专题06 勾股定理章末54道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题06 勾股定理章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 勾股树（数）问题 题型二 勾股定理的证明方法 题型三 网格中的勾股定理问题 题型四 勾股定理的折叠问题 题型五 勾股定理的新定义问题 题型六 勾股定理逆定理综合应用 题型七 勾股定理的应用综合应用 题型八 最短路径之蚂蚁爬行问题 题型九 勾股定理中的旋转问题 【经典例题一 勾股树（数）问题】 1．（25-26八年级上·河南南阳·月考）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五；后人概括为“勾三、股四、弦五”；观察：3，4，5；5、12，13；7，24，25；9，40，41；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦：当勾时，股，弦： (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数： (2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么用含的代数式来表示这些勾股数的勾_______、股_______、弦_______，并写出股和弦的一个关系并加以证明． 2．（24-25八年级下·全国·期末）能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格： 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 … … a，b，c (1)试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论． (2)写出当时，b，c的值． 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 4．（25-26八年级上·上海·月考）阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数？ 【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形． 【探索新知】 （1）从面积的角度思考，请用两种方法计算五边形的面积，并写出得到等式的过程． （2）如果满足等式的a、b、c是三个正整数，我们称a、b、c为勾股数．已知m、n是正整数且，证明：、、是勾股数． 【灵活运用】 （3）在如图所示的五边形中，若，，则空白部分的面积为________． （4）请写出任意一组含有85的“勾股数”：________． （5）小明在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中的最大的一个数，则另两个数的表达式是________、________． 6．（24-25八年级下·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个． ②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系． (2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________． 【经典例题二 勾股定理的证明方法】 7．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，垂足为H，求的长． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）请你根据图形及提示证明勾股定理图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形 (1)毕达哥拉斯的证法图： 补充完整以下证明过程 证明：正方形①的面积______ 正方形②的面积______． 又正方形①与正方形②的边长相等， ____________． ； (2) 请你写出弦图图的另一种证法． 9．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）（1）如图1，在四边形中，对角线、相交于点，且． ①求证：； ②若，，，则的长为______； （2）勾股定理现约有五百种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一．其中有一类是运用不同方法计算同一图形的面积，从而得到等式，运用等式性质变形证明勾股定理．例如在《周髀算经》里，古代中国数学家赵爽设计“弦图”（图2）进行勾股定理的证明．如图3，已知在四边形中，，，，对角线、相交于点，且，，作，垂足为．根据已知条件，请用图3证明勾股定理：在中，，求证：． 10．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米? (3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 11．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 12．（25-26八年级上·福建漳州·期中）运用“同一图形的面积用不同方式表示”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法．黄老师在讲授勾股定理的证明时，让同学们准备两个全等的直角三角形纸片，通过动手操作探究勾股定理的证明方法： 方案 勾股定理的证明方法探究 任务与思路 总统证法 美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明． （1）根据阅读内容，图中梯形的面积用两种方法表示分别为______和______． （2）根据（1）中的结果，写出证明过程． 常春证法 将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且，，．点落在上，点与点重合，斜边与斜边交于点，连接，． 由全等的性质可得：，，，由可得； 利用得， 化简得． 拓展 将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且，，．点、都落在上，斜边与斜边交于点，连接，，． （3）同上，易得，请用等面积法利用左图证明勾股定理． 【经典例题三 网格中的勾股定理问题】 13．（25-26八年级上·宁夏银川·月考）如图所示，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下面的要求画图． (1)在图（1）中画一个面积为5的正方形； (2)在图（2）中画，使，，． 14．（25-26八年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图： (1)在图①中，连接、，使． (2)在图②中，连接、、，使． (3)在图③中，在边上找格点，连接，使的面积是面积的2倍． 15．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，D都在格点上． 问题：比较与的大小； 如图1，在正方形网格中构造△ABC，可以比较与的大小， 其理由如下：在中，， 根据勾股定理，得，． ∵，∴． (1)应用：请参考上述方法，在图2中构造图形，比较+与的大小，并说明理由； (2)延伸：请在图3中构造图形，求的度数．（直接写出答案，不必说明理由）． 16．（25-26八年级上·江苏常州·期中）图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形四的面积为，则这个格点正方形的边长为． (1)图②是由个小正方形网格组成的图形．那么格点正方形的边_______． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)在由个小正方形网格组成的图④中，画出边长为的格点正方形． (4)在数轴上画出对应的点点． 17．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）问题背景：在中，、、三边的长分别为、、，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示，这样不需要求的高，而是借用网格就能计算出它的面积．请你将的面积直接填写在横线上：_____． 思维拓展： 我们把上述求面积的方法叫做构图法，如果三边长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积． 探索创新： 若三边长分别为、、（，，且），试运用构图法直接写出这个三角形的面积是_______． 18．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）【阅读理解】如图，将两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，再将这四个直角三角形无重叠无空隙地拼接在一起，就得到一个面积为的较大正方形．这个较大正方形的边长为_______． 【拓展应用】 （1）图是由个边长为的小正方形组成的图形，请你剪拼成一个大正方形（最多剪四次），并在的正方形网格中画出你剪拼成的图形，并适当的标记说明你是如何剪拼的； （2）如图，两个正方形纸片的面积分别为，，请用这两个小正方形拼剪构造一个大正方形（最多剪两次），请画出拼剪后的图形； 【经典例题四 勾股定理的折叠问题】 19．（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 20．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 21．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 22．（25-26八年级上·广东佛山·月考）（1）在中，，，过点A作直线的垂线，垂足为D． ①图1，若，求线段的长； ②若，求线段的长， （2）如图2，在中，，，过点A作直线的垂线，交线段于点D．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 23．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，，是边上的高． (1)求的长； (2)①如图2，点E是线段上的一点（不包括点A和点D），和关于成轴对称，交边于点G．求证：； ②如图3，在①的条件下，直线交边于点H，求的最大值． 24．（25-26八年级下·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是． (1)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：． (2)如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【经典例题五 勾股定理的新定义问题】 25．（24-25八年级下·四川自贡·月考）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形” (1)如图1，已知四边形是垂美四边形．若，探究a，b，c，d的数量关系． (2)如图2，在长方形中，，P是边上一点，且，求的长 26．（24-25九年级·全国·假期作业）我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． （1）如图1，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P是△APD的准外心； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，试求AP的长． 27．（24-25八年级上·江西抚州·期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若三边长分别是2，和4，则此三角形______常态三角形（填“是"或“不是”）； (2)在中，，，若是常态三角形，则______． (3)如图，在中，，，点D在线段上，连接且，若是常态三角形，求的面积． 28．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）【课题学习】 通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； （3）在中，三边长分别为，且，，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； 探究： 在中，，，，，且．若是奇异三角形，求． 29．（24-25八年级下·云南昆明·期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点． （1）特例感知 如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝3，CD＝1，试求线段AD的长度． （2）深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点且AC＞AB，AD是BC边上的高．试探究线段CD与AB的数量关系，并给予证明． 30．（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 三角形的等角线新定义：我们规定：在任意中，在边上取两点，，若，则称线段，为的等角线，如图1． 定义应用： 如图2，在中，是角平分线，点，分别在，上（不与端点重合），连接，．若点到，的距离相等，判断线段，是否为的等角线，并说明理由． 解答过程如下： 解：，是的等角线． 理由：如图3，过点分别作于点，于点，则． 平分．（依据） ． …… 任务： (1)解答过程中“依据”的内容是______． (2)请将解答过程补充完整． (3)如图4，在等腰直角三角形中，，线段，是的等角线，且．若，求的长． 【经典例题六 勾股定理逆定理综合应用】 31．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．下图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，且． (1)试说明：． (2)求阴影部分的面积． 32．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 33．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）车库门前有一块四边形绿化地，如图1，现测得绿化地四边长分别为米，米，米，且为直角． (1)求的度数； (2)因为种植需要，现将绿化地分成两块分别种植太阳花和小菊花，如图2，线段刚好把绿化地分成了面积相等的两部分，则长几米？ 34．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图是小晨在公园里跑步的路线图，从点A到点D有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正西方处，点D在点C的正北方处． (1)求证：； (2)请你通过计算比较这两条路线中哪条路线更长？（参考数据：） 35．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 36．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A、B之间的距离，他们的操作过程如下： ①沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使； ②在的一侧选点D，使，； ③测得． 请根据他们的操作过程，求出池塘两端A、B之间的距离． 【经典例题七 勾股定理的应用综合应用】 37．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 38．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 39．（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 40．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 41．（25-26八年级下·江西南昌·开学考试）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并解答问题． 今天，我在参加学校举办的升国旗仪式时，发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面时，其末端刚好与旗杆底端重合，那么，能不能借助这段绳子的长度测量旗杆的高度呢？我设计了如下测量方案： 【测量方案】 如图，线段表示旗杆，点A是旗杆的顶端，用手拉住绳子末端，从点B处后退，当绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点D处，此时测得点D到地面的距离为2米，B，C两点之间的距离为8米，已知A，B，C，D四点均在同一竖直平面内． 【计算过程】 解：如图，过点D作于点E， ∴米，米， … 请将小聪的计算过程补充完整． 42．（25-26八年级上·河南郑州·月考）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点在点的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______（填字母） A．    B． C．    D． (2)【拓展应用】如图②，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱，为底面．现在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，画出示意图，并求出此最短路程的长度．（木板的厚度忽略不计，只画出路程最短的一种情况即可） 【经典例题八 最短路径之蚂蚁爬行问题】 43．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处．画出圆柱形纸杯侧面展开图（画一半侧面展开图即可），并求出蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离是多少？（杯壁厚度不计）    44．（24-25八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答： (1)用语言叙述勾股定理； (2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少?（画出图形，并说明理由） 45．（24-25八年级下·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 46．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为____________，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________． 【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 47．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米； 第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米； 第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况． 【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度． (1)根据题意知圆柱底面半径厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形（取3），其中一条直角边（圆柱侧面展开后长方形的高）为　　　厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为　　　厘米； (2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程． 48．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，点C在OA上，点D在线段BO延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系为___________；位置关系为___________． （2）如图2，将图中的△COD绕点O顺时针旋转α（0°<α<90°）． ①第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由． ②连接AC，BD．若OC=3，OB=4，在旋转过程中，当线段BC和线段AD交于点E时，求AC2+BD2的值． （3）如图3，△ABC是等边三角形，点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，若∠ADC=30°，AD=4，CD=3，求BD的值． 【经典例题九 勾股定理中的旋转问题】 49．（24-25八年级上·山西太原·月考）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 50．（24-25八年级上·山东东营·期末）旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转变换等知识，解决下面的问题．如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N． （1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，并证明AM2+BN2=MN2． （2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD，若BC=4，CD=3，则对角线AC的长度为多少？ 51．（24-25八年级上·山东济南·期末）已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC． (1)[初步感知]如图①，当点D、E分别落在边AB、AC上时，那么DB______EC．（填＜、＞或＝） (2)[发现证明]如图②，将图①中的△ADE的绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC； (3)[深入研究]如图③，如果△ABC和△ADE都是等边三角形，且点C、E、D在同一条直线上，则∠CDB的度数为_______；线段CE、BD之间的数量关系为_______； (4)[拓展应用]如图④，如果△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，作AM⊥DE，若AB＝，BD＝，求AM的长． 52．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）综合与实践：小明制作了2张如图①的纸片，其中四边形、均为正方形，他把其中的一张纸片沿对称轴把它剪开，然后把对称轴一侧的部分，沿翻折，再绕着的中点旋转，这样就形成了如图②的图形． (1)在图②中，请先判断与的数量关系，再说明理由． (2)图①图形的面积可以表示为______．图②图形的面积可以表示为______．从而得数学等式：______，化简证得定理______． (3)在图②中，，，连接，求图②中的长． 53．（24-25八年级上·山西太原·月考）项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 54．（2025·江苏常州·二模）学习材料1：将一边的中点M与三角形的一个顶点连接得到中线，中线将三角形分成两个小三角形，若其中一个小三角形绕中点M旋转后的三角形与另一个小三角形拼成等腰三角形，则称是关于点M的“奇妙三角形”． 学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， 设， 由题意得 ， 由 ，得 ，得 ，而 ，得 ． 这样我们得到了已知三角形三边求中线的公式． 通过以上材料的学习，完成下列学习任务： （1）等腰直角三角形是否“奇妙三角形”? (填：“是”或“否”)； （2）如图②，中，， ， N是的中点， 是关于点N的“奇妙三角形”．求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 勾股定理章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 勾股树（数）问题 题型二 勾股定理的证明方法 题型三 网格中的勾股定理问题 题型四 勾股定理的折叠问题 题型五 勾股定理的新定义问题 题型六 勾股定理逆定理综合应用 题型七 勾股定理的应用综合应用 题型八 最短路径之蚂蚁爬行问题 题型九 勾股定理中的旋转问题 【经典例题一 勾股树（数）问题】 1．（25-26八年级上·河南南阳·月考）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五；后人概括为“勾三、股四、弦五”；观察：3，4，5；5、12，13；7，24，25；9，40，41；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦：当勾时，股，弦： (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数： (2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么用含的代数式来表示这些勾股数的勾_______、股_______、弦_______，并写出股和弦的一个关系并加以证明． 【答案】(1)11，60，61 (2)勾：，股：，弦：；关系式为弦股 ，证明见解析 【分析】本题主要考查了勾股数问题，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可得股等于勾的平方与1的差的一半，弦等于勾的平方与1的和的一半，再由勾为11，可求出答案； （2）观察可得股等于勾的平方与1的差的一半，弦等于勾的平方与1的和的一半，据此可得股、弦，进而猜想关系证明即可． 【详解】（1）解：当勾时，股，弦， ∴下一组勾股数为11，60，61； （2）解：当为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：，，， 股和弦的关系式为弦股，证明如下： 弦股 ． 2．（24-25八年级下·全国·期末）能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格： 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 … … a，b，c (1)试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论． (2)写出当时，b，c的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股数，数字规律探究： （1）观察表格中的数据，得到三个数满足勾股定理，最小的数为奇数，另两个数为连续的正整数，且两个数的和等于最小的数的平方，推出设m为大于1的奇数，将 拆分为两个连续的整数之和，即 ，则m，n，就构成一组简单的勾股数． （2）利用（1）中的结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知：共同点：①各组数均满足； ②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数； ③最小的数的平方等于另两个连续整数的和， 如 由以上共同点我们可得出这样一个结论：设m为大于1的奇数，将 拆分为两个连续的整数之和，即 ，则m，n，就构成一组简单的勾股数． 证明： （m为大于1的奇数）， ∴m，n，是一组勾股数． （2）由（1）中的结论可知，， 当时，， 解得：， 则． 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 【答案】(1)16，5 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质及面积，熟练掌握这些知识是解这道题的关键． （1）根据勾股定理知两直角边的平方和等于斜边的平方，在勾股树中就是两较小正方形的面积和等于较大正方形的面积，知道这点关系即可解决此问题； （2）①证和全等，即可得出结论； ②根据正方形，正方形的面积分别为16，9，求出这两个正方形的边长，从而利用勾股定理求出的长度，根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得， 正方形E的面积是16， 同理可得， ， 正方形G的边长为5． 故答案为：16，5． （2）①证明：∵正方形和正方形， ，， ， 在和中， ， ． ②解：正方形，正方形的面积分别为16，9， ，，， ． 由①可知：． 4．（25-26八年级上·上海·月考）阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 【答案】探究1（1）①6，8，10；②见解析；探究2（2）①，；②，，证明见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式． （1）①根据为正整数举例即可； ②通过计算验证给定公式满足勾股定理即可； （2）①根据奇数勾股数的规律，勾的平方减1除以2得股，加1除以2得弦即可； ②由①得出规律，并证明其满足勾股定理即可． 【详解】解： 探究1：（1）①∵3，4，5是一组勾股数， 又为正整数， ∴当时，，，，且， ∴6，8，10也是一组勾股数（答案不唯一） ②证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴a，b，c是一组勾股数 （2）①如果勾为7，则股，弦， 故答案为：；； ②当（，且n为奇数）时，，； 证明：∵，， ∴， ∴该规律合理． 故答案为：；． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数？ 【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形． 【探索新知】 （1）从面积的角度思考，请用两种方法计算五边形的面积，并写出得到等式的过程． （2）如果满足等式的a、b、c是三个正整数，我们称a、b、c为勾股数．已知m、n是正整数且，证明：、、是勾股数． 【灵活运用】 （3）在如图所示的五边形中，若，，则空白部分的面积为________． （4）请写出任意一组含有85的“勾股数”：________． （5）小明在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中的最大的一个数，则另两个数的表达式是________、________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）48；（4）85，3612，3613（答案不唯一）；（5）； 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股数，准确识图，理解勾股数，熟练掌握勾股定理，根据不同的方法求出同一个图形的面积是解决问题的关键． （1）方法一：，方法二：，由此可得出结论； （2）根据即可得出结论； （3）由（1）中的方法一得，得，再求出，由此可得图中空白部分的面积； （4）不妨假设，m、n是正整数且，则，①当，时得，，进而可得到一组勾股数；②当，时得，，进而可得到一组勾股数（答案不唯一）； （5）根据即可得出另两个表达式． 【详解】（1）解：如图所示： 方法一： 方法二： ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵m、n是正整数且， ∴、、都是正整数， ∴、、是勾股数； （3）∵，， 由（1）可知：， 又∵， ∴图中空白部分的面积为：， 故答案为：48； （4）不妨假设，m、n是正整数且， ∴， ①当时，解得：， ∴，， ∴85，3612，3613是一组勾股数； ②当时，解得：， ∴，， ∴85，132，157是一组勾股数， 故答案为：85，3612，3613（答案不唯一）； （5） ， ∴另两个表达式为：，， 故答案为：，． 6．（24-25八年级下·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个． ②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系． (2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________． 【答案】(1)①3；②满足，证明见解析 (2) 【分析】（1）设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据，求解之间的关系，进而可得结果；②根据，，，可得； （2）由题意知，，，，，，代入求解即可． 【详解】（1）①解：设两直角边分别为，，斜边为， 则图2中，， ∵， ∴，故图2符合题意； 图3中，，，， ∵， ∴，故图3符合题意； 图4中，，，， ∵， ∴，故图4符合题意； ∴这3个图形中面积关系满足的有3个， 故答案为：3； ②解：满足，证明如下： 由题意知，，， ∴； （2）解：由题意知，，，，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积． 【经典例题二 勾股定理的证明方法】 7．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，垂足为H，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)8 【分析】本题主要考查勾股定理及梯形、三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； （1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值. 【详解】（1）解：∵ ， 整理得： （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是直角三角形 在中， 在中， ∴ ∵，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得. 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）请你根据图形及提示证明勾股定理图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形 (1)毕达哥拉斯的证法图： 补充完整以下证明过程 证明：正方形①的面积______ 正方形②的面积______． 又正方形①与正方形②的边长相等， ____________． ； (2)请你写出弦图图的另一种证法． 【答案】(1)，，， (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质，解决本题的关键是根据题意得到等量关系． （1）根据题意即可完成填空； （2）根据题意，由图可知大正方形的面积个三角形的面积小正方形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． 【详解】（1）证明：正方形①的面积， 正方形②的面积， 又正方形①与正方形②的边长相等， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由图可知大正方形的面积个三角形的面积小正方形的面积， ， 即． 9．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）（1）如图1，在四边形中，对角线、相交于点，且． ①求证：； ②若，，，则的长为______； （2）勾股定理现约有五百种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一．其中有一类是运用不同方法计算同一图形的面积，从而得到等式，运用等式性质变形证明勾股定理．例如在《周髀算经》里，古代中国数学家赵爽设计“弦图”（图2）进行勾股定理的证明．如图3，已知在四边形中，，，，对角线、相交于点，且，，作，垂足为．根据已知条件，请用图3证明勾股定理：在中，，求证：． 【答案】（1）①见解析②（2）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理的证明与应用，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． （1）①根据三角形面积公式得，，则，据此即可得出结论； ②在和中，由勾股定理得，，则，在和中，由勾股定理得，，则，由此得，再根据，，即可得的长； （2）先证明，进而依据“”判定和全等得，，则，，进而得，再由（1）①的结论得，则，据此即可得出结论． 【详解】解：（1）①证明：∵， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴均为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：； （2）证明：，垂足为M，，垂足为E， ∴， ∴和都是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， 由（1）①的结论得：， ∴， 即． 10．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米? (3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少千米 (3)见解析， 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 11．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1)见解析； (2)①；②绳索的长为 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）根据正方形的面积为，或，即可得到，化简即可证明； （2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； ②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，正方形的边长为，则面积为， 又正方形由正方形和4个全等的三角形组成，故面积为， ∴， 即， ∴． 即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和． （2）解：①∵在中，，， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 答案为：； ②∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，即， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：． ∴绳索的长为． 12．（25-26八年级上·福建漳州·期中）运用“同一图形的面积用不同方式表示”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法．黄老师在讲授勾股定理的证明时，让同学们准备两个全等的直角三角形纸片，通过动手操作探究勾股定理的证明方法： 方案 勾股定理的证明方法探究 任务与思路 总统证法 美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明． （1）根据阅读内容，图中梯形的面积用两种方法表示分别为______和______． （2）根据（1）中的结果，写出证明过程． 常春证法 将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且，，．点落在上，点与点重合，斜边与斜边交于点，连接，． 由全等的性质可得：，，，由可得； 利用得， 化简得． 拓展 将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且，，．点、都落在上，斜边与斜边交于点，连接，，． （3）同上，易得，请用等面积法利用左图证明勾股定理． 【答案】（1），；（2）证明见解析（3）证明见解析 【分析】本题考查勾股定理及其证明，熟练掌握勾股定理的证明是解题的关键． （1）根据题意结合梯形面积公式可得，图中梯形的面积用两种方法表示分别为和； （2）根据梯形和三角形的面积公式可得，即，化简证得； （3）根据题意可得，设，则，列方程为，化简证得． 【详解】（1）解：根据题意得，图中梯形的面积用两种方法表示分别为和， 故答案为：，； （2）证明：， ， ， ， ； （3）证明：∵ 设，则， ， ， ． 【经典例题三 网格中的勾股定理问题】 13．（25-26八年级上·宁夏银川·月考）如图所示，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下面的要求画图． (1)在图（1）中画一个面积为5的正方形； (2)在图（2）中画，使，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案； （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：如图（1），正方形即为所作： （2）解：如图（2），即为所作． 14．（25-26八年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图： (1)在图①中，连接、，使． (2)在图②中，连接、、，使． (3)在图③中，在边上找格点，连接，使的面积是面积的2倍． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)见解析 (3)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理得； （2）连接，取中点M，结合勾股定理得； （3）在边上找格点，使，然后连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点M即为所求； （2）如图所示，点M即为所求； （3）如图所示，点M即为所求； 15．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，D都在格点上． 问题：比较与的大小； 如图1，在正方形网格中构造△ABC，可以比较与的大小， 其理由如下：在中，， 根据勾股定理，得，． ∵，∴． (1)应用：请参考上述方法，在图2中构造图形，比较+与的大小，并说明理由； (2)延伸：请在图3中构造图形，求的度数．（直接写出答案，不必说明理由）． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的性质，对称的性质以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键． （1）画出图形，再由勾股定理求出、、的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． （2）取点关于的对称点，连接，利用勾股定理可知，根据图片可知，，是等腰直角三角形，由对称的性质可知，利用等量代换，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图： 构造，由勾股定理得： ， ， ， 在中：， ， （2）解：如图： 取点关于的对称点，连接，， 由对称的性质可知：， 由图可知：, 则， ， 是等腰直角三角形， , , ， 即：． 16．（25-26八年级上·江苏常州·期中）图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形四的面积为，则这个格点正方形的边长为． (1)图②是由个小正方形网格组成的图形．那么格点正方形的边_______． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)在由个小正方形网格组成的图④中，画出边长为的格点正方形． (4)在数轴上画出对应的点点． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析； (4)见解析． 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格、勾股定理与实数，解决本题的关键是利用勾股定理画出长度为无理数的线段． 直接运用勾股定理计算即可； 因为，利用勾股定理画图即可； 因为，利用勾股定理画图即可； 在数轴上构造直角边长为和的直角三角形，直角三角形的斜边为，以为圆心为半径，向左画弧，弧与数轴的交点表示的数为. 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 在由个小正方形网格组成的图中画出边长为的格点正方形，如下图所示； （3）解：， 在由个小正方形网格组成的图中画出边长为的格点正方形，如下图所示； （4）解：在数轴上画出对应的点点，如下图所示． 17．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）问题背景：在中，、、三边的长分别为、、，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示，这样不需要求的高，而是借用网格就能计算出它的面积．请你将的面积直接填写在横线上：_____． 思维拓展： 我们把上述求面积的方法叫做构图法，如果三边长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积． 探索创新： 若三边长分别为、、（，，且），试运用构图法直接写出这个三角形的面积是_______． 【答案】问题背景：；思维拓展：见解析，面积为；探索创新： 【分析】本题是开放性的探索问题，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答． 问题背景：分割法求出三角形的面积即可； 思维拓展：根据题意利用勾股定理作出图形即可； 探索创新：易得此三角形的三边分别是直角边长为，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积． 【详解】解：问题背景：的面积， 故答案为：； 思维拓展：如图所示，为所求； 的面积， 探索创新：构造如图所示， ． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）【阅读理解】如图，将两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，再将这四个直角三角形无重叠无空隙地拼接在一起，就得到一个面积为的较大正方形．这个较大正方形的边长为_______． 【拓展应用】 （1）图是由个边长为的小正方形组成的图形，请你剪拼成一个大正方形（最多剪四次），并在的正方形网格中画出你剪拼成的图形，并适当的标记说明你是如何剪拼的； （2）如图，两个正方形纸片的面积分别为，，请用这两个小正方形拼剪构造一个大正方形（最多剪两次），请画出拼剪后的图形； 【答案】阅读理解：；拓展应用：（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，解决本题的关键是根据网格的特点画出正方形. 阅读理解、根据正方形的面积公式可知，拼成的大正方形的边长为； 拓展应用因为个边长为的小正方形的面积为，所以拼成的大正方形的边长为，把原图形中剪下两个斜边长为的直角三角形，再拼成一个边长为的正方形即可； 因为两个正方形的面积分别为，，所以拼成的大正方形的面积一定为，在原图形中剪下两个直角边长分别为和的直角三角形，则这个直角三角形的斜边长为，把这两个直角三角形和剩余的部分重新拼接成一个边长为的大正方形即可． 【详解】阅读理解：解：大正方形的面积为， 大正方形的边长为， 故答案为：； 拓展应用 解：如下图所示， 小正方形的边长为， ， 把图中、两个直角三角形，沿虚线剪下来， 把剪下来的两个直角三角形拼在下面网格图中拼成一个大正方形， 如下图所示， 解：，， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， 如下图所示，沿下图中虚线剪开， 如下图所示，把剪下的两个直角三角形按如图位置拼接． 【经典例题四 勾股定理的折叠问题】 19．（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 20．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 【答案】(1)①10；② (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可； （2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴． ②由折叠得：， ∴， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴的长为． （2）解：设，则． ∵是边上的高， ∴． 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 21．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 22．（25-26八年级上·广东佛山·月考）（1）在中，，，过点A作直线的垂线，垂足为D． ①图1，若，求线段的长； ②若，求线段的长， （2）如图2，在中，，，过点A作直线的垂线，交线段于点D．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 【答案】（1）①；②的长为4或14；（2） 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，等积法的应用，由勾股定理列方程求解是解题关键． （1）①设，则，根据勾股定理可列出关于x的方程，求出x的值，即可解答； ②分类讨论：当为锐角时和当为钝角时，根据勾股定理求出和的长，即可解答； （2）连接，交于点N，过点作，交延长线于点H．根据勾股定理求出和的长，再根据折叠的性质和等积法可求出和的长，设，根据勾股定理可列出关于y的方程，求出y的值，即可解答． 【详解】解：（1）①设，则． ∵， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴； ②分类讨论：当为锐角时，如图， ∵， ∴，， ∴； 当为钝角时，如图， ∵， ∴，， ∴． 综上可知的长为4或14； （2）如图，连接，交于点N，过点作，交延长线于点H． ∵， ∴，． 由折叠可知，垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则，， 在中，；在中，， ∴，即， 解得：， ∴，， ∴在中，． 23．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，，是边上的高． (1)求的长； (2)①如图2，点E是线段上的一点（不包括点A和点D），和关于成轴对称，交边于点G．求证：； ②如图3，在①的条件下，直线交边于点H，求的最大值． 【答案】(1)； (2)①见解析；②的最大值为． 【分析】（1）利用勾股定理和三角形的面积公式解答即可； （2）①利用轴对称的性质得到，，利用三角形的外角的性质和等式的性质解答即可； ②利用轴对称的性质和全等三角形的判定与性质得到，利用垂线段最短的性质得到当最小时，取得最大值，即点G与点D重合时，取得最小值为． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）①证明：∵和关于成轴对称， ∴， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，取得最大值， ∵G为上一点， ∴点G与点D重合时，取得最小值为， ∴FG的最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及其推论，垂线段最短的性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 24．（25-26八年级下·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是． (1)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：． (2)如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据题意，结合图形，根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据翻折变换的特点、结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，，，且， 整理得，， ； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， 则， 解得，， 则的长为3． 【点睛】本题考查了勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 【经典例题五 勾股定理的新定义问题】 25．（24-25八年级下·四川自贡·月考）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形” (1)如图1，已知四边形是垂美四边形．若，探究a，b，c，d的数量关系． (2)如图2，在长方形中，，P是边上一点，且，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理，理解新定义，灵活运用勾股定理构建方程是解题的关键． （1）根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理即可得出结论； （2）连接，先证明四边形是垂美四边形，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是“垂美四边形”， ∴， ∴ 由勾股定理得，， ∴，即； （2）解：如图，连接， 设，则， ∵， ∴四边形是“垂美四边形”， ∴ ∵四边形是长方形， ∴ ∴， 解得：(负值舍去)， ∴． 26．（24-25九年级·全国·假期作业）我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． （1）如图1，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P是△APD的准外心； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，试求AP的长． 【答案】（1）见解析；（2）AP的长为或2或 【分析】（1）利用AAS证明△ABP≌△PCD，得到AP＝PD，由定义可知点P是△APD的准外心； （2）先利用勾股定理计算AC=4，再进行讨论：当P点在AB上，PA＝PB，当P点在AC上，PA＝PC，易得对应AP的值；当 P点在AC上，PB＝PC，设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x，利用勾股定理得到32+t2＝(4﹣t)2，然后解方程得到此时AP的长． 【详解】（1）证明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°， ∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°， ∴∠PAB＝∠DPC， 在△ABP和△PCD中， ， ∴△ABP≌△PCD（AAS）， ∴AP＝PD， ∴点P是△APD的准外心； （2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3， ∴AC4， 当P点在AB上，PA＝PB，则APAB； 当P点在AC上，PA＝PC，则APAC＝2， 当P点在AC上，PB＝PC，如图2， 设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x， 在Rt△ABP中，32+t2＝(4﹣t)2，解得t， 即此时AP， 综上所述，AP的长为或2或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及新定义的运用能力．理解题中给的定义是解题的关键． 27．（24-25八年级上·江西抚州·期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若三边长分别是2，和4，则此三角形______常态三角形（填“是"或“不是”）； (2)在中，，，若是常态三角形，则______． (3)如图，在中，，，点D在线段上，连接且，若是常态三角形，求的面积． 【答案】(1)是 (2) (3)的面积为或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据常态三角形的定义判定即可； （2）根据常态三角形的定义以及勾股定理即可求解； （3）根据常态三角形的定义得出等式求出的长，再由勾股定理即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形． 故答案为：是； （2）∵是常态三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：当时， ∵， ∴， 在中，， 此时， 当时， ∵， ∴， 在Rt△ABC中，， 此时， 故的面积为或． 28．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）【课题学习】 通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； （3）在中，三边长分别为，且，，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； 探究： 在中，，，，，且．若是奇异三角形，求． 【答案】（1）是；（2）是；（3）是；探究： 【分析】本题考查了奇异三角形的定义、等边三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，在解答（2）时要注意分类讨论． （1）根据题中所给的奇异三角形的定义、等边三角形的性质判断； （2）根据奇异三角形的定义判断； （3）分为斜边、为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断； 探究：根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． 【详解】解：（1）设等边三角形的边长为， ， ∴等边三角形一定是奇异三角形， 故答案为：是； (2)∵， ∴该三角形一定是奇异三角形； （3）当为斜边时，不是奇异三角形； 当为斜边时，， ∴是奇异三角形； ， ∴是奇异三角形； 拓展：中，， ， ， ， ∵是奇异三角形， ， ， ， ， ． 29．（24-25八年级下·云南昆明·期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点． （1）特例感知 如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝3，CD＝1，试求线段AD的长度． （2）深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点且AC＞AB，AD是BC边上的高．试探究线段CD与AB的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）；（2）CD＝AB，证明见解析 【分析】（1）根据勾股定理可得：AB2＝AD2+9，CA2＝AD2+1，于是AD2＝（AD2+9）﹣（AD2+1）＝8，即可解决问题； （2）由CA2﹣AB2＝AD2可得：CA2﹣AD2＝AB2，而CA2﹣AD2＝CD2，即可推出CD2＝AB2． 【详解】解：（1）如图1，根据勾股定理可得：AB2＝AD2+9，AC2＝AD2+1， ∵△ABC为勾股高三角形，A为勾股顶点， ∴AB2﹣CA2＝AD2， ∴AD2＝（AD2+9）﹣（AD2﹣1）＝8， ∴AD＝2； （2）CD＝AB， 如图2，∵△ABC为勾股高三角形，A为勾股顶点，且AC＞AB， ∴AC2﹣AB2＝AD2，即AC2﹣AD2＝AB2， ∵AC2﹣AD2＝CD2， ∴CD2＝AB2， 即CD＝AB． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 30．（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 三角形的等角线新定义：我们规定：在任意中，在边上取两点，，若，则称线段，为的等角线，如图1． 定义应用： 如图2，在中，是角平分线，点，分别在，上（不与端点重合），连接，．若点到，的距离相等，判断线段，是否为的等角线，并说明理由． 解答过程如下： 解：，是的等角线． 理由：如图3，过点分别作于点，于点，则． 平分．（依据） ． …… 任务： (1)解答过程中“依据”的内容是______． (2)请将解答过程补充完整． (3)如图4，在等腰直角三角形中，，线段，是的等角线，且．若，求的长． 【答案】(1)在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据角平分线的性质求解即可； （2）根据是的角平分线，得到，进而得到，即可判断； （3）过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质可得：，，结合，线段，是的等角线，推出平分，得到，根据求出，证明，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：解答过程中“依据”的内容是：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， 故答案为：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上； （2）是的角平分线， ， ，即． 线段，是的等角线； （3）如图：过点作于点，过点作于点， 为等腰直角三角形， ，． 又，线段，是的等角线． ， 平分， 又， ， ，，， ， ． ，， ， ， ． 【经典例题六 勾股定理逆定理综合应用】 31．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．下图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，且． (1)试说明：． (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由勾股定理逆定理，得到是直角三角形即可证明； （2）过作于点，三线合一求出的长，利用等腰三角形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：（1）在中，，，， ，， ， 是直角三角形，． （2）解：如图，过点作于点， ． ， ． 在中，， ， ． ， ， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 32．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【答案】(1)15米 (2)22800元 【分析】（1）利用勾股定理直接计算求解即可． （2）根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式， 面积乘以单价计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故的长为15米． （2）解：∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为：． 购买运动型塑胶地板的总费用为（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 33．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）车库门前有一块四边形绿化地，如图1，现测得绿化地四边长分别为米，米，米，且为直角． (1)求的度数； (2)因为种植需要，现将绿化地分成两块分别种植太阳花和小菊花，如图2，线段刚好把绿化地分成了面积相等的两部分，则长几米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，先在中由勾股定理求解，然后由勾股定理逆定理证明，根据为等腰直角三角形得到，即可求解的度数； （2）先求出四边形的面积，然后对运用面积公式求解，最后再对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图是小晨在公园里跑步的路线图，从点A到点D有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正西方处，点D在点C的正北方处． (1)求证：； (2)请你通过计算比较这两条路线中哪条路线更长？（参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)路线更长 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理判定即可； （2）根据勾股定理可求的长度，比较和即可． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ， ， ； （2）解：在中，，， 由勾股定理，得， ， ． ， 路线更长． 35．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风中心移动的速度为 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响； （2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 过点作于点，如图： 、、 是直角三角形， 即 海港受台风影响； （2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图，过点作于点 时，正好影响海港， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 台风影响海港持续的时间为5小时 ∴台风中心移动的速度为 答：台风中心移动的速度千米/小时． 36．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A、B之间的距离，他们的操作过程如下： ①沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使； ②在的一侧选点D，使，； ③测得． 请根据他们的操作过程，求出池塘两端A、B之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握以上两个定理． 由勾股定理的逆定理得出直角三角形，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴为直角三角形，， 由勾股定理得，， ∴A、B之间的距离为． 【经典例题七 勾股定理的应用综合应用】 37．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为21.5米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． (1)利用勾股定理求出的长，即可解决问题； (2)根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到， 由题意可知，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线8米． 38．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 39．（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）设为x尺， 则，尺． 在中，， 由勾股定理，得 ． ． 解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，， 则，， 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 40．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 【答案】千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，根据勾股定理得到，求解即可． 【详解】设，则， ，，， ， ， 解得， 中转站P应修建在离点M千米处． 41．（25-26八年级下·江西南昌·开学考试）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并解答问题． 今天，我在参加学校举办的升国旗仪式时，发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面时，其末端刚好与旗杆底端重合，那么，能不能借助这段绳子的长度测量旗杆的高度呢？我设计了如下测量方案： 【测量方案】 如图，线段表示旗杆，点A是旗杆的顶端，用手拉住绳子末端，从点B处后退，当绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点D处，此时测得点D到地面的距离为2米，B，C两点之间的距离为8米，已知A，B，C，D四点均在同一竖直平面内． 【计算过程】 解：如图，过点D作于点E， ∴米，米， … 请将小聪的计算过程补充完整． 【答案】旗杆的高度为17米 【详解】解：由题意知，四边形是矩形， ∴米，米， 设旗杆的高度为x米， 则的长度为米， 在中，，，， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴旗杆的高度为17米． 42．（25-26八年级上·河南郑州·月考）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点在点的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______（填字母） A．    B． C．    D． (2)【拓展应用】如图②，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱，为底面．现在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，画出示意图，并求出此最短路程的长度．（木板的厚度忽略不计，只画出路程最短的一种情况即可） 【答案】(1) (2)示意图见解析， 【分析】本题主要考查了立体图形展开、平面几何基本原理以及勾股定理的应用，解题的关键在于将立体表面转化为平面，利用平面几何知识解决最短路径问题． （1）根据圆柱的侧面展开图为长方形，再结合过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，即可得出结论； （2）先将长方体的侧面和侧面展开，再作点关于的对称点，连接交于点，则，把立体表面的折线路径转化为平面内的线段，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：由题知，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝， 根据两点之间线段最短可知，将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是， 故选：； （2）如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点关于的对称点，连接交于点，则， 所以， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，即的值最小， 此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程， 在中，，根据勾股定理，得， 所以最短路程为． 【经典例题八 最短路径之蚂蚁爬行问题】 43．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处．画出圆柱形纸杯侧面展开图（画一半侧面展开图即可），并求出蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离是多少？（杯壁厚度不计）    【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，将纸杯侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】解：将纸杯沿侧面展开，作关于的对称点， 连接，则即为最短距离，如图所示：   ， ，， 在中，由勾股定理得， ， 故蚂蚁从外壁到内壁处的最短距离为． 44．（24-25八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答： (1)用语言叙述勾股定理； (2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少?（画出图形，并说明理由） 【答案】(1)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 (2)见解析 (3) 【分析】（1）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）利用等面积建立等式进行解答； （3）把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出即可． 【详解】（1）解：勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． （2）解：若选图1，则由图形可知：， 整理得：； 选择图2，则由图形可知：． 整理，得； 若选图3，则由图形可知：， 整理得：． （3）解：把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出． 当展开图形为①：当展开图为②：当展开图为③： ①② ③ ∵， ∴蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明与应用．解答该题时，利用“数形结合”的数学思想是解答关键． 45．（24-25八年级下·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 【答案】(1)沿线段爬行；理由见解答过程 (2)D；6 (3)蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由见解答过程 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． （1）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可； （2）根据图形可得出最短路径为，进而得出答案即可； （3）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可． 【详解】（1）解：沿线段爬行；理由如下： 如图所示，根据两点之间线段最短，沿线段爬行即可； （2）解：如图所示： 最短路径的长度为， ，即， 如图所示： ∴路线有6条， 故选：D；6； （3）解：蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由如下： 如图2.1和图2.2所示作图，分别连接， 图2.1中； 图2.2中； ， 图2.2中的路径最短． 46．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为____________，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________． 【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，如图， 由题意得， ， 故这只蚂蚁爬行的最短路程为． 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ，此时蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短，最短路程为的长， ， ∴， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 47．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米； 第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米； 第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况． 【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度． (1)根据题意知圆柱底面半径厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形（取3），其中一条直角边（圆柱侧面展开后长方形的高）为　　　厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为　　　厘米； (2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查圆柱侧面展开图与勾股定理的应用，解题的关键是将圆柱侧面展开，把立体图形上的最短路径问题转化为平面图形中直角三角形的斜边求解问题． （1）先根据圆柱的相关数据求出侧面展开图长方形的两条直角边的长度， （2）利用勾股定理求出展开图中连接A、B两点线段的长度，即蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】（1）解：已知圆柱的高为4厘米，圆柱侧面展开后长方形的高就等于圆柱的高，所以其中一条直角边为4厘米， 已知圆柱底面半径厘米，取3，根据圆的周长公式，则底面圆周长的一半为厘米，即另一条直角边为6厘米， 故答案为：，； （2）解：（厘米）， 答：蚂蚁从点爬到点的最短路程厘米． 48．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，点C在OA上，点D在线段BO延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系为___________；位置关系为___________． （2）如图2，将图中的△COD绕点O顺时针旋转α（0°<α<90°）． ①第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由． ②连接AC，BD．若OC=3，OB=4，在旋转过程中，当线段BC和线段AD交于点E时，求AC2+BD2的值． （3）如图3，△ABC是等边三角形，点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，若∠ADC=30°，AD=4，CD=3，求BD的值． 【答案】（1）；；（2）①仍然成立，见解析；②50；（3） 【分析】（1）利用SAS证明，可得结论；延长交于F，由全等得出，再由，即可得出，进而得出结论； （2）①与（1）同理可证明结论成立； ②由①知，由勾股定理得出，进而得出答案； （3）过点D作，且满足，连接 首先证明是等边三角形，进而证明，得出，在中，由勾股定理求出即可． 【详解】（1）∵和是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴（SAS）， ∴， 延长交于F， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 故答案为：； （2）①仍然成立， ∵， ∴， ∵， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴ ②如图， 由①知， 在中， 在中， ∴ （3）过点D作，且满足，连接 ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，勾股定理等知识点，（3）要添加恰当辅助线，构造全等三角形解决问题，综合性较强． 【经典例题九 勾股定理中的旋转问题】 49．（24-25八年级上·山西太原·月考）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 50．（24-25八年级上·山东东营·期末）旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转变换等知识，解决下面的问题．如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N． （1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，并证明AM2+BN2=MN2． （2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD，若BC=4，CD=3，则对角线AC的长度为多少？ 【答案】（1）见解析；（2）6 【分析】（1）根据旋转的性质画出图形即可；连接M'N，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答即可； （2）将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答． 【详解】解：（1）旋转后的如图1所示： 如图1，连接M'N， ∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠DCE=45°， ∴∠A=∠CBA=45°，∠ACM+∠BCN=45°， ∵△BCM'是由△ACM旋转得到的， ∴∠BCM'=∠ACM，CM=CM'，AM=BM'，∠CBM'=∠A=45°， ∴∠M'CN=∠MCN=45°，∠NBM'=90°， 在△MCN与△M'CN中，， ∴△MCN≌△M'CN（SAS）， ∴MN=M'N， 在Rt△BM'N中，根据勾股定理得：M'N2=BN2+BM'2， ∴MN2=AM2+BN2； （2）如图2，将顺时针旋转90°到，连接BD、BD'、CC'， ∵AC平分， ∴ 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴点在同一直线上， 又∵ ∴ ∴， 在和中， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答． 51．（24-25八年级上·山东济南·期末）已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC． (1)[初步感知]如图①，当点D、E分别落在边AB、AC上时，那么DB______EC．（填＜、＞或＝） (2)[发现证明]如图②，将图①中的△ADE的绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC； (3)[深入研究]如图③，如果△ABC和△ADE都是等边三角形，且点C、E、D在同一条直线上，则∠CDB的度数为_______；线段CE、BD之间的数量关系为_______； (4)[拓展应用]如图④，如果△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，作AM⊥DE，若AB＝，BD＝，求AM的长． 【答案】(1)= (2)见解析 (3)60°；DB=CE (4) 【分析】（1）结合图形根据线段的和差关系解答即可； （2）证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质证明结论； （3）根据等边三角形的性质得到∠ADE=∠AED=60°，进而得到∠AEC=120°，证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质解答即可； （4）证明△DAB≌△EAC，得到EC=DB=，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）∵AB=AC，AD=AE， ∴AB-AD=AC-AE， ∴DB=EC， 故答案为：=； （2）证明：∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，即∠DAB=∠EAC， 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴DB=EC； （3）∵△ADE为的等边三角形， ∴∠ADE=∠AED=60°， ∴∠AEC=120°， 同（2）可得：△DAB≌△EAC， ∴∠ADB=∠AEC=120°，DB=CE， ∴∠CDB=∠ADB-∠ADE=120°-60°=60°， 故答案为：60°；DB=CE； （4）∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，即∠DAB=∠EAC， 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴EC=DB=， ∵△ADE是等腰直角三角形，AM⊥DE， ∴AM=ME， 在Rt△AMC中，AM2+MC2=AC2，即AM2+（AM+）2=（）2， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 52．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）综合与实践：小明制作了2张如图①的纸片，其中四边形、均为正方形，他把其中的一张纸片沿对称轴把它剪开，然后把对称轴一侧的部分，沿翻折，再绕着的中点旋转，这样就形成了如图②的图形． (1)在图②中，请先判断与的数量关系，再说明理由． (2)图①图形的面积可以表示为______．图②图形的面积可以表示为______．从而得数学等式：______，化简证得定理______． (3)在图②中，，，连接，求图②中的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)；；； (3) 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）分别求出图①和图②的面积，由两个图形的面积相等，即可得出结论； （3）过点作于，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：． 理由：如图①中， 四边形、均为正方形， ，， 如图②中， 绕着的中点旋转， ， ， ， ； （2）由①得：， 由②得：， ， ． 故答案为：；；；； （3）过点作于， ，， ， 由正方形可得：，，，， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了翻折的性质，中心对称的性质以及作图，勾股定理，正方形和等腰直角三角形的性质、勾股定理的证明；熟练掌握翻折和中心对称的性质是解决问题的关键． 53．（24-25八年级上·山西太原·月考）项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 【答案】（1）该水利部门至少需要布设个监控器；（2）该水利部门至少需要布设个监控器；项目方案3：；反思提升：2；理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）勾股定理求得的长，进而根据河流长度除以的长得出监控器的个数，即可求解； （2）过点作于点，依题意，进而勾股定理求得，设，则，在，中，勾股定理求得，同（1）求得监控器的个数； 项目方案3：根据题意得出是等腰直角三角形，即可求解； 反思提升：结合三个方案，得出监控器布置少的方案，即可求解． 【详解】解：（1）在中， ∴， ∵村落与河流邻接长度；， ∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； （2）解：如图所示，过点作于点，依题意， 在中， ， ∴， 设，则， 在中，， 在中， ∴ 解得：， ∴， 在中，， ∵监控器有效监测距离， ∴符合题意， ∴ ∵村落与河流邻接长度；， ∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； 项目方案3： ∵，且， ∴是等腰直角三角形， 如图所示，过点作于点， ∴ 即监控器监测范围的距离为 反思提升：我认为方案二是最优化方案，原因是监控器监测范围的距离最大，则水利部门布设监控器个数少． 54．（2025·江苏常州·二模）学习材料1：将一边的中点M与三角形的一个顶点连接得到中线，中线将三角形分成两个小三角形，若其中一个小三角形绕中点M旋转后的三角形与另一个小三角形拼成等腰三角形，则称是关于点M的“奇妙三角形”． 学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， 设， 由题意得 ， 由 ，得 ，得 ，而 ，得 ． 这样我们得到了已知三角形三边求中线的公式． 通过以上材料的学习，完成下列学习任务： （1）等腰直角三角形是否“奇妙三角形”? (填：“是”或“否”)； （2）如图②，中，， ， N是的中点， 是关于点N的“奇妙三角形”．求的长． 【答案】学习材料2：；；；；（1）是；（2）或11 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，图形的旋转和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，图形的旋转和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 学习材料2：根据前后步骤之间的逻辑关系，结合图形填空即可； （1）画出图形，由旋转的性质得：点共线，，则是等腰三角形，等腰直角三角形是“奇妙三角形”； （2）由旋转的性质得：点共线，，，根据是关于点的“奇妙三角形”，得到或，据此分情况讨论，先根据求出，再由学习材料可得，代入计算即可． 【详解】解：学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， ∵点是的中点， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 在和中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：；；；； （1）解：等腰直角三角形是“奇妙三角形”，理由如下： 在中，，，点是的中点， 将绕点旋转得到，如图②所示： 由旋转的性质得：点共线，， ∴是等腰三角形， ∴等腰直角三角形是“奇妙三角形”； （2）∵中，， ， N是的中点， ∴将绕点旋转得到，如图所示： 由旋转的性质得：点共线，，， ∵是关于点的“奇妙三角形”， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴或， 当时，则， ∴， 由学习材料可得， ∴， 解得（负值舍去）； 当时，则， ∴， 由学习材料可得， ∴， 解得（负值舍去） 综上， 或11． 学科网（北京）股份有限公司 $