求解参数并解决后续问题。 4.整式乘法的跨学科/生活情境题，能准确提取数学信息，建立整式乘法的数学模型。 5.利用整式乘法判断整除性问题，能将代数式化简并提取因数，结合字母取值范围判断整除性。 6.多个乘法公式的联用与多次变形，能根据题意逐步推导，解决复杂的代数式求值问题。 7.整式乘法与几何图形的综合应用，能灵活运用“面积相等”建立整式乘法等式，解决几何与代数结合的问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．式子加上哪一项后得（     ） A． B． C． D． 3．从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（    ） A． B． C． D． 4．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B．10 C．9 D．6 5．代数式的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知，则的值是___________． 7．将多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则添加单项式的方法共有__________种． 8．如图，用正方形卡片类4张、B类9张和长方形卡片类张拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为_____．（用含的式子表示） 9．下列说法正确的有______．（选序号） ①若，则满足条件x的值有3个． ②若，，则用含x的代数式表示y为． ③已知，则的值是34． 10．数学活动 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ． ， ． …… 请你写出一般的规律__________． 三、解答题 11．利用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 12．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求代数式的值． （3）先化简，再求值：，其中，． 13．请观察下列关于正整数的平方拆分等式： ①；②；③；④． (1)请用上面的拆分方法拆分__________； (2)用含有字母（是正整数）的等式表示这一规律：__________；并借助运算证明这个结论是正确的； 14．如图，现有A，B，C三种不同型号的卡片若干张，其中A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是长为、宽为的长方形，C型卡片是边长为的正方形，其中．请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用1张A型正方形卡片，4张B型长方形卡片和张C型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，求的值及此时这个大正方形的边长； (2)A，B，C三种不同型号的卡片各有50张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 15．阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用 观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： ；；；……． 如果将中间的数记为，为整数且，那么三个连续自然数可以表示为，，，它们的乘积可记为． 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积：   第一步   第二步   第三步 ．  第四步 归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即为整数且）． 任务： (1)“规律探究”中，第二步到第三步运用了________公式． (2)利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． (3)请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为，且）的乘积的规律． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $