第二十章 勾股定理重难点检测卷（压轴卷）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第二十章 勾股定理重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：勾股定理全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（25-26八年级上·江苏南京·周测）若三角形的三边长为、、（为正整数），则该三角形的形状（   ） A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．根据的值决定 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．通过比较最大边的平方与其他两边的平方和，判断三角形的形状． 【详解】解：， 以、、为三边构成的三角形是钝角三角形， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出的长．先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题， 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ，A为， ， 点表示点数为． 故选：． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，坐标系中有两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，根据两点的坐标得出，，再根据勾股定理即可求出． 【详解】解：∵点 ∴，， ∴， 故选：B 4．（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 5．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）为了体验人工智能生活，小善想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：、、、、，则其中有（    ）款扫地机可以购买． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题． 【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则，， 在中，，即， ∴， ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于长， ∴小善可以购买扫地机的尺寸直径可以为、、、，共4款， 故选：D． 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题属于四边形的综合题，考查了邻等四边形定义，勾股定理等知识，根据邻等四边形定义利用网格即可画图． 【详解】解：如下3个图，点即为所求；   ， 四边形为邻等四边形，   ， 四边形为邻等四边形，   ， 四边形为邻等四边形， 故选：B 7．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（    ） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 【答案】B 【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，围成的三角形是直角三角形，再根据三角形的面积，分别计算出几个较大的正方形纸片围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题． 【详解】解：∵五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5， ∴五种正方形纸片的边长分别是1，，，，， 由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积， 当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，1＋4＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是， 当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，2＋3＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形； 当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，2＋2＝4，围成的三角形是直角三角形，面积是， ∵＞1， ∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答． 8．（2025·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可． 【详解】解：连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 9．（24-25八年级上·山东青岛·期末）世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设湖水的深度尺，根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可，运用勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：设湖水的深度尺，则荷花的长为尺， 在直角三角形中，根据勾股定理得，， 解得， 故选：． 10．（24-25八年级下·山西太原·月考）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，长方形面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出长方形的长和宽，进行计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， 设， 解得， 长方形的面积为． 故选C． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，若直角三角形的两条直角边长分别为6，8，则图中阴影部分（正方形）的面积为_________． 【答案】100 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据勾股定理及正方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由图可知：阴影部分的面积为； 故答案为100． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）如图，分别以的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积的关系为，则是______三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据圆的面积公式，结合题意求出是解题关键．分别求出，再结合，即可得出，说明是直角三角形． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 13．（24-25八年级上·宁夏银川·月考）如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，此时绳子末端距离地面，则绳子的总长度为______． 【答案】10 【分析】根据题意画出示意图，设绳子的长度为，可得，，，在中利用勾股定理可求出． 【详解】解：过作于， 设绳子的长度为，则，，， 在中，，即， 解得：， 即绳子的长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线． 14．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，，点为的中点，点在平面内运动，满足，连接，则的面积的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积计算； 先利用勾股定理求出，进而可得及点B到的距离，然后求出面积最小时，点E到的距离，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点B到的距离为， ∵点为的中点， ∴， ∵点在平面内运动，满足， ∴当面积最小时，点E到的距离为， ∴的面积的最小值为， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段的两个端点均在格点（正方形的顶点）上．    （1）线段的长为___________； （2）若是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有___________个． 【答案】 6/六 【分析】（1）构造直角三角形，利用勾股定理求解即可； （2）根据直角三角形的概念，画出图形即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，     由勾股定理得， 故答案为：； （2）解：如图所示，共有6个，      故答案为：6． 【点睛】此题考查了作图-应用与设计，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 16．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了以赵爽弦图为背景的勾股定理的证明，理解正方形的面积，全等三角形面积相等是解题的关键． 根据题意，是4个全等的三角形，设每个的面积为，由此可得，根据，即可求解． 【详解】解：正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，是4个全等的三角形，设每个的面积为， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 17．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线______千米． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答． 【详解】解： ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形且； 设千米，则千米， 在中，由已知得， 由勾股定理得：， ∴，解得x=． 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键． 18．（24-25八年级下·广西南宁·月考）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”小明同学根据原文题意，画出示意图如图所示．已知：秋千静止时，踏板离地1尺，将它推送2步（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的曾记一样高，秋千的绳索始终拉得很直．若小明同学根据题意计算出秋千的绳索长为14.5尺，则文中“两步”是____________尺．      【答案】10 【分析】由题意可知，，，从而可求出，进而可求出．再根据勾股定理求出，即得出． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴． 在中，， ∴，即文中“两步”是10尺． 故答案为：10． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是理解题意，构造直角三角形，利用勾股定理求解． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，点O为数轴上的原点，的两条直角边长分别为，，且点A在数轴上，请你在数轴的负半轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法）    【答案】见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先根据勾股定理求出，再以原点为圆心，长为半径画弧，进而确定点C所表示的数即可． 【详解】解：的两条直角边长分别为，， 则， 如图，点即为所求作．    20．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末） 如图， 在中， 于点， ，，， (1)求； (2)求的度数． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，掌握勾股定理及逆定理的应用是解题的关键． （）由，则，然后通过勾股定理即可求解； （）由（）得，，，由勾股定理逆定理得，从而求出度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离（单位：mm） 【答案】130mm 【分析】首先根据题意算出和的长，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：如图所示： 由题意得：（mm），（mm）， 在中：（mm）， 答：两孔中心A、B之间的距离为130mm． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 22．（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得到结论； （2）过点作交的延长线于点，延长交于点，求出，．即可得答案． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ． ∴为直角三角形， ， ； （2）解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图， ， ∴． 又， ∴， ． ， ， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得，， ∴ 解得：． ． 购物车把手点到的距离为． 23．（24-25八年级下·福建福州·期末）【发现问题】   小明在课外书上遇到了下面这道题：已知，，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设，，要求线段的长度可以用如下的方法，如图，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，延长交于点，则线段的长度可以表示为，且，在Rt△中，，根据勾股定理可得： 【解决问题】 （1）①则线段长度是 ； ②如果点，点，则线段长度是        【知识迁移】 （2）①点，，请在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是 ． ②点，，请在轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是 ． 【拓展延伸】 （3）①代数式的最小值是 ． ②代数式的最大值是 ． 【答案】（1）①，②；（2）①，②；（3）①，② 【分析】本题考查了三角形的综合运算，新定义，解决最值问题，数形结合是解答关键． （1）①由线段长度的定义求解；②根据线段的长度的定义求解； （2）连接延长交轴于点，则此时的值最大，根据线段的长度的定义求解；②如图2，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则此时最小，根据线段的长度的定义求解； （3）①求代数式的最小值，相当于图2，点，点，点，则点，即可求解；②求代数式的最大值， 相当于图1，点，点，则点，即可求解． 【详解】解：（1）①线段； ②由题意得，线段． 故答案为：①，②； （2）①如图1，连接 延长交轴于点，则此时的值最大， 故的值最大； ②如图2，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则此时最小， ． 故答案为：①，②； （3）①求代数式的最小值， 相当于图2，点，点，点，则点， 参照图2可知的最小值， 则的最小值为； ②求代数式的最大值， 相当于图1，点，点，则点， 则代数式的最大值为：． 故答案为：①，②． 24．（25-26八年级上·广东河源·月考）勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）通由勾股定理得，，得到，结合得到，最后根据阴影部分的面积求解即可； （2）由题意得，，，得到，再代入计算即可； （3）由勾股定理得到，即，再代入求值即可． 【详解】解：（1）由勾股定理得，， 即， 因为， 所以， 由图形可知，阴影部分的面积， 所以阴影部分的面积； （2）由题意得，， 所以， 因为正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24， 所以， 所以， （3）由题意可知：，，，， 如解图，连接， 在和中，， 即， 所以． 25．（24-25八年级下·河南郑州·期末）综合与实践：数学课上，同学们以“等边三角形折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断，操作一：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，使点B和点C重合，得到折痕，把纸片展开，如图（2）；操作二：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，分别使点B和点C重合，点A和点C重合，点A和点B重合，折叠三次，得到三条折痕，，，三条折痕的相交于点O，把纸片展开，如图（3）；若等边三角形的边长为4，根据以上操作，①；②；③，这三种线段和中，线段和最小的是（填序号）________，最小值是 ． (2)迁移研究：小帅同学将等边三角形纸片换成等腰三角形纸片，继续研究，过程如下：将等腰三角形纸片按照（1）中的操作二进行折叠，折痕交点为点O，把纸片展开，如图（4），若，，求点O到点A的距离． (3)拓展应用：在等腰△ABC中，已知，的面积为10，点O到三个顶点的距离相等，请直接写出点O到点A的距离． 【答案】(1)③， (2) (3)或 【分析】（1）分别计算出、和的长，从而得出结果； （2）连接，可得出，，，设，则，在中，由勾股定理得，求得x的值，从而得出结果； （3）分为两种情形：当时，作于点E，由得，进而得出，，在中求得，进而得出，设则由列出，求得r的值，进而求得结果；当时，作，交的延长线于D，同样的方法得出结果． 【详解】（1）解：∵是等边三角形, ∴， ∴，， ∴， ∵O是的重心 ∴， 故答案为：③，； （2）如图1，    连接， 由题意得：是等腰三角形的底的垂直平分线，是得垂直平分线， ∴，， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴点O到A的距离是； （3）如图，过点A作，过点B作， 由于点O到等腰三个顶点的距离相等， 是垂直平分线的交点，即点O在上， 当时， 等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即：点O到A的距离为：， 如图3，      当时，作，交的延长线于D， 由上知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 此时点O到点A的距离为：， 综上所述：点O到点A的距离为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，折叠与勾股定理等知识，解决问题的关键是正确分类，充分利用勾股定理． 26．（24-25八年级上·广东佛山·期末）初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略． 问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？ (1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来； (2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程． 【答案】(1)3条，图形见解析 (2)①；②；③ 【分析】（1）共有3条路径，第一条先沿圆柱体的高爬行，再从上底面边缘爬行；第二条先沿圆柱体的高爬行，再从上底面直径爬行；第三条沿圆柱体侧面爬行，即可； （2）①连接，利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解；②利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解；③利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：共有3条路径，如下图： （2）解：①如图，连接， 根据题意得：，， ∴， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为； ②i)如图，连接， 根据题意得：，， ∴， ii)此时考虑从A-B-C线路这一情况， 所以这一线路的路程为， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为； ③如图，连接， 根据题意得：，， ∴， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：勾股定理全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（25-26八年级上·江苏南京·周测）若三角形的三边长为、、（为正整数），则该三角形的形状（   ） A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．根据的值决定 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，坐标系中有两点，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）为了体验人工智能生活，小善想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：、、、、，则其中有（    ）款扫地机可以购买． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 7．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（    ） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 8．（2025·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 9．（24-25八年级上·山东青岛·期末）世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 10．（24-25八年级下·山西太原·月考）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，若直角三角形的两条直角边长分别为6，8，则图中阴影部分（正方形）的面积为_________． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）如图，分别以的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积的关系为，则是______三角形． 13．（24-25八年级上·宁夏银川·月考）如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，此时绳子末端距离地面，则绳子的总长度为______． 14．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，，点为的中点，点在平面内运动，满足，连接，则的面积的最小值为___________． 15．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段的两个端点均在格点（正方形的顶点）上．    （1）线段的长为___________； （2）若是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有___________个． 16．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，若，则的值为_____． 17．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线______千米． 18．（24-25八年级下·广西南宁·月考）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”小明同学根据原文题意，画出示意图如图所示．已知：秋千静止时，踏板离地1尺，将它推送2步（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的曾记一样高，秋千的绳索始终拉得很直．若小明同学根据题意计算出秋千的绳索长为14.5尺，则文中“两步”是____________尺．      三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，点O为数轴上的原点，的两条直角边长分别为，，且点A在数轴上，请你在数轴的负半轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法）    20．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末） 如图， 在中， 于点， ，，， (1)求； (2)求的度数． 21．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离（单位：mm） 22．（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离． 23．（24-25八年级下·福建福州·期末）【发现问题】   小明在课外书上遇到了下面这道题：已知，，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设，，要求线段的长度可以用如下的方法，如图，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，延长交于点，则线段的长度可以表示为，且，在Rt△中，，根据勾股定理可得： 【解决问题】 （1）①则线段长度是 ； ②如果点，点，则线段长度是        【知识迁移】 （2）①点，，请在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是 ． ②点，，请在轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是 ． 【拓展延伸】 （3）①代数式的最小值是 ． ②代数式的最大值是 ． 24．（25-26八年级上·广东河源·月考）勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 25．（24-25八年级下·河南郑州·期末）综合与实践：数学课上，同学们以“等边三角形折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断，操作一：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，使点B和点C重合，得到折痕，把纸片展开，如图（2）；操作二：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，分别使点B和点C重合，点A和点C重合，点A和点B重合，折叠三次，得到三条折痕，，，三条折痕的相交于点O，把纸片展开，如图（3）；若等边三角形的边长为4，根据以上操作，①；②；③，这三种线段和中，线段和最小的是（填序号）________，最小值是 ． (2)迁移研究：小帅同学将等边三角形纸片换成等腰三角形纸片，继续研究，过程如下：将等腰三角形纸片按照（1）中的操作二进行折叠，折痕交点为点O，把纸片展开，如图（4），若，，求点O到点A的距离． (3)拓展应用：在等腰△ABC中，已知，的面积为10，点O到三个顶点的距离相等，请直接写出点O到点A的距离． 26．（24-25八年级上·广东佛山·期末）初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略． 问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？ (1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来； (2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程． 学科网（北京）股份有限公司 $