专题05 勾股定理常考几何模型专训（8大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题05 勾股定理常考几何模型专训（8大题型） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的旋转模型 题型八 勾股定理中的模型综合 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π取3） 【答案】15cm 【分析】要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】解：如图②所示，将圆柱体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短即可得到AB即为所求 由题意得：， 在Rt△AA′B中，根据勾股定理得： 则AB＝15cm． 所以需要爬行的最短路程是15cm． 【点睛】求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍．（π取3） (1)这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？ (2)现用一根绳子绕圆柱侧面两周，绳子的两个端点分别与点A、点B重合，则绳子长度至少为多少分米？ 【答案】(1)6分米 (2)分米 【分析】（1）设这个圆柱形容器的底面直径为分米，根据圆柱容积公式得出方程求解即可； （2）由题意将圆柱侧面展开如图所示，则长即为绳子长度，再根据勾股定理求出的长即可． 本题考查了平面展开最短路径问题，圆锥的体积，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个圆柱形容器的底面直径为分米， 圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍， ， ， 这个圆柱形容器的底面直径为6分米； （2）由题意将圆柱侧面展开如图所示，则长即为绳子长度， 圆柱形容器的底面直径为6分米， 圆柱形容器的底面周长为18分米， 高为直径的分米， 绳子长度至少为（分米）． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 【答案】25尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先将葛藤缠绕的状态展开（见解析），再根据题意可得尺，尺，，然后利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：将葛藤缠绕的状态展开如图所示： 则一条直角边（即枯木的高）尺，另一条直角边（尺）． 由勾股定理，得， 所以， 所以尺（负值已舍）． 答：葛藤的最短长度为25尺． 4．（24-25八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决：如图2，圆柱的高为，底面半径为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？（结果可保留） 【答案】(1)见解析 (2)从点A爬到点B的最短路径是厘米 【分析】（1）利用阴影部分的面积=大正方形面积-4直角三角形面积额即可得答案； （2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案． 本题考查勾股定理证明和求最短路径； 【详解】（1）∵阴影部分的面积=大正方形面积－4个直角三角形面积， ∴ ∴ ∴ （2）画出圆柱侧面展开图： 根据底面半径为，得出 ∵圆柱的高为， ∴ ∴从点A爬到点B的最短路径是厘米 5．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为． （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 6．（2025·广东·模拟预测）综合与实践 “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是______； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）； 拓展迁移： 如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查了求曲面上两点之间的最短距离问题和勾股定理，关键是化曲为直，把空间问题转化为平面问题是解题的关键． （1）两点之间线段最短；（2）把圆柱的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，利用勾股定理求解；（3）把圆锥的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，先利用弧长公式求圆心角度数，再用中位线定理和勾股定理求解． 【详解】解：（1）两点之间线段最短； （2）剪开后，，， 最短路线的长为； （3）圆锥的底面周长为， 设侧面展开图的圆心角度数为， ，解得， 如答图，该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， 点为中点， 是的中位线， 蚂蚁爬行的最短距离为． 7．（24-25八年级上·江西九江·月考）课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【答案】（1）15；（2）（3） 【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图． （1）根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可． （2）根据绕两圈到B，则展开后相当于求出的斜边长，并且，根据勾股定理求出即可． （3）将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， 由题意得：. 在中，由勾股定理得：， 所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 故答案为：15． （2）如图所示， ∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B， ∴展开后 由勾股定理得：， 所以彩条的最短长度是． （3）展开玻璃杯的侧面，如图， 作点A关于的对称点，连接，作于点C，则 ，，，． 在中，， 所以蚂蚁爬行的最短路径长为． 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，请你求出最短路线长． 【答案】 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：①如图，连接， 在中，，， 由勾股定理得：，此时； ①如图，连接， 在中，，， 由勾股定理得：； ∵， ∴从处爬到处的最短路程是． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论． 9．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可； （2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】（1）解：由题意得该长方体盒子中放入细木棒（）的长度是： ． （2）解：将长方体的正面和右侧面展开，如图，， 将长方体的上底面和右侧面展开，如图，； 将长方体的正面和下底面展开，如图，． ∵， ∴它沿盒子表面爬行的最短路程为． 10．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． (1)一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ (2)小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，把空间问题转化为平面图形问题是解题的关键； （1）将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程，利用勾股定理即可求解． （2）将长方体的侧面沿展开，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图，将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程． 在Rt中，， ． 答：蚂蚁走的最短路程是． （2）解：如图，将长方体的侧面沿展开， 则， ． 答：彩带的长度最短是． 11．（24-25八年级上·广东佛山·月考）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处． (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能途径； (2)当，求蚂蚁爬过的最短路径的长． 【答案】(1)见解析 (2)蚂蚁爬过的最短路径的长是5 【分析】（1）先在备用图中画出柜子的展开图，再找出最快到达目的地的可能路径； （2）根据已知结合勾股定理求出蚂蚁爬过的最短路径长． 【详解】（1）解：木柜的表面展开图是两个矩形和，蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和，如图所示： （2）解：蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是： ， 蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是， ∵， ∴最短路径的长是5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意画出长方体的展开图，找出蚂蚁可能爬行的最短路径，是解题的关键． 12．（24-25八年级下·山东日照·期末）（1）如图1，矩形的两邻边长分别为5和3，某一动点从点A运动到点C的最短路线长是________； （2）如图2，在棱长分别为5，3，11的长方体模型中，若设定动点P从顶点以1个单位/秒的速度在长方体的外部沿向下匀速运动，同时动点Q从顶点A出发在长方体外部侧面上匀速运动，若要使动点Q在第5秒时恰好拦截到动点P，则动点Q的速度至少应设定为多少？ 【答案】（1）；（2）点Q的运动速度至少应设定为2个单位/秒 【分析】（1）连接AC，利用勾股定理求解； （2）把立体图形转化为平面图形解决即可． 【详解】解：（1）连接AC，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，BC＝AD＝3， ∴， 即从点A运动到点C的最短路线长为． 故答案为：． （2）把长方体展开，如图所示： t＝5秒时，C1P＝5， ∴CP＝CC1−C1P＝6， ∵AC＝AB＋BC＝5＋3＝8， ∴， ∴点Q的运动速度为（单位/秒）， 即点Q的运动速度至少应设定为2个单位/秒． 【点睛】本题主要考查平面展开−最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会把立体图形转化为平面图形，属于中考常考题型． 13．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短； (2)蚂蚁经过的路程最短路程为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可； （2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进行比较即可． 【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为的立方体， ∴甲设计的爬行路线长为， 乙设计的爬行路线长为， 丙设计的爬行路线长为， ∵， ∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短， 答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短． （2）解：∵两点之间线段最短， ∴不考虑沿着棱爬行的情况， 如图所示， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， ∵， ∴蚂蚁沿爬行，经过的路程最短，最短路程为， 答：蚂蚁经过的路程最短路程为． 14．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开图——最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． （1）根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案． （2）将长方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：分三种展开方式求解： ①前与右：； ②左与后：； ③前与下：； ∵， ∴胶带的最短长度为：， 故答案为：． （2）如图所示为长度最短的部分展开图： 如图，连接，，易得． 由题可得． 在中，由勾股定理，得． 所以，这根绳子的最短长度为． 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 15．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米． (1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）； (2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？ 【答案】(1)见解析，最短路径的长度米 (2)米 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短问题，解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． （1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求，利用勾股定理求出可得结论； （2）利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】（1）解：（1）如图，最短路径为A→P→B． 过点作交的延长线于点T， ∵米，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴最短路径的长（米）； （2）∵（米）， （米）， ∴行走路程比（1）中的最短路径长：米． 16．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 17．（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 【答案】(1)①见解析；②千米 (2)20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，尺规作线段垂直平分线，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求； ②设千米，则千米，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：①如图，点P即为所求作的点； ②设千米，则千米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （2）解：如图，，先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设，则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 18．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)10 (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。 （1）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （2）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。 【详解】（1）如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． （2）解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 【点睛】 19．（24-25八年级下·天津南开·月考）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明． 【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值___________． 【答案】（1）证明见解析；（2）25；（3）千米；（4） 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用、矩形的判定与性质、二次根式的应用等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键． （1）先根据直角梯形的面积公式可得，再求出，由此即可得证； （2）过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得千米，千米，再在中，利用勾股定理求解即可得； （3）作的线段垂直平分线，交于点，连接，设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理可得和的值，再根据建立方程，解方程即可得； （4）构造图形（见解析），其中，点是上一动点，设，则，利用勾股定理可得，则可将求代数式的最小值转化为求的最小值，延长至点，使得，过点作，交延长线于点，连接，，则可得即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，，， ∴ ， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， ∵千米， ∴千米， 在中，千米， 即两个村庄的距离为25千米， 故答案为：25． （3）解：如图3，作的线段垂直平分线，交于点，连接， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， 解得， 则的长为千米． （4）解：如图4，，点是上一动点， 设，则， 由勾股定理得：，， ∴， ∴求代数式的最小值可转化为求的最小值， 延长至点，使得，过点作，交延长线于点，连接，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 即代数式的最小值为， 故答案为：． 20．（25-26八年级上·福建福州·期中）在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型解决最短路径问题． 【理解模型】 （1）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由： 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 证明：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得， ① ， ∴，， ∵（  ②  ） ∴，即最短路径． 【应用模型】 （2）如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线． （要求：保留画图痕迹，写出结论） 【迁移延伸】 （3）如图5，某景区内有一块三角形草坪，，，，，点D为边的中点，小明从A点出发，先到边上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定上点E的位置，才能使所走的路径最短？并求出最短路径的长． 【答案】（1）①，②两点之间，线段最短，（2）作图见解析，（3）作图见解析，最短路径的长为 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的三边关系，最短路径问题的转化思想及垂直平分线的性质． （1）因为点B与关于直线l对称，所以直线l是的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，；在中，根据三角形两边的和大于第三边，有，据此数学依据填空即可； （2）分别过点A作关于小路和小路的对称点，，连接，此时与小路和小路的交点分别为C和D，依次连接，和，此时点C，D即为所确定的点，步道总长度即为所建的最短路线； （3）画点A关于的对称点，连接，交于点E，则点E为所确定的点，此时所走的路径最短．根据三角形内角和定理求得的度数，再通过含特殊直角三角形的性质求得，根据已知条件推出，利用轴对称的性质推出，，利用“”证明得出，最后通过已知条件进而推出的长度即可． 【详解】解：（1）①在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得，. ②由可知，用到的数学依据为三角形两边的和大于第三边． 故答案为：，三角形两边的和大于第三边． （2）如图所示，点C，D即为所确定的点． ∴此时步道总长度即为所建的最短路线． （3）如图所示，画点A关于的对称点，连接，交于点E，则点E为所确定的点，此时所走的路径最短． ∵在中，， ∴， ∴在中，， ∵点D为边的中点，即， ∴， ∵点A，关于的对称， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 即最短路径的长为． 21．（24-25八年级上·山西晋中·月考）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】 在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】 如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 【答案】，，轴对称的性质，，三角形三边关系；【模型应用】17． 【分析】由轴对称的性质和三角形三边关系解答即可； 把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，由【归纳总结】可得出最短路程为，再结合勾股定理求解即可． 【详解】理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴，，（依据轴对称的性质） ∴． 在中，∵，（依据三角形三边关系）， ∴，即最小； 故答案为：，，轴对称的性质，，三角形三边关系； 【模型应用】解：把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，    ∴． 由【归纳总结】可知蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． ∵， ∴， ∴． 又∵圆柱形玻璃杯底面周长为， ∴， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． 故答案为：17． 【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形三边关系的应用，勾股定理．理解题意，掌握轴对称的性质是解题关键． 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 22．（24-25八年级下·广东广州·月考）如图：矩形沿着直线对折，点D恰好落与边上的点H重合，，． (1)三角形的形状； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)三角形是等腰三角形，理由见解析； (2)三角形的面积为78． 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理． （1）利用矩形的性质和折叠的性质求得，即可证明三角形是等腰三角形； （2）设，则，在中，利用勾股定理列式计算求得，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：三角形是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质知：， ∴， ∴， ∴三角形是等腰三角形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质知：，，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴三角形的面积为． 23．（24-25八年级上·山东青岛·月考）如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4 试求：(1)AE的长； （2）三角形BDE的面积 【答案】（1）3；（2）10 【分析】（1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由AD∥BC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDB，于是得到BE=DE，设DE=x，则BE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，从而得到AE； （2）由三角形的面积公式求出△BDE的面积． 【详解】解：（1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD， ∵AD∥BC， ∴∠CBD=∠EDB， ∴∠EBD=∠EDB， ∴BE=DE， 即△BDE是等腰三角形，设DE=x，则BE=x，AE=8-x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，即42+（8-x）2=x2， 解得：x=5， ∴AE=3； （2）S△BDE=DE×AB=×5×4=10． 【点睛】本题主要考查翻折变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识，此题难度不大． 24．（24-25八年级下·河南商丘·月考）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算可得，作于点，连接，利用等积法求得，利用勾股定理求得，再利用等积即可求解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∴． 作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴． 25．（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知：三角形纸片中，，，，是边上一点．将三角形纸片折叠，使点B与点重合，折痕与、分别相交于E、F． (1)设，，试建立y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)当是直角三角形时，求出x的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据折叠的性质得，在中利用勾股定理得，整理后即可得到y关于x的函数关系式； （2）根据含30度的直角三角形三边的关系得，由折叠的性质得到，然后讨论：①当时，则，易得，则，即，把y代入得到关于x的方程，解方程求出满足条件的x的值；②当时，则，即有，即，解方程即可． 【详解】（1）解：∵三角形纸片折叠，使点B与点重合， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ①当时，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得， ∵， ∴； ②当时，则， ∴即，解得， 所以或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理． 26．（24-25八年级下·重庆北碚·开学考试）我们已经知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形．其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家已发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：．    (1)观察图②，利用面积与代数恒等式的关系，试说明的正确性．其中两个相同的直角三角形边在一条直线上； (2)如图③所示，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先用“梯形面积计算公式”计算出图②的面积，再分别计算图②中三个三角形的面积并相加得到图②的面积，利用两次所求面积相等得到等式，把等式变形即可得到公式：； （2）由矩形和折叠的性质可得：，，；在中，由题中所给结论可计算出的长；设，则，，这样在中，由题中所给结论可得关于的方程，解方程即可求得的长． 【详解】（1）解：∵图②的面积：， 图②的面积也可为：， ∴ ，   ∴， 即； （2）解：∵为矩形， ∴，，， 由折叠的性质得：，， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明方法，图形的折叠问题，熟练掌握勾股定理，折叠的性质是解题的关键． 27．（2025·广西玉林·三模）在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）先证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①等边三角形，点为的中点， ， ， ； ， ②证明：， 同理①得， 为等边三角形； （2）， ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， ． （3）如图，作，，，分别交于，，． ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，同理可得：， ． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 28．（24-25八年级上·山西长治·期末）综合与探究 在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的纸片（，，）并进行探究： （1）如图2，“奋斗”小组将纸片沿DE折叠，使点C落在外部的处 ①若，，则的度数为 ． ②，，之间的数量关系为 ． （2）如图3，“勤奋”小组将沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长； （3）如图4，“雄鹰”小组将沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当为直角三角形时，求BD的长． 【答案】（1）①114°；②∠2=∠1+2∠C；（2）；（3）3或6 【分析】（1）①根据三角形外角的性质求得∠DFC的度数，然后再次利用三角形外角的性质求得∠2的度数； ②利用三角形外角的性质推理计算； （2）设BD=x，根据折叠的性质结合勾股定理列方程求解； （3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，根据勾股定理求得AC=10，根据翻折的性质得AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°，然后分∠DEC=90°和∠EDC=90°两种情况，结合勾股定理求解． 【详解】解：（1）①由折叠性质可得∠C=∠C′=37° ∴∠DFC=∠1+∠C′=77° ∴∠2=∠DFC+∠C=77+37=114° 故答案为：114° ②由折叠性质可得∠C=∠C′ ∴∠DFC=∠1+∠C′ ∴∠2=∠DFC+∠C=∠1+∠C′+∠C=∠1+2∠C 故答案为：∠2=∠1+2∠C （2）∵，， 设BD=x，则CD=AD=8-x ∴在Rt△ABD中，，解得： ∴BD的长为 （3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8， ∴AC==10， ∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的， ∴AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°． 当△DEC为直角三角形， ①如图，当∠DEC=90°时， ∵∠AED+∠DEC=180°， ∴点E在线段AC上， 设BD=DE=x，则CD=8-x， ∴CE=AC-AE=4， ∴DE2+CE2=CD2， 即x2+42=（8-x）2， 解得：x=3，即BD=3； ②如图，当∠EDC=90°，      ∴∠BDE=90°， ∵∠BDA=∠ADE， ∴∠BDA=∠ADE=45°， ∴∠BAD=45°， ∴AB=BD=6． 综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或6． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质及折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论思想的应用是解题的关键．解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 29．（25-26八年级下·山东威海·期末）在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），，．点E在边上，沿折叠，点D落在边的F处．求的面积． 【答案】． 【分析】根据折叠的性质可得，接着在中，利用勾股定理求得，设，在中利用勾股定理列式计算求得，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠可得， ∴，， ∵四边形是长方形，，， ∴，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，得， 解得，， ∴的面积为． 30．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了折叠求值，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用勾股定理列方程． （1）可推出，设，则，在中，根据勾股定理得出，求得x的值，进一步得出结果； （2）可求得，的值，设，则，在中，根据勾股定理列出，求得x的值，进一步得出结果； （3）由（1）的结论可知：，，从而，，利用勾股定理即可求得的值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由得，， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴， 设，则， 在中，由得， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于点， 则， ∴四边形是矩形， ∵点D与点B重合， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：，又点O是长方形中心， ∴， 同（1）， ∴，， ∴． 31．（24-25八年级上·吉林长春·月考）数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用．如图长方形纸片，，，点为长方形纸片边上一动点，连结，将沿折叠，点落在点处． (1)的长为________． (2)如图①，当点在线段上时，求的长． (3)如图②，在（1）的条件下，当点与点重合时，沿将折叠得，与交于点，则的面积是________． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，三角形全等的判断与性质，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键． （1）根据勾股定理求值即可； （2）根据折叠的性质得，再设，，再由勾股定理列方程求解即可； （3）根据折叠的性质得出，则，设，则，再由勾股定理列方程求解出，再由即可求出的面积． 【详解】（1）解：为长方形， 为直角三角形， ，， ． （2）由折叠可知，， ， ， 设， 则，， ， 在中，， 即， 整理得， 解得． 的长为． （3）由折叠可知，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 整理得， 解得， ， ，， ． 32．（24-25八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 【答案】操作一∶；操作二：的长为． 【分析】本题考查直角三角形，矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程． (1)求出，，设，可得∶ ，即可解得答案∶ (2)求出，设，可得，即可解得的长． 【详解】操作一：在中，，，， ， 由翻折可得，，， ， 设，则，， 在中，，由勾股定理得：， 解得： ， ∴； 操作二：在长方形中，，， 根据折叠的性质得，， 在中，， 根据勾股定理可得，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 的长为． 33．（24-25八年级上·河南郑州·期中）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．   请你运用所学知识，解决下面的问题： (1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理与折叠的问题，等角对等边等知识． （1）由长方体形的性质可知，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，，，进一步可得出，，再利用勾股定理可得出，代入求解即可得出． （2）由长方体形的性质可知，，，，，进而可得出，由折叠得，，等量代换可得出，由等角对等边可得出，由勾股定理可得出，进一步可得出，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在中，， 即 解得： ∴的长是． （2）解：∵四边形是长方形，，，， ∴，，，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴的长是5． 34．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）（1）如图1，将长方形折叠，使落在对角线上，折痕为，点C落在点处，若，则的度数为__________°； （2）小明手中有一张长方形纸片，，． 【画一画】如图2，点E在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在所在直线上，折痕设为（点M，N分别在边，上），利用直尺和圆规画出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； 【算一算】如图3，点F在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在射线上，折痕为，点A，B分别落在点，处，若，求的长． 【答案】（1）23；（2）见解析， 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质及勾股定理是解题的关键； （1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题； （2）【画一画】，如图2中，延长交的延长线由G，作的角平分线交于M，交于N，直线即为所求； 算一算：首先求出，由矩形的性质得出，，由平行线的性质得出，由翻折不变性可知，，证出，由等腰三角形的判定定理证出，再由勾股定理求出，可得，再利用翻折不变性，可知，由此即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 故答案为：23． （2）【画一画】如图所示： （3）∵，，∴， ∵将纸片折叠，使落在射线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 35．（24-25八年级上·广东梅州·月考）观察与发现． (1)取一张正方形纸片，先折叠成两个全等的矩形得到折痕，然后展开，再把沿折叠，使点落在折痕上，则 ． (2)小明将三角形纸片（）沿过点的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点和点重合，折痕为，展平纸片后得到（如图②）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． (3)如图，在长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，求的长． 【答案】(1) (2)同意，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得为垂直平分线，即可得到，通过证明为等边三角形，即可得出结论； （2）根据折叠的性质可得，，再根据三角形的内角和可得，即可得出结论； （3）通过证明，得出对应边相等，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：令折叠后点C对应点为点G， 根据折叠的性质可得为垂直平分线， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴，即为等边三角形， ∴， ∴ 故答案为： （2）同意，理由如下： 如图，设与交于点， 由折叠的性质可得：， ，， ， ， ，即为等腰三角形． （3）∵四边形是矩形， ，，， 根据题意得：， ，，， 在和中， ， ，， ， 设，则，， ，， 在中，， ，即，解得， ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠得到的图形对应边相等，对应角相等． 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 36．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）． (2)若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形是不是奇异三角形，请做出判断并写出判断依据． (3)探究：在中，，，，，且，若是奇异三角形，求：；；． 【答案】(1)是 (2)是奇异三角形，判断依据见解析 (3) 【分析】（1）根据题中所给的奇异三角形的定义、等边三角形的性质判断； （2）根据奇异三角形的定义判断； （3）根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． 【详解】（1）解：设等边三角形的边长为， ∵， ∴等边三角形一定是奇异三角形； 故答案为：是； （2）是，理由如下： ∵，， ∵， ∴ ∴若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形是奇异三角形． （3）中，，， ∵， ∴，， ∵是奇异三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了奇异三角形的定义、等边三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，在解答（2）时要注意分类讨论． 37．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）(1)定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如：直角三角形的直角边分别为3、4,则斜边的平方=32+42=25.已知：Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,直接写出BC2=___. (2)应用：已知正方形ABCD的边长为4,点P为AD边上的一点,AP=AD，请利用“两点之间线段最短”这一原理，在线段AC上画出一点M，使MP+MD最小，并直接写出最小值的平方为多少？ 【答案】（1）36；（2）17； 【分析】（1）根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方计算即可； （2）如图，连接BM，PB．因为PM+MD=PM+BM≥PB，推出PM+DM的最小值为PB的长，由此即可解决问题； 【详解】解：(1)在Rt△ABC中, ∵∠ACB=90°，AC=8，AB=10， ∴BC2=AB2−AC2=100−64=36， 故答案为36. (2)如图，连接BM，PB. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAP=90°，B、D关于AC对称， ∴MD=MB， ∴PM+MD=PM+BM⩾PB， ∴PM+DM的最小值为PB的长， 在Rt△ABP中 PB2=AB2+PA2=42+12=17， 故答案为17. 【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，勾股定理，正方形的性质，解题关键在于掌握各性质定义和作辅助线. 38．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”． （1）若一个三角形的三边长分别是，和2，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由； （2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）； （3）如图，中，，，为的中线，若是平方倍三角形，求的面积． 【答案】（1）此三角形是平方倍三角形，理由见详解；（2）1：1：；（3）或 【分析】（1）根据平方倍三角形的定义判断，即可； （2）结合勾股定理和平方倍三角形的定义，列出等式，进而即可得到答案； （3）先根据直角三角形的性质，可设：CD=AB=AD=BD=x，再根据平方倍三角形的定义，分两种情况：①当，②当，分别求解，即可． 【详解】（1）此三角形是平方倍三角形，理由如下： ∵，满足是平方倍三角形的定义， ∴三边长分别是，和2的三角形是平方倍三角形； （2）在Rt∆ABC中，如图所示，则①， ∵Rt∆ABC是平方倍三角形， ∴②， 把①代入②得：，即：a=b， 把a=b代入①得：c=， ∴该直角三角形的三边之比=1：1：； （3）∵中，，为的中线， ∴CD=AB=AD=BD， 设CD=AB=AD=BD=x，则AB=2x， ∵AB＞BC， ∴2x＞5，即：x＞， ∵是平方倍三角形， ①当，则，解得：， ∴AB=2x=，AC=， ∴的面积=， ②当，则，解得：， ∴AB=2x=，AC=， ∴的面积=， 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查的是勾股定理、平方倍三角形的定义，熟练掌握勾股定理以及分类讨论的思想方法，是解题的关键． 39．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． （1）特例感知 ①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD=2，AD=1，试求线段CD的长度． （2）深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA>CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①是；②CD＝；（2）AD＝CB，证明见解析 【分析】（1）①根据勾股高三角形的定义即可判断； ②如图1，根据勾股定理和勾股高三角形的定义求解即可； （2）如图2，由勾股高三角形的定义可得CA2﹣CB2＝CD2，即为CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，进而可得结论． 【详解】解：（1）①如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC， ∵AB2－BC2=AC2，∴AB2－BC2=BC2， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形． 故答案为：是； ②如图1中，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1， ∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点， ∴CB2－CA2=CD2， ∴CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3， ∴CD＝． （2）AD＝CB； 证明：如图2中，∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB， ∴CA2﹣CB2＝CD2，即CA2﹣CD2＝CB2， ∵CA2﹣CD2＝AD2， ∴AD2＝CB2，即AD＝CB． 【点睛】本题是新定义题目，以勾股高三角形为载体，主要考查了勾股定理和对新定义的理解，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 40．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方．在中，，则．我们定义为“商高定理”． (1)如图1，在中，中，若，，则______； (2)如图2，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、． ①求证：； ②当，时，则的值是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析，② 【分析】（1）由“商高定理”得出； （2）由“商高定理”得出，，则，，即可得出结论； （3）①连接，设交于交于，由正方形的性质得出，证出，由证得； ②由，得出，则，得出，由（2）可得，由勾股定理得出，推出，代入 ，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：在中，， ∴， 同理：， ∴， ∴； （3）①证明：连接，设交于，交于，如图所示： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得：， 在中，， 即， 在中，， 即， 在中，， 即， ∴， ∵， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的知识；熟练掌握全等三角形的性质以及勾股定理是解题的关键． 41．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)你所知道的特殊四边形中，是勾股四边形有__________（一个即可） (2)如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形． (3)如图（2），是正三角形，，且．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】(1)正方形（答案不唯一） (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，即可求解， （2）根据勾股定理计算出对角线的长度，得到，再根据情况画出即可； （3）如图②，连接EC，由可得，，因为，所以，又因为，所以，由勾股定理可得，所以，即四边形ABCD是勾股四边形． 本题考查勾股定理、旋转和全等三角形的性质，解题的关键在于理解勾股四边形的概念，充分利用其特点解题． 【详解】（1）解：正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方， 故答案为：正方形， （2）解：由题意得： ∴，即要使， ∴点都满足条件，如图即为所求， （3）解：如图②，连接， ∵是正三角形， ∴，， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即四边形是勾股四边形． 42．（24-25八年级上·河南平顶山·月考）●特例感知 （1）①如图1，为等腰直角三角形，则 （填“>“=”或 “<）； ②如图2，为的高，若，则 （填“>“=”或 “<）； ●形成概念 若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为金高三角形，两边的交点为金点. ●知识应用 （2）①如图3，为金高三角形（，其中为金点，是边上的高, 若，试求线段的长度； ②如图4，等腰为金高三角形，其中，为边上的高,过点作，与边交于点.若，试求线段的长. 【答案】（1）① = ② = (2) ① ② 2a. 【分析】（1）①②都可以根据直角三角形的勾股定理进行判断. （2）①因为，所以BD=1，而根据金高三角形概念可知，CB=AD=2，所以直角三角形CBD中运用勾股定理可得CD的长. ②作AF垂直ED交ED于点F，证明三角形ADF与三角形CDB全等，得到FD与DB的关系，而DB=EC，ED=2FD，从而得到DE的长度. 【详解】(1) ①在直角三角形ABC中，有,则. ②在直角三角形ABD中，有 ,则，又BD=AC，所以. (2) ①由（1）知，三角形ABC为金高三角形,且，所以BC=AD=2，又，则，则在直角三角形CBD中，有，则 . ② 如图所示：作AF垂直ED交ED于点F. ∵三角形ABC为金高三角形，且CD⊥AB， ∴AD=BC 又∵ED∥CB ∴∠ADE=∠DBC 则在三角形ADF与三角形CDB中 (AAS) ∴DF=DB ∵ED∥CB ∴三角形AED是等腰三角形，即AE=AD，F为ED的中点. 又AC=AB ∴EC=DB=DF=a 即ED=2DF=2a. 故答案为（1）① =；② = (2) ① ② 2a. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用与等腰三角形的性质，理解题干中给出的金高三角形两边之间与高的关系，构造直角三角形利用勾股定理是解题关键. 【经典例题七 勾股定理中的旋转模型】 43．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）综合与实践 问题情景：在中，，，，直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 猜想证明： （1）如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）如图，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出线段的长为______ ． 【答案】（1）矩形，见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，可证，即可求解； （2）由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解； （3）延长到T，使得，连接，，证明，再证明得到，然后结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：（1）四边形是矩形，理由如下： 点是的中点，点是的中点， ， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）如图，过点作于， ，，， ， 点是的中点， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）AN＝ 如图3，延长到T，使得，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握其性质是解题的关键． 44．（24-25八年级下·贵州六盘水·月考）综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2)线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，继而得到，，，，可得出与的夹角； （2）证明得，，即可得证； （3）利用勾股定理求出的长，证明，求出，由等腰三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到，，，， ∴，，， ∴，， ，， ∴，， ∴，， ∴线段与的位置关系是，与的数量关系是， 故答案为：；； （2）线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致． 理由：如图， ∵将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴； （3）如图，过点作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵将绕点旋转一定角度得到，点 落到边上，， ∴， ∴， 由（2）可知：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 45．（2025·山东·模拟预测）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题．某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，和均为等腰直角三角形，，点D为的中点，绕点D旋转，连接． 观察猜想：（1）在旋转过程中，猜想与的数量关系并证明； 实践发现：（2）当点M，N在内且C，M，N三点共线时，如图2，求证：； 解决问题：（3）若在中，，在旋转过程中，当且C，M，N三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解； （2）由（1）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解； （3）点C、M、N三点共线，分类讨论，根据（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图，连接，    ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图所示，连接，      由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：已知，，C、M、N三点共线， ①由（2）可知，，      由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故这种情况不存在； ②如图所示，由（1）可知，，，，        ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； ③如图，      ∵是等腰直角三角形， ∴， 同法可证， ∴， ∴，即是直角三角形， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查等腰直角三角形，旋转，全等三角形的综合,勾股定理，掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 46．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）综合与探究 问题情境：数学课上，老师提出一个问题：如图1，在中，，把绕点C逆时针旋转到的位置，点A，B的对应点分别是与相交于点D．在旋转过程中，线段之间存在一些特殊的位置关系和数量关系．如图2，在旋转过程中，当经过的中点D时，试判断四边形与的位置关系，并加以证明． 问题解决：（1）请你解答老师提出的问题． 数学思考：（2）小明同学发现：在图形旋转过程中，有线段垂直关系的存在．如图3，在旋转过程中，当时，求点A与点之间的距离． 数学探究：（3）小敏同学发现：在旋转过程中，有特殊三角形的存在．在旋转过程中，当是等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为2或或 【分析】由旋转的性质可知，利用直角三角形的性质得，则有，即可判断； 在中，利用勾股定理求得，结合三角形面积公式可得，由旋转可知，即可解得和，则有； 分、和对应求解即可． 【详解】解：（1）证明：，理由如下， 由旋转的性质可知． ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 在中，根据勾股定理可得． 根据三角形面积公式可得， 由旋转可知． ∴， 在中，根据勾股定理可得， 在中根据勾股定理可得 ∴点A与点之间的距离为 （3）解：①当时， ∵， ∴； ②当时， 过点C作交于点E，如图， 则， ∵， ∴， ∴， 则； ③当时， ∵D是的中点， ∴， 故的长为2或或． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、旋转的性质、平行线的判定、勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉直角三角形的性质和分类讨论思想的应用． 47．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）【操作发现】 （1）如图1，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），旋转后三角板的一直角边与交于点．在三角板斜边上取一点，使，线段上取点，使，连接，． ①求的度数； ②与相等吗？请说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，为等腰直角三角形，，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），旋转后三角板的一直角边与交于点．在三角板另一直角边上取一点，使，线段上取点，使，连接，，请直接写出探究结果： ①的度数； ②线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）① ；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等等： （1）①由等边三角形的性质得出，求出，证明得出，求出； ②证出，由证明，得出； （2）①由等腰直角三角形的性质得出、，证出，由证明得出、，求出； ②证出，由证明，得出，由勾股定理得到，则。 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： ， ， ， 在和中， ． （2）①∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ②， ， ， 在和中， ． ∵ ∴， 在中，由勾股定理得 ． ∴． 48．（2025·江苏淮安·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知两个全等的直角三角形纸片和中，其中，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，当点E落在边上时，与的数量关系为： ； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点E恰好落在的中线的延长线上时． ①求证：； ②延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②；（3）能，或或12或． 【分析】（1）连接，证明 ，即可证明结论； （2）①由是中线，得，根据等边对等角得，，进而得，即可证明结论；②连接，证明， 得，可求得，证明，进而可得，设，则，，，在中，根据勾股定理可得，由此建立方程即可求解； （3）分情况讨论：根据，画出图形结合图形分别求解． 【详解】（1）解：； 理由：连接，当点E落在边上时，， ， 都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）①证明：∵在中，是中线， ， ， ，     ， ， ， ； ②连接， ，，， ， ， ， ， ，    ∴， ∴， ， ∵在和中， ， ， ，， ，即， ， 设，则，，， 在中，， ∴， ∴， 解得，即， ， （3）① 如图，当点在边上，此时， ； ②如图，当点在边的延长线上，此时， ； ③如图，当时，作于， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； ④如图，当时，作，垂足为F，，垂足为G， 同③可证四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ∴， ， 在中，， ， ， ． 综上所述， 或或12或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 49．（24-25八年级下·广东深圳·期末）综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点与点重合，点与点重合），求四边形的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将纸片沿射线的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形，如图3所示． ①求证：四边形是平行四边形； ②若点为的中点，则四边形的周长为_________． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点为的中点时，将绕点顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】本题考查含锐角直角三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定，中位线，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）根据锐角直角三角形的性质可得，，即可解答； （2） ①先证明，继而证明，即可解答； ②根据题意可得和是的中位线，则， 即可解答； （3）分类讨论：①当顺时针旋转时位于；②当△DEF顺时针旋转时位于，逐一分析，即可解答． 【详解】解：(1)根据题意，由锐角直角三角形的性质可得： ， ． ∴四边形的周长为： ． (2)①证明：∵平移前，，A、F两点重合，C、D两点重合， ∴， ∴， ∵， ∴根据平移的性质，， ∴四边形为平行四边形． ②根据题意可得和是的中位线，则， 由平行线四边形的性质，四边形的周长为： ． 故答案为：9． (3)如图， 当顺时针旋转时位于；当△DEF顺时针旋转时位于． ①当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为． ∵， ． ， 为等边三角形，符合题意． ②当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为． ∵， ∴为等腰三角形，符合题意． 故旋转角为或． 【经典例题八 勾股定理中的模型综合】 50．（25-26八年级上·全国·课后作业）某校开设创意编程、3D模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 【素材一】如图所示，四边形是模型零件平面图． 【素材二】通过扫描测量，已知，，，，． 【问题解决】根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 【答案】该模型零件平面图的面积为． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理.连接，由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形且．再根据零件的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ，， 在中，，， ， 是直角三角形，． ， 即该模型零件平面图的面积为． 51．（24-25八年级上·江西九江·期中）模型介绍 定义：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形． (1)性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． (2)模型应用：如图2，在长方形中，，是边上一点，且，，求的长． 【答案】(1)相等，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理； （1）根据勾股定理进行解答即可； （2）根据长方形的性质得出，，设，则，，根据解析（1）结论可得：，即，求出（负值舍去），即可得出答案． 解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 【详解】（1）猜想：相等； 证明：， 中，， 中，， 中，， 中，， ； （2）解：连接，   四边形是长方形， ，， 设，则，， ， ， ， ， 解得（负值舍去） 因此，的长为． 52．（25-26八年级下·广西南宁·月考）已知和都是等边三角形，连接，． 【模型感知】（1）如图1，求证：； 【模型应用】（2）如图2，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】（3）如图3，当点在线段上时，过点作于点．若，，求的周长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）和都是等边三角形，则，，， 进而可证明，则可证明； （2）证明，则，因为，则题目可证； （3）证明，则，，则可证明，所以，根据勾股定理可求，则题目可解． 【详解】解：（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， （2）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 的周长． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 53．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）小明在延时课上进行了项目式学习实践探究，记录并绘制了如下表格． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为12米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为13米． ③牵线放风筝的手到地面的距离的长为1.5米． 模型抽象 点，，，在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求风筝离地面的垂直高度的长． (2)若想要风筝沿方向再上升4米，则在水平距离保持不变的前提下，小明手中的线应该再放出多少米？ 【答案】(1)6.5米； (2)2米． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）过点作于点，根据勾股定理求出，进而求出； （2）风筝沿方向上升至点，先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， 在中，，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）； （2）解：如图2，风筝沿方向上升至点， 由（1），可知米， 所以（米）， 在中，由勾股定理，得（米）， 所以小明手中的线应该再放出（米）． 54．（25-26八年级上·河南南阳·月考）中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣． 【发现】 （1）某兴趣小组从赵爽弦图（图1）中提炼出三角形全等的模型图（图2），由图中可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型； 【类比】 （2）如图3，在中，，点D，A，E都在直线l上，并且．若，，求的长； 【拓展】 （3）如图4，在中，，，于点E，于点D，当，时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）9；（3）2 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定方法有：、、、、，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键． （1）根据全等三角形的性质即可得答案； （2）利用外角性质可得出，利用可证明，根据全等三角形的性质得出，，利用线段的和差关系即可得答案； （3）利用角的和差关系得出，利用可证明，根据全等三角形的性质得出，再利用勾股定理可得到的长，然后利用线段的和差关系即可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，． 故答案为：，； （2）∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，， ∴，． ∴； （3）∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 55．（24-25八年级上·广西南宁·月考）【问题情境】如图1，是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知，，点D、E、C在同一直线上，米，米，那么两个排污口之间的水平距离的长是 米． 【模型呈现】如图1，已知，且，证明． 我们把这个数学模型称为“K型图”或“一线三等角”模型， 请写出完整的证明过程． 【模型应用】①在平面直角坐标系中，如图2所示，， 点A， B的坐标分别是， 求点C的坐标． ②在①的条件下，在坐标平面内是否存在一点P(不与点C重合)，使与全等？若存在， 请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．    【答案】【问题情境】；【模型呈现】见解析；【模型应用】①；②或或 【分析】问题情境：利用证明，得到，由此可得答案； 模型呈现：同问题情境中进行证明即可； 模型应用：作轴于点E，证明得，．即可求解；②分两种情况，①当时，；②当时，，利用全等三角形对应边相同，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：问题情境：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴米， 故答案为：； 模型呈现：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 模型应用：①如图所示，过点C作轴于点E，则， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）分类讨论：∵， ∴， ， 设， ∴，， 当时，， ∴，． ∴， 解得：或 ， ∴， ； ②当时，， ∴， ∴， 解得：或 ， ∵点P与点C不重合， ∴舍去， ∴ ． 综上，存在这样的P 点，坐标分别为或或，使与全等． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键． 56．（24-25八年级上·陕西安康·月考）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．    【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．    （1）用含的代数式表示的长为______． （2）①请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； ②根据①中的规律和结论，直接写出代数式的最小值为______． 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．    （3）求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）①当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值为17；②15；（3）． 【分析】此题考查了勾股定理，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）①若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； ②由①的结果利用勾股定理求得的值． （3）仿照例题构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）①当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； ②根据①中规律可以构造出如图所示，       同理可得： 故答案为15； （3）由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．   ， ∴代数式的最小值是． 【点睛】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 勾股定理常考几何模型专训（8大题型） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的旋转模型 题型八 勾股定理中的模型综合 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π取3） 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍．（π取3） (1)这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？ (2)现用一根绳子绕圆柱侧面两周，绳子的两个端点分别与点A、点B重合，则绳子长度至少为多少分米？ 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 4．（24-25八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决：如图2，圆柱的高为，底面半径为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？（结果可保留） 5．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ 6．（2025·广东·模拟预测）综合与实践 “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是______； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）； 拓展迁移： 如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 7．（24-25八年级上·江西九江·月考）课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，请你求出最短路线长． 9．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 10．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． (1)一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ (2)小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 11．（24-25八年级上·广东佛山·月考）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处． (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能途径； (2)当，求蚂蚁爬过的最短路径的长． 12．（24-25八年级下·山东日照·期末）（1）如图1，矩形的两邻边长分别为5和3，某一动点从点A运动到点C的最短路线长是________； （2）如图2，在棱长分别为5，3，11的长方体模型中，若设定动点P从顶点以1个单位/秒的速度在长方体的外部沿向下匀速运动，同时动点Q从顶点A出发在长方体外部侧面上匀速运动，若要使动点Q在第5秒时恰好拦截到动点P，则动点Q的速度至少应设定为多少？ 13．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 14．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 15．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米． (1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）； (2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？ 16．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 17．（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 18．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 19．（24-25八年级下·天津南开·月考）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明． 【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值___________． 20．（25-26八年级上·福建福州·期中）在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型解决最短路径问题． 【理解模型】 （1）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由： 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 证明：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得， ① ， ∴，， ∵（  ②  ） ∴，即最短路径． 【应用模型】 （2）如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线． （要求：保留画图痕迹，写出结论） 【迁移延伸】 （3）如图5，某景区内有一块三角形草坪，，，，，点D为边的中点，小明从A点出发，先到边上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定上点E的位置，才能使所走的路径最短？并求出最短路径的长． 21．（24-25八年级上·山西晋中·月考）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】 在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】 如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 22．（24-25八年级下·广东广州·月考）如图：矩形沿着直线对折，点D恰好落与边上的点H重合，，． (1)三角形的形状； (2)求三角形的面积． 23．（24-25八年级上·山东青岛·月考）如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4 试求：(1)AE的长； （2）三角形BDE的面积 24．（24-25八年级下·河南商丘·月考）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 25．（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知：三角形纸片中，，，，是边上一点．将三角形纸片折叠，使点B与点重合，折痕与、分别相交于E、F． (1)设，，试建立y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)当是直角三角形时，求出x的值． 26．（24-25八年级下·重庆北碚·开学考试）我们已经知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形．其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家已发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：．    (1)观察图②，利用面积与代数恒等式的关系，试说明的正确性．其中两个相同的直角三角形边在一条直线上； (2)如图③所示，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，求的长． 27．（2025·广西玉林·三模）在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 28．（24-25八年级上·山西长治·期末）综合与探究 在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的纸片（，，）并进行探究： （1）如图2，“奋斗”小组将纸片沿DE折叠，使点C落在外部的处 ①若，，则的度数为 ． ②，，之间的数量关系为 ． （2）如图3，“勤奋”小组将沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长； （3）如图4，“雄鹰”小组将沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当为直角三角形时，求BD的长． 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 29．（25-26八年级下·山东威海·期末）在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），，．点E在边上，沿折叠，点D落在边的F处．求的面积． 30．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 31．（24-25八年级上·吉林长春·月考）数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用．如图长方形纸片，，，点为长方形纸片边上一动点，连结，将沿折叠，点落在点处． (1)的长为________． (2)如图①，当点在线段上时，求的长． (3)如图②，在（1）的条件下，当点与点重合时，沿将折叠得，与交于点，则的面积是________． 32．（24-25八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 33．（24-25八年级上·河南郑州·期中）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．   请你运用所学知识，解决下面的问题： (1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度． 34．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）（1）如图1，将长方形折叠，使落在对角线上，折痕为，点C落在点处，若，则的度数为__________°； （2）小明手中有一张长方形纸片，，． 【画一画】如图2，点E在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在所在直线上，折痕设为（点M，N分别在边，上），利用直尺和圆规画出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； 【算一算】如图3，点F在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在射线上，折痕为，点A，B分别落在点，处，若，求的长． 35．（24-25八年级上·广东梅州·月考）观察与发现． (1)取一张正方形纸片，先折叠成两个全等的矩形得到折痕，然后展开，再把沿折叠，使点落在折痕上，则 ． (2)小明将三角形纸片（）沿过点的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点和点重合，折痕为，展平纸片后得到（如图②）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． (3)如图，在长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，求的长． 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 36．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）． (2)若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形是不是奇异三角形，请做出判断并写出判断依据． (3)探究：在中，，，，，且，若是奇异三角形，求：；；． 37．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）(1)定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如：直角三角形的直角边分别为3、4,则斜边的平方=32+42=25.已知：Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,直接写出BC2=___. (2)应用：已知正方形ABCD的边长为4,点P为AD边上的一点,AP=AD，请利用“两点之间线段最短”这一原理，在线段AC上画出一点M，使MP+MD最小，并直接写出最小值的平方为多少？ 38．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”． （1）若一个三角形的三边长分别是，和2，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由； （2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）； （3）如图，中，，，为的中线，若是平方倍三角形，求的面积． 39．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． （1）特例感知 ①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD=2，AD=1，试求线段CD的长度． （2）深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA>CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明． 40．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方．在中，，则．我们定义为“商高定理”． (1)如图1，在中，中，若，，则______； (2)如图2，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、． ①求证：； ②当，时，则的值是______． 41．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)你所知道的特殊四边形中，是勾股四边形有__________（一个即可） (2)如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形． (3)如图（2），是正三角形，，且．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形． 42．（24-25八年级上·河南平顶山·月考）●特例感知 （1）①如图1，为等腰直角三角形，则 （填“>“=”或 “<）； ②如图2，为的高，若，则 （填“>“=”或 “<）； ●形成概念 若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为金高三角形，两边的交点为金点. ●知识应用 （2）①如图3，为金高三角形（，其中为金点，是边上的高, 若，试求线段的长度； ②如图4，等腰为金高三角形，其中，为边上的高,过点作，与边交于点.若，试求线段的长. 【经典例题七 勾股定理中的旋转模型】 43．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）综合与实践 问题情景：在中，，，，直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 猜想证明： （1）如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）如图，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出线段的长为______ ． 44．（24-25八年级下·贵州六盘水·月考）综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 45．（2025·山东·模拟预测）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题．某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，和均为等腰直角三角形，，点D为的中点，绕点D旋转，连接． 观察猜想：（1）在旋转过程中，猜想与的数量关系并证明； 实践发现：（2）当点M，N在内且C，M，N三点共线时，如图2，求证：； 解决问题：（3）若在中，，在旋转过程中，当且C，M，N三点共线时，直接写出的长． 46．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）综合与探究 问题情境：数学课上，老师提出一个问题：如图1，在中，，把绕点C逆时针旋转到的位置，点A，B的对应点分别是与相交于点D．在旋转过程中，线段之间存在一些特殊的位置关系和数量关系．如图2，在旋转过程中，当经过的中点D时，试判断四边形与的位置关系，并加以证明． 问题解决：（1）请你解答老师提出的问题． 数学思考：（2）小明同学发现：在图形旋转过程中，有线段垂直关系的存在．如图3，在旋转过程中，当时，求点A与点之间的距离． 数学探究：（3）小敏同学发现：在旋转过程中，有特殊三角形的存在．在旋转过程中，当是等腰三角形时，请直接写出线段的长． 47．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）【操作发现】 （1）如图1，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），旋转后三角板的一直角边与交于点．在三角板斜边上取一点，使，线段上取点，使，连接，． ①求的度数； ②与相等吗？请说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，为等腰直角三角形，，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），旋转后三角板的一直角边与交于点．在三角板另一直角边上取一点，使，线段上取点，使，连接，，请直接写出探究结果： ①的度数； ②线段，，之间的数量关系． 48．（2025·江苏淮安·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知两个全等的直角三角形纸片和中，其中，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，当点E落在边上时，与的数量关系为： ； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点E恰好落在的中线的延长线上时． ①求证：； ②延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 49．（24-25八年级下·广东深圳·期末）综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点与点重合，点与点重合），求四边形的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将纸片沿射线的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形，如图3所示． ①求证：四边形是平行四边形； ②若点为的中点，则四边形的周长为_________． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点为的中点时，将绕点顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 【经典例题八 勾股定理中的模型综合】 50．（25-26八年级上·全国·课后作业）某校开设创意编程、3D模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 【素材一】如图所示，四边形是模型零件平面图． 【素材二】通过扫描测量，已知，，，，． 【问题解决】根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 51．（24-25八年级上·江西九江·期中）模型介绍 定义：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形． (1)性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． (2)模型应用：如图2，在长方形中，，是边上一点，且，，求的长． 52．（25-26八年级下·广西南宁·月考）已知和都是等边三角形，连接，． 【模型感知】（1）如图1，求证：； 【模型应用】（2）如图2，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】（3）如图3，当点在线段上时，过点作于点．若，，求的周长． 53．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）小明在延时课上进行了项目式学习实践探究，记录并绘制了如下表格． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为12米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为13米． ③牵线放风筝的手到地面的距离的长为1.5米． 模型抽象 点，，，在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求风筝离地面的垂直高度的长． (2)若想要风筝沿方向再上升4米，则在水平距离保持不变的前提下，小明手中的线应该再放出多少米？ 54．（25-26八年级上·河南南阳·月考）中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣． 【发现】 （1）某兴趣小组从赵爽弦图（图1）中提炼出三角形全等的模型图（图2），由图中可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型； 【类比】 （2）如图3，在中，，点D，A，E都在直线l上，并且．若，，求的长； 【拓展】 （3）如图4，在中，，，于点E，于点D，当，时，直接写出的值． 55．（24-25八年级上·广西南宁·月考）【问题情境】如图1，是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知，，点D、E、C在同一直线上，米，米，那么两个排污口之间的水平距离的长是 米． 【模型呈现】如图1，已知，且，证明． 我们把这个数学模型称为“K型图”或“一线三等角”模型， 请写出完整的证明过程． 【模型应用】①在平面直角坐标系中，如图2所示，， 点A， B的坐标分别是， 求点C的坐标． ②在①的条件下，在坐标平面内是否存在一点P(不与点C重合)，使与全等？若存在， 请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．    56．（24-25八年级上·陕西安康·月考）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．    【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．    （1）用含的代数式表示的长为______． （2）①请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； ②根据①中的规律和结论，直接写出代数式的最小值为______． 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．    （3）求代数式的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $