专题01 勾股定理重难点题型专训（3个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 勾股定理重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 用勾股定理解三角形 题型二 已知两点坐标求两点距离 题型三 勾股定理与无理数 题型四 勾股树（数）问题 题型五 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型七 利用勾股定理证明线段平方关系 题型八 勾股定理的证明方法 题型九 以弦图为背景的计算题 题型十 勾股定理中的折叠问题 题型十一 用勾股定理构造图形解决问题 拓展训练一 勾股定理中的面积问题 拓展训练二 利用勾股定理求长度 拓展训练三 勾股定理中的最值问题 知识点一：勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为5，3，则正方形C的面积是________．    知识点二：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，则______． 知识点三：勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 2．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 【经典例题一 用勾股定理解三角形】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图所示是古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，这种工具的形状类似于一个直角三角形．若“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长直角边的长为（   ） A．12尺 B．13尺 C．24尺 D．26尺 【例2】（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，，则边上的高为_____． 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，则d为（   ） A．9 B．11 C．12 D．15 2．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）如图，阴影部分正方形的边长是________． 3．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． (1) (2) 【经典例题二 已知两点坐标求两点距离】 【例1】（25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点P，A，B两点均在y轴上，且，，则的最大值为________． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，求的面积（    ）． A．25 B． C．50 D． 2．（24-25八年级下·北京·月考）如图，在直角坐标系中，直线，则s的值是_____． 3．（24-25八年级下·四川自贡·月考）阅读下列材料，回答问题： 如图，点，点，以为斜边作，则，于是，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 例如： 故代数式的值看作点到点的距离． 已知：代数式 (1)该代数式的值可看作点到点 、 的距离之和． (2)求出这个代数式的最小值． 【经典例题三 勾股定理与无理数】 【例1】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，数轴上点A，B表示的数分别为，2，过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为_______． 1．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，正方形的面积为3，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，点、在数轴上表示的数分别为、，以为边作正方形，再以点为圆心，为半径作半圆与数轴相交于点、（在左边），点是点右边最近的整数点，以为圆心，为半径作半圆交数轴于点，则点表示的数为______． 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，将边长均为1的三个正方形紧挨着放在数轴上，顶点A表示的数是．以点A为圆心，长为半径作弧，交数轴于点C，记点C所表示的数为，已知a为的整数部分，b为的小数部分． (1)求； (2)求代数式的值． 【经典例题四 勾股树（数）问题】 【例1】（24-25八年级下·广西柳州·开学考试）下列各组数据为勾股数的是（    ） A．，， B．1，， C．5，12，13 D．2，3，4 【例2】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知，，，则______． 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·周测）在学习勾股数的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 当时，的值为______． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数才能满足关系式．设为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 (1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）； 观察可得：表1中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）； 观察可得：表2中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如） 【经典例题五 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（    ） A．3，4，5 B．5，6，11 C．6，8，15 D．7，12，14 【例2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则______． 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是________． 3．（25-26八年级上·广东河源·月考）勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 【经典例题六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）在中，，，，三个内角的平分线交于点，则点到的距离为（　　　） A．1cm B．2cm C．cm D．cm 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，则的长为__________． 1．（24-25八年级上·四川雅安·期中）如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【性质探究】如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边，与，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)【拓展应用】如图2，Rt中，，分别以和为直角边向外作等腰Rt和等腰Rt，连接，若，，求的长． 【经典例题七 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    1．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）如图，在中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为，若，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 【经典例题八 勾股定理的证明方法】 【例1】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式：___________． 1．（24-25八年级下·山东济南·月考）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为______． 3．（25-26八年级上·上海金山·期末）【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 【经典例题九 以弦图为背景的计算题】 【例1】（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，这是小康根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．20 B．24 C．52 D．76 【例2】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是___________． 1．（25-26八年级上·湖南永州·期末）公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾， 弦， 则小正方形的边长是 （   ） A． B．2 C．4 D．8 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为__________． 3．（24-25八年级下·广东汕头·月考）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【经典例题十 勾股定理中的折叠问题】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形纸片中，，，点为线段延长线上的一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上时，则的长为（   ） A．8 B．10 C．14 D．12 【例2】（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，将长方形纸片沿对折后展开，再沿折叠使点落在折痕上的点处，再将点折至点处，折痕为，点恰为的中点，已知，，则_________． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·月考）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图， 已知中，，，，点D是边上的一个动点．将沿所在直线折叠，点C的对应点为点E，若点E在边上，则的长度为_________． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是． (1)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：． (2)如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【经典例题十一 用勾股定理构造图形解决问题】 【例1】（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）明朝数学家程大位在他的著作中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步（两步尺），此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度为__________． 1．（24-25八年级下·山东济宁·月考）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚高度至少为______． 3．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 【拓展训练一 勾股定理中的面积问题】 【例1】（24-25八年级下·福建莆田·期末）某校开展数学文化节，向同学们征集文化节，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图，分别以的边，，为直径向外画半圆．若要求的面积，只要知道（　　） A．月形图形的面积 B．月形图形的面积 C．月形图案的面积与月形图案的面积之差 D．月形图案的面积与月形图案的面积之和 【例2】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____． 1．（25-26八年级上·浙江金华·月考）勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， (1)要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； (2)请尝试验证勾股定理． 2．（24-25八年级下·河南安阳·月考）项目式学习：利用勾股定理求不规则三角形的面积 课题 利用勾股定理求不规则三角形的面积 人员 八（2）班学习小组2025年xxx月xxx日 题干 在中，，，求的面积． 思路 作于，设，用含的代数式表示根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 解答 3．（2025八年级下·山东·专题练习）【阅读】 我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）已知一个中，，，．求面积． 【拓展训练二 利用勾股定理求长度】 【例1】（25-26八年级下·江西赣州·月考）《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”．其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图所示，所求竿长为（ ） A．10尺 B．12尺 C．2尺 D．12尺或10尺 【例2】（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，正方形，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点；过点作直线垂直的延长线于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点；过点作直线垂直的延长线于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点……．若，则线段的长为_____． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，从塔吊的顶部A处向其横臂上两处扯两条钢丝线，若长为长为长为，则两条钢丝线的长度各为多少？ 2．（2025·福建泉州·一模）我国古代数学家梅鼓成在其著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖笔过去，亦长二尺无疑两隅斜去恰方齐，请问三色各几？意思是；今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度比长竿小4尺；将长竿直立过门，门的高度比长竿小2尺．将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多少尺？ 3．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）小明在延时课上进行了项目式学习实践探究，记录并绘制了如下表格． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为12米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为13米． ③牵线放风筝的手到地面的距离的长为1.5米． 模型抽象 点，，，在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求风筝离地面的垂直高度的长． (2)若想要风筝沿方向再上升4米，则在水平距离保持不变的前提下，小明手中的线应该再放出多少米？ 【拓展训练三 勾股定理中的最值问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　） A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4 【例2】（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是________，最大值是________ 1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，，连结，，已知，，． (1)请问点C什么位置时的值最小？最小值为多少？ (2)设，则可表示为，请直接写出的最小值为______． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期中）【阅读材料】 我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当即时，取得最小值，最小值为2． 【模仿探究】 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，求的最小值，并求出此时a的值； 【应用意识】 （2）如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为20平方米，斜边AB需要用栅栏围上，求栅栏AB的最小值． 3．（24-25八年级下·江西南昌·开学考试）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： （1）【提出问题】已知，求的最小值 （2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】    ①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段__________线段__________； ②在（1）的条件下，已知，求的最小值； （3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． A基础训练 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）若三角形三边长为5，12，x，且该三角形为直角三角形，则x的值为（    ） A．13 B． C．13或 D．无法确定 2．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，将沿翻折得到，交于点E，F为中点，连接并延长交的延长线于点G，连接，若，，的面积为42，则的面积为（      ） A．26 B．24 C．21 D．15 4．（24-25八年级下·河南商丘·月考）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图甲，直角三角形的三边，，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形△O，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（　　 ） A．， B．， C．， D．， B 提高训练 6．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，且到和点的距离相等，则线段的长度为______． 7．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，数轴上点A表示的数为的直角边落在数轴上，且长为2个单位长度，长为2个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为_________． 8．（24-25八年级上·福建宁德·月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 9．（24-25八年级·全国·假期作业）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__． 10．（24-25八年级下·福建厦门·月考）被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（），斜边长为c．若将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接成如图②，得到图形．若该图形的周长为48，，则__________， __________． C 培优训练 11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为2，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧），求点所表示的数． 12．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作模拟预测，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 13．（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 14．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）综合与实践 一个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”） 探究活动 （1）如图1，中间围成的小正方形的边长为__________（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出，，的一个等式：__________，并给出证明过程； 【证明】 初步运用 （2）利用上述的结论完成下列问题： ①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为__________； ②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是__________． 15．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，则由勾股定理不难证明 (1)如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请你确定、、之间的数量关系并加以证明； (2)如图3，分别以直角三角形的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，其面积分别用、、表示，请你确定、、之间的数量关系并加以证明； (3)如图4，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 用勾股定理解三角形 题型二 已知两点坐标求两点距离 题型三 勾股定理与无理数 题型四 勾股树（数）问题 题型五 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型七 利用勾股定理证明线段平方关系 题型八 勾股定理的证明方法 题型九 以弦图为背景的计算题 题型十 勾股定理中的折叠问题 题型十一 用勾股定理构造图形解决问题 拓展训练一 勾股定理中的面积问题 拓展训练二 利用勾股定理求长度 拓展训练三 勾股定理中的最值问题 知识点一：勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数． 根据勾股数的定义逐项分析即可． 【详解】A、，故，，不是勾股数； B、，故，，是勾股数； C、，故，，是勾股数； D、，故，，是勾股数． 故选：A． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为5，3，则正方形C的面积是________．    【答案】8 【分析】分别设三个正方形A，B，C的边长为x，y，z，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长分别为x、y、z， 由勾股定理得：， ∴正方形C的面积是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 知识点二：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是关键． 直接根据勾股定理求解即可． 【详解】∵，，， ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，则______． 【答案】18 【分析】利用勾股定理结合已知条件求解． 【详解】解：在中，，根据勾股定理可得：． ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，并能灵活运用该定理进行计算． 知识点三：勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 【答案】C 【分析】本题主要考查了“弦图”的理解，熟练掌握数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理，是解题的关键．根据赵爽用“弦图”证明了勾股定理，进行解答即可． 【详解】解：数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理． 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的验证，核心思路是通过计算图形的总面积，两种不同的计算方法建立等式从而推导出勾股定理． 【详解】解：拼接后的图形是一个直角梯形，上底为，下底为，高为， 根据梯形面积公式：， 拼接后的图形由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成： 则两个直角三角形的面积为， 等腰直角三角形(斜边为)的面积为， ∴， 即， 验证的定理是勾股定理． 故答案为：． 【经典例题一 用勾股定理解三角形】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图所示是古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，这种工具的形状类似于一个直角三角形．若“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长直角边的长为（   ） A．12尺 B．13尺 C．24尺 D．26尺 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理列出方程，进行计算即可． 【详解】解：设“矩尺”的较长的直角边的长为x尺，则斜边长为尺，根据勾股定理得： ， 解得：， 即“矩尺”的较长的直角边的长为12尺， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，，则边上的高为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握利用勾股定理列方程求解三角形高的方法是解题的关键． 过点作于，设，则在和中，分别用勾股定理表示，列方程求出，再求出的长度． 【详解】解：过点作于， ∴，， 设，则 在中， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 故答案为： 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，则d为（   ） A．9 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是关键．连接，根据勾股定理可得，即得，即可求得答案． 【详解】解：连接， 由题意，，，，， ， ，， ， 即， ， ． 故选：B． 2．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）如图，阴影部分正方形的边长是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理得出正方形的边长解答即可． 【详解】解：由勾股定理可得，正方形的边长． 3．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理， ， ∴． （2）解：在中，根据勾股定理，得 ， 则， ∴． 【经典例题二 已知两点坐标求两点距离】 【例1】（25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式，解题的关键是准确运用公式计算线段长度． 根据两点间距离公式计算的长度，然后逐一分析选项． 【详解】解：根据两点间距离公式，已知，则： ， ， ， A、，所以．，该选项正确．； B、由选项A可知，该选项正确； C、，所以，该选项正确； D、，该选项错误． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点P，A，B两点均在y轴上，且，，则的最大值为________． 【答案】34 【分析】本题考查一点到圆上的距离的最值，两点间的距离公式，坐标与图形的性质，关键是掌握两点的距离公式．设点坐标为，由两点的距离公式，，进而求出，得到，当点P在延长线上时，最大，此时最大，根据两点间距离公式求出即可． 【详解】解：设点坐标为， ，， ， ， 则当最大时，最大， 如图，当点P为的延长线与圆的交点时，最大， ∵点的坐标为， ， 此时， ， 的最大值为34． 故答案为：34． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，求的面积（    ）． A．25 B． C．50 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了建立直角坐标系、两点间距离公式等知识点，正确建立直角坐标系成为解题的关键． 建立如图坐标系，则，设，根据两点间距离公式可得解得，即的边上的高为6，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：建立如图坐标系，则， 设， 则有：， 解得：， ∴的边上的高为6， ∴的面积为． 故选D． 2．（24-25八年级下·北京·月考）如图，在直角坐标系中，直线，则s的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理表示出，，，再根据直线，结合勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， , ， 直线， , 即， 解得， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川自贡·月考）阅读下列材料，回答问题： 如图，点，点，以为斜边作，则，于是，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 例如： 故代数式的值看作点到点的距离． 已知：代数式 (1)该代数式的值可看作点到点 、 的距离之和． (2)求出这个代数式的最小值． 【答案】(1)、 (2) 【分析】本题主要考查了两点之间的距离计算公式，完全平方公式，熟知坐标系中两点距离计算公式是解题的关键． （1）仿照题意把所给代数式中的根号下的式子利用完全平方公式配方，再结合题意即可得到答案； （2）根据（1）所求可知代数式的最小值即为在坐标系中找到一点使得该点到点、的距离之和最小，据此根据两点之间线段最短求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴代数式的值可以看做是点到点的距离，代数式的值可以看做是点到点的距离， ∴代数式的值可看作点到点、的距离之和； （2）解：∵代数式的值可看作点到点、的距离之和， ∴代数式的最小值即为在坐标系中找到一点使得该点到点、的距离之和最小， ∴由两点之间线段最短可知当点在点、组成的线段上时代数式有最小值，最小值即为点、之间的距离，即． 【经典例题三 勾股定理与无理数】 【例1】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，得到的长度，即可得到点在数轴上所对应的数． 【详解】解：∵，，， ， ， 点在数轴上所对应的数是， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，数轴上点A，B表示的数分别为，2，过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴和勾股定理，解题的关键是掌握数形结合的思想． 先求出的长度，由垂直得出直角，再根据勾股定理求出的长度，最后根据两点之间的距离求出点的坐标即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴点D表示的数为， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，正方形的面积为3，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，考查实数与数轴，根据题意得出正方形的边长是解题的关键． 根据已知条件求出正方形的边长再确定点所表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴正方形的边长为， ∵是数轴上表示的点， ∴点表示的数是． 故选：C． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，点、在数轴上表示的数分别为、，以为边作正方形，再以点为圆心，为半径作半圆与数轴相交于点、（在左边），点是点右边最近的整数点，以为圆心，为半径作半圆交数轴于点，则点表示的数为______． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理与无理数，根据作图与勾股定理分别求得的长，进而可得点表示的数，再求得点表示的数，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 又∵点表示的数为， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵ ∴ ∵点是点右边最近的整数点， ∴点表示的数为 ∴ ∴ ∴点表示的数为 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，将边长均为1的三个正方形紧挨着放在数轴上，顶点A表示的数是．以点A为圆心，长为半径作弧，交数轴于点C，记点C所表示的数为，已知a为的整数部分，b为的小数部分． (1)求； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，掌握实数的定义是解题的关键． （1）由勾股定理得到，再结合顶点A表示的数是，求即可． （2）估算得到，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，根据勾股定理可知： ， ∴， ∴点对应的数， （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为的整数部分， ∴， 又∵为的小数部分， ∴， ∴． 【经典例题四 勾股树（数）问题】 【例1】（24-25八年级下·广西柳州·开学考试）下列各组数据为勾股数的是（    ） A．，， B．1，， C．5，12，13 D．2，3，4 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，，，都不是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意； B、1，，不都是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意； C、，能构成直角三角形，且都是正整数，故选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故选项不合题意． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得，，所以，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质，关键是勾股定理的应用；根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵图①中所有正方形的面积和为：； 第一次操作后所有正方形的面积和为：； 第二次操作后所有正方形的面积和为：； …… 第次操作后所有正方形的面积和为：； ∴当时，， 故选：C ． 2．（25-26八年级上·全国·周测）在学习勾股数的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 当时，的值为______． 【答案】162 【分析】本题考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定、、的数量关系． 根据表格中数据确定、、的关系，然后再代入求出、的值进而可得答案． 【详解】解：根据表格中数据可得：，并且， 则， 当时，， 解得， 则， 则． 故答案为：162． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数才能满足关系式．设为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 (1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）； 观察可得：表1中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）； 观察可得：表2中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如） 【答案】(1)60；61； (2)63；65； (3)或 【分析】本题考查了勾股数，数字的变化类-规律型． （1）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （2）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （3）利用表1与表2的规律分别计算验证即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：当a为大于1的奇数，b、c的数量关系，b、c与之间的关系是：， ∴当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：60，61，； （2）解：根据表格中的数据可知：当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是， b、c与之间的关系是， ∵， ∴， ∵， ∴，， 故答案为：63，65，； （3）解：由题意得， 如果满足表1的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 如果满足表2的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 综上所述，这组勾股数可能为或． 【经典例题五 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（    ） A．3，4，5 B．5，6，11 C．6，8，15 D．7，12，14 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积，即可得出正确选项． 【详解】解：由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积， ∴A项：，不满足要求，不符合题意； B项：，满足要求，符合题意； C项：，不满足要求，不符合题意； D项：，不满足要求，不符合题意， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质；分别交、于、；设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】如图，分别交、于、 、、均是等腰直角三角形 ，，， 设，，，，   ，， ∴ ∴ 故答案为：． 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与几何综合，数形结合，由直角三角形边长表示出是解决问题的关键． 在中，设，则由勾股定理可得，根据阴影部分的面积关系满足，由圆的面积公式、直角三角形面积公式表示出与，从而得到，由完全平方公式恒等变形即可得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，设， ， 由勾股定理可得，则， 则 ， ， ， ，即， 则， ， 则，即， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是________． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·广东河源·月考）勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）通由勾股定理得，，得到，结合得到，最后根据阴影部分的面积求解即可； （2）由题意得，，，得到，再代入计算即可； （3）由勾股定理得到，即，再代入求值即可． 【详解】解：（1）由勾股定理得，， 即， 因为， 所以， 由图形可知，阴影部分的面积， 所以阴影部分的面积； （2）由题意得，， 所以， 因为正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24， 所以， 所以， （3）由题意可知：，，，， 如解图，连接， 在和中，， 即， 所以． 【经典例题六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）在中，，，，三个内角的平分线交于点，则点到的距离为（　　　） A．1cm B．2cm C．cm D．cm 【答案】B 【分析】由勾股定理解得，根据角平分线的性质，可得，过点，分别作三边的垂线段，继而证明，，，由全等三角形对应边相等的性质得到，，即可证明，最后利用三角形面积公式及等积法解题即可求得的值． 【详解】解：在中，，，， 是中三个内角的平分线的交点， 过点，分别作三边的垂线段，如图， 在与中， 同理得，， 又 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式及等积法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，则的长为__________． 【答案】2 【分析】延长、相交于点E，根据三角形内角和180°解得，由含30°的直角三角形性质解得的长，在中，由勾股定理解得AE的长，最后由线段的和差解题． 【详解】解：如图，延长、相交于点E， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， ∴． 【点睛】本题考查含30°直角三角形的性质、勾股定理、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 1．（24-25八年级上·四川雅安·期中）如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出④，再根据勾股定理即可得出③． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故④正确； ，， ， 故③不正确， 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【性质探究】如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边，与，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)【拓展应用】如图2，Rt中，，分别以和为直角边向外作等腰Rt和等腰Rt，连接，若，，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据题中给出的垂美四边形的定义，得知对角线互相垂直，在直角三角形里利用勾股定理解答即可； （2）根据垂美四边形的性质、勾股定理结合（1）的结论计算即可． 【详解】（1）解：结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．（或：．） 证明：设与相交于点E． ， ， 由勾股定理得，， ， ． （2）连接，相交于点N，交于点M． ， ，即， 又，， ≌， ，又， ，即， 四边形是垂美四边形， 由（1）得，， ，， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了新定义、勾股定理以及全等三角形的判定的知识点，利用给出的垂美四边形定义求解是解题的关键． 【经典例题七 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 1．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）如图，在中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为，若，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24． 【答案】C 【分析】根据勾股定理和圆面积公式可以得到S1=S2+S3，从而得到问题解答． 【详解】解：由题意可得： ∵在直角三角形BDO中， ∴S1=S2+S3， ∴S2=S1-S3=40-18=22， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的综合应用，熟练掌握圆面积公式和勾股定理的意义是解题关键． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________． 【答案】12 【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12． 【详解】解：如图， ∵，， ， ∴， ∵在△CDE和△ABC中， ， ∴△CDE≌△ABC（AAS）， ∴AB=CD，BC=DE， ∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8， 同理可证FG2+LK2=HL2=4， ∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）700米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求得斜边的长，再利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求得，根据计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】解：（1），，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），，， ， ， ，， ， 点D为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长度为700米． 【经典例题八 勾股定理的证明方法】 【例1】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形，解题的关键是数形结合．分别根据图1、图2求出几何图形的面积，即可求解． 【详解】解：根据图1可得该几何图形的面积为：， 根据图2可得该几何图形的面积为：， ， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式：___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 即， 整理得：． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·山东济南·月考）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出是解题的关键． 【详解】解：如图， 在直角中，由勾股定理得， ， ， 将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海金山·期末）【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，利用面积相等是解题的关键． （1）先求出中间小正方形的边长为，再分别求出小正方形的面积和大正方形的面积，利用面积的关系即可得出结论； （2）根据题意设计方案即可． 【详解】（1）证明：由图可知，， ， ， ． （2）解：通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，如图2所示： 【经典例题九 以弦图为背景的计算题】 【例1】（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，这是小康根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．20 B．24 C．52 D．76 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理；“数学风车”的周长为，利用勾股定理将、求出即可. 【详解】解：∵“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的， ∴， ∴， ∴， ∴“数学风车”的周长为. 故选：D. 【例2】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是___________． 【答案】14 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正确表示出直角三角形的面积.根据题意列式计算即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的边长为5， ∴正方形的面积， ∴两个全等的直角三角形的面积=五边形的面积-正方形的面积， ∴图中空白部分的面积=正方形的面积-两个全等的直角三角形的面积， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·湖南永州·期末）公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾， 弦， 则小正方形的边长是 （   ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理—以弦图为背景的计算题． 先用勾股定理计算出股b，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，得出小正方形的面积，进而利用算术平方根求出边长． 【详解】解：勾， 弦， 股， 小正方形的面积：， 小正方形的边长为：， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为__________． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的面积和边长、求算术平方根等知识，根据题意得到大正方形的面积为，利用正方形的面积和算术平方根即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得，大正方形的面积为， ∴图中的大正方形的边长为， 故答案为： 3．（24-25八年级下·广东汕头·月考）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【经典例题十 勾股定理中的折叠问题】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形纸片中，，，点为线段延长线上的一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上时，则的长为（   ） A．8 B．10 C．14 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得，根据勾股定理求得，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵在长方形纸片中，，， ∴， ∵把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上 ∴， 在中， ∴ ， 设，则， 在中， ∴ 解得：， 即的长为， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，将长方形纸片沿对折后展开，再沿折叠使点落在折痕上的点处，再将点折至点处，折痕为，点恰为的中点，已知，，则_________． 【答案】20 【分析】过点作于，则四边形为矩形，先由折叠性质得出，在中用勾股定理求出，再根据是中点及折叠性质得到，最后在中用勾股定理求出，进而求得． 【详解】解：过点作于，则四边形是长方形， ∴，． ∵长方形纸片沿对折， ∴． ∵， ∴． ∵沿折叠使落在处， ∴． ∵，，， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴． ∵沿折叠使落在处，为中点， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·月考）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键．由题意易得，由折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意，得， 由翻折的性质得， 设，则， 在直角三角形中，， 即， 解得， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图， 已知中，，，，点D是边上的一个动点．将沿所在直线折叠，点C的对应点为点E，若点E在边上，则的长度为_________． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 根据勾股定理求出，由折叠的性质得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质得，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是． (1)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：． (2)如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据题意，结合图形，根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据翻折变换的特点、结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，，，且， 整理得，， ； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， 则， 解得，， 则的长为3． 【点睛】本题考查了勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 【经典例题十一 用勾股定理构造图形解决问题】 【例1】（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键． 设，则，故，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，解得：． ∴绳索的长是． 故选：C． 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）明朝数学家程大位在他的著作中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步（两步尺），此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度为__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 设尺，用表示出的长，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设尺， 尺，尺， 尺，尺， 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理得，， 解得：， 答：秋千绳索的长度是尺． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·山东济宁·月考）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚高度至少为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是三个角处的三个油桶底面的圆心连线长为4个油桶的直径． 由题意可得15只油桶底面如图所示，取三个角处的三个油桶底面的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是，遮雨棚起码的高度是该三角形的高加一只油桶的高． 【详解】解：取三个角处的三个油桶底面的圆心，连接组成一个等边三角形， ， 过点A作于点D， ， ， 遮雨棚高度至少为：， 故答案为： 3．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 【答案】(1)能安全通过，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题目做出辅助线，利用勾股定理进行求解. （1）通过计算卡车在桥洞中间位置时顶部到桥洞顶部半圆的垂直距离，与卡车高度比较来判断能否通过. （2）根据给定卡车的尺寸，利用勾股定理求出桥洞半圆部分所需的半径，进而得到桥洞的宽度. 【详解】（1）解：这辆卡车能安全通过桥洞．理由如下： 如图①，为卡车的宽度． 过点分别作的垂线交半圆于两点， 连接，过点作于点E， 则， 所以． 因为， 所以在中，由勾股定理，得，所以， 所以． 因为，所以这辆卡车能安全通过桥洞． （2）解：如图②，为卡车的宽度，为道路的中点． 过点E作于点F，交半圆于点B， 连接，过点作，交的延长线于点G． 根据题意可知，，所以． 在中，根据勾股定理，得， 所以． 故此桥洞的宽至少应增加到． 【拓展训练一 勾股定理中的面积问题】 【例1】（24-25八年级下·福建莆田·期末）某校开展数学文化节，向同学们征集文化节，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图，分别以的边，，为直径向外画半圆．若要求的面积，只要知道（　　） A．月形图形的面积 B．月形图形的面积 C．月形图案的面积与月形图案的面积之差 D．月形图案的面积与月形图案的面积之和 【答案】D 【分析】本题考查了圆的面积公式、三角形的面积公式、勾股定理、解方程等知识，熟记面积公式，利用割补法和整体思想解决问题是解答的关键．记，，，，再分别表示三个半圆面积，结合勾股定理可得答案． 【详解】解：记，，，， 以为的直径的半圆面积 以为直径的半圆面积， 以为直径的半圆面积 ∵， ∴ ∴(阴影阴影) ∴阴影阴影， ∴要求的面积，只要知道月形图案的面积与月形图案的面积之和． 故选D 【例2】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____． 【答案】36 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，理解题意是解题的关键． 根据题意得到，根据正方形的面积是90，结合勾股定理求出的长，得出的长，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的， ∴， ∵大正方形的面积是90， ∴， ∵， ∴， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴正方形的面积是． 故答案为：36． 1．（25-26八年级上·浙江金华·月考）勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， (1)要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； (2)请尝试验证勾股定理． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明及整式的混合运算，熟练掌握勾股定理及整式混合运算的运算法则是解题的关键． （1）分别用两种方法“整体计算”和“分割计算”表示直角梯形的面积； （2）两种方法表示出的直角梯形的面积相等，列出等式，整理后证明出即可． 【详解】（1）用整体计算面积：直角梯形的面积， 用分割计算面积：三个直角三角形的面积， （2）直角梯形的面积为， 也可以表示为三个直角三角形的面积和，即， ， ． 2．（24-25八年级下·河南安阳·月考）项目式学习：利用勾股定理求不规则三角形的面积 课题 利用勾股定理求不规则三角形的面积 人员 八（2）班学习小组2025年xxx月xxx日 题干 在中，，，求的面积． 思路 作于，设，用含的代数式表示根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 解答 【答案】 【分析】题目主要考查勾股定理解三角形及三角形面积计算，理解题意，熟练掌握勾股定理是解题关键． 作于，在中，，，设，则，根据勾股定理得出再次使用勾股定理确定，结合图形求面积即可． 【详解】解：如图， 作于，在中，，， 设，则， 由勾股定理得：， 解得： 在中， ． 3．（2025八年级下·山东·专题练习）【阅读】 我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）已知一个中，，，．求面积． 【答案】（1）；（2）9 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、二次根式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据求出p，再代入计算即可得解；或将三边代入公式计算即可得解； （2）作于D，则，设，则，由勾股定理得出，求出x的值，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴ ； ； （2）如图：作于D，则， 设，则， 由勾股定理可得：， ， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【拓展训练二 利用勾股定理求长度】 【例1】（25-26八年级下·江西赣州·月考）《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”．其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图所示，所求竿长为（ ） A．10尺 B．12尺 C．2尺 D．12尺或10尺 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，勾股定理的实际应用，设所求竿长为x尺，则门的宽为尺，高为尺，根据勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设所求竿长为x尺，则门的宽为尺，高为尺， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴所求竿长为10尺， 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，正方形，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点；过点作直线垂直的延长线于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点；过点作直线垂直的延长线于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点……．若，则线段的长为_____． 【答案】45 【分析】本题考查图形类规律探究、勾股定理、算术平方根，发现变化规律是解答的关键． 由勾股定理求解得到规律，进而代值求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，， ∴， ， ， ， ……， 以此类推， ， ∴， 即线段的长为45． 故答案为：45． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，从塔吊的顶部A处向其横臂上两处扯两条钢丝线，若长为长为长为，则两条钢丝线的长度各为多少？ 【答案】钢丝线的长度分别为． 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先运用勾股定理算出，再结合，求出，则在中，，即可作答． 【详解】解：∵， ∴在中，， ∵， ∴． 在中，， 故钢丝线的长度分别为． 2．（2025·福建泉州·一模）我国古代数学家梅鼓成在其著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖笔过去，亦长二尺无疑两隅斜去恰方齐，请问三色各几？意思是；今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度比长竿小4尺；将长竿直立过门，门的高度比长竿小2尺．将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多少尺？ 【答案】宽为6尺，高为8尺，长为10尺 【分析】设长竿的长x尺，再表示宽和高，根据勾股定理列出方程，然后求出解，即可确定答案． 【详解】解：设竿长为尺，则门的宽为尺，高为尺，依题意，得 整理，得 解得，， ， 只取， 故，． 答：宽为6尺，高为8尺，长为10尺． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的应用，勾股定理是求线段长的常用方法． 3．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）小明在延时课上进行了项目式学习实践探究，记录并绘制了如下表格． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为12米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为13米． ③牵线放风筝的手到地面的距离的长为1.5米． 模型抽象 点，，，在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求风筝离地面的垂直高度的长． (2)若想要风筝沿方向再上升4米，则在水平距离保持不变的前提下，小明手中的线应该再放出多少米？ 【答案】(1)6.5米； (2)2米． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）过点作于点，根据勾股定理求出，进而求出； （2）风筝沿方向上升至点，先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， 在中，，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）； （2）解：如图2，风筝沿方向上升至点， 由（1），可知米， 所以（米）， 在中，由勾股定理，得（米）， 所以小明手中的线应该再放出（米）． 【拓展训练三 勾股定理中的最值问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　） A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4 【答案】A 【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点到达最左边，当点P与点B重合时，点到达最右边，所以点就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时B的长度 【详解】解：当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得 D=AD=5， 在Rt△CD中，D2=C2+CD2， 即52=（5-B）2+32， 解得B=1，. 当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得B=AB=3， 则点A'B最小值和最大值分别为1和3 故选：A 【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 【例2】（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是________，最大值是________ 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 本题分点与点重合，此时的值最大，点与点重合，此时的值最小，求出两个极值即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∴，如图1： 点与点重合，此时的值最大， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， 点与点重合，此时的值最小，如图2： ∵点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上所述，最小值是，最大值是， 故答案为：，； 1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，，连结，，已知，，． (1)请问点C什么位置时的值最小？最小值为多少？ (2)设，则可表示为，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1)点C在线段和交点处时最小为10 (2)10 【分析】本题主要考查勾股定理及矩形的判定，熟练掌握勾股定理及矩形的性质与判定是解题的关键； （1）根据两点之间线段最短及结合勾股定理可进行求解； （2）根据（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：根据两点之间线段最短可知：当A、C、E三点共线时，即点C在线段和交点处时的值最小，如图所示： 过点A、D分别作，，交于一点F， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为10； （2）解：由（1）可知：的最小值为10； 故答案为10． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期中）【阅读材料】 我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当即时，取得最小值，最小值为2． 【模仿探究】 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，求的最小值，并求出此时a的值； 【应用意识】 （2）如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为20平方米，斜边AB需要用栅栏围上，求栅栏AB的最小值． 【答案】（1）最小值为4，；（2） 【分析】（1）仿照材料中的例子，可求得； （2）利用三角形面积公式设出两条直角边，勾股定理求得斜边AB的式子，求最小值； 本题考查了二次根式的运算，关键是掌握三角形面积公式和勾股定理． 【详解】解：（1）当时， 当且仅当即时，取得最小值，最小值为4． （2）设，则，则 当且仅当即时，取得最小值，最小值为80． 3．（24-25八年级下·江西南昌·开学考试）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： （1）【提出问题】已知，求的最小值 （2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】    ①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段__________线段__________； ②在（1）的条件下，已知，求的最小值； （3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展] 【分析】[解决问题]①根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； ②如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； [应用拓展] 在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，勾股定理分别求得，进而根据当、、共线时，最大，勾股定理，即可求解． 【详解】[解决问题]①解：由题意得，， 故答案为：、；      ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，    此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为：；      [应用拓展] 如图，在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，    则， ， 当、、共线时，最大，即最大， 且的最大值， 即的最大值为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． A基础训练 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）若三角形三边长为5，12，x，且该三角形为直角三角形，则x的值为（    ） A．13 B． C．13或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题需分两种情况讨论，利用勾股定理求解x的值，因为x可能是直角三角形的直角边或斜边． 【详解】解：当x是直角边时，， 当x是斜边时，， 综上，x的值为13或， 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理，计算各条线段的长度，后判定它们的属性解答即可． 本题考查了勾股定理，无理数，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理，得，是有理数，不符合题意； ，是有理数，不符合题意； ，是有理数，不符合题意； ，是无理数，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，将沿翻折得到，交于点E，F为中点，连接并延长交的延长线于点G，连接，若，，的面积为42，则的面积为（      ） A．26 B．24 C．21 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的折叠问题、勾股定理和三角形的面积的计算，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，由题意得，，进一步得到，求得，即可求得答案． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∵，， ∴， ∵的面积为42，F为中点， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， 则，解得， ∴， 则， ， 故选：D． 4．（24-25八年级下·河南商丘·月考）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据两个图形面积相等，列式，即可求解； 【详解】解：根据题意，列式可得：， 故选：A 5．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图甲，直角三角形的三边，，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形△O，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（　　 ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解的面积即可． 【详解】由题意可得：，， ∵为等腰直角三角形，且“直角三角形的三边，，，满足的关系”， ∴根据题意可得：， ∴， ∴， ， ∴总结出， ∵，，， ∴归纳得出一般规律：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键． B 提高训练 6．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，且到和点的距离相等，则线段的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．根据两点间的距离公式列方程，即可得解． 【详解】解：设点， 根据题意得， 即， 解得． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，数轴上点A表示的数为的直角边落在数轴上，且长为2个单位长度，长为2个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴和勾股定理，解题关键是根据勾股定理求出长，再确定点D表示的数即可；先利用勾股定理求出，再根据点在数轴上的位置写出点D表示的数即可． 【详解】解：的直角边落在数轴上，且长为2个单位长度，长为2个单位长度， 所以， 以斜边长为半径画弧交数轴于点D， 所以 点A表示的数为，点D在点A右侧， 所以点D表示的数为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·福建宁德·月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 【答案】29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 9．（24-25八年级·全国·假期作业）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__． 【答案】a2+b2＝c2 【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系． 【详解】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2． 还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）． 由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2， 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 故答案为：a2+b2＝c2． 【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 10．（24-25八年级下·福建厦门·月考）被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（），斜边长为c．若将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接成如图②，得到图形．若该图形的周长为48，，则__________， __________． 【答案】 8 10 【分析】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用整体思想及方程思想是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，代入数值得，求出x即可解决问题． 【详解】解：由题意得， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， 故答案为：8，10． C 培优训练 11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为2，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧），求点所表示的数． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，掌握实数和数轴的关系是解题的关键． 由条件可知，再结合数轴即可解答． 【详解】解：由条件可知， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧）， ∴， ∴点所表示的数为． 12．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作模拟预测，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少千米 (3)24或84 【分析】本题主要考查勾股定理的计算和运用，理解图示，掌握勾股定理是关键． （1）根据梯形的面积的表示方法计算即可； （2）设千米，则，由勾股定理即可求解； （3）根据题意，作图分析，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：梯形的面积为，梯形面积也等于， ∴， ∴， ∵左边：， ∴； （2）解：∵，千米，千米，， ∴设千米， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴新路比原路少千米； （3）解：如图所示， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为24或84． 14．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）综合与实践 一个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”） 探究活动 （1）如图1，中间围成的小正方形的边长为__________（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出，，的一个等式：__________，并给出证明过程； 【证明】 初步运用 （2）利用上述的结论完成下列问题： ①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为__________； ②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是__________． 【答案】（1）；；（2）①或；②正方形E的边长为； 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的证明方法，因为勾股定理涉及到各边的平方，而边长的平方正是正方形的面积，所以勾股定理与正方形的面积密切相关，理解勾股定理与正方形或其它图形的关系，对后面的解题非常重要． （1）小正方形的边长为较长的直角边减去较短的直角边；再利用等面积法推导即可； （2）①分两种情况讨论：①当6，8为直角边时，当8为斜边时，再计算即可；②直接利用勾股定理推导即可． 【详解】解：（1）中间围成的小正方形的边长为较长的直角边减去较短的直角边，即， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积＋中间的小正方形的面积， 可表示为： 正方形的面积还可以表示为： ∴，化简得． （2）①当6，8为直角边时， 斜边的平方； 当8为斜边时， 第三边的平方； ②如图，设正方形的边长分别为 根据勾股定理可得： ∴正方形的面积之和等于正方形E的面积， 同理可得：正方形E的面积等于正方形A，B，C，D的面积的和， ∴正方形E的面积为， ∴正方形E的边长为． 15．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，则由勾股定理不难证明 (1)如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请你确定、、之间的数量关系并加以证明； (2)如图3，分别以直角三角形的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，其面积分别用、、表示，请你确定、、之间的数量关系并加以证明； (3)如图4，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系． 【答案】(1)，证明过程见解析 (2)，证明过程见解析 (3) 【分析】本题考查勾股定理与图形的面积． （1）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （2）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （3）与的交点记为点，由勾股定理，结合正方形的面积，可得，，，，即可得、、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：， 证明：设，，， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 证明：设，，，则 ，，， ，，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， （3）解：与的交点记为点， ， ， ， ， ∴，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $