第二十章 勾股定理重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（人教版2024）

第二十章 勾股定理重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：勾股定理全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．1，， B．，， C．1，2，3 D．3，4，7 2．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使为直角三角形，则点的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，点，都是数轴上的点，，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）一辆装满货物，高为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门，只有一个单向车道)，则卡车的宽度不得宽于（     ） A．2米 B．米 C．米 D．米 6．（24-25八年级上·陕西西安·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列四幅图中，不能验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·山西长治·期末）如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1．手指沿折线顺序解锁，则按此手势解锁一次手指滑过的路径长为（   ） A．5 B． C． D．6 8．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　） A．2，4，6 B．2，3，5 C．3，3，6 D．2，2，4 9．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（    ）    A． B． C． D． 10．（2025·山东济南·一模）如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（    ） A．海里 B．海里 C．40海里 D．海里 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·上海·期末）已知点，，，且，则__________． 12．（24-25八年级下·重庆大足·期末）在中，，，，当、、满足___________时，． 13．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则______． 14．（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为______．（结果用含的式子表示）    15．（24-25八年级上·福建三明·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为_____． 16．（24-25八年级上·山东青岛·月考）如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，（n为正整数），则点的坐标为__________．    17．（24-25八年级下·河北承德·月考）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为4 ，3 ，5 ． （1）一根长7 的木棒能否放入盒子里？__________（选填“能”或“不能”） （2）一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，蚂蚁爬行的最短行程为__________ ． 18．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地四边形，经测量，，，，，．小区美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地需花_________元． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级下·福建福州·开学考试）如图，O是数轴的原点，过点O作数轴的垂线，请用圆规和无刻度直尺在数轴上作出表示的点A（保留作图痕迹），写出作法，并说明理由．    20．（24-25八年级下·天津东丽·月考）如图，，，，，，求四边形的面积． 21．（24-25八年级下·西藏拉萨·期末）猜想直角三角形的三边关系： 图中每个小方格子都是边长为1的小正方形． (1) ， ， ． (2) ， ， ． (3)的关系是： ． 22．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读下列文字，然后回答问题． 已知在平面内有两点，它们之间的距离． (1)已知，，试求，两点间的距离． (2)已知各顶点的坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由． 23．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 24．（25-26八年级上·广东深圳·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 25．（24-25八年级下·江西赣州·月考）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． (3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（24-25八年级下·云南昆明·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．    (1)定理证明： 图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决： 如图2，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留π） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：勾股定理全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．1，， B．，， C．1，2，3 D．3，4，7 【答案】A 【分析】将各组数据中较小两边的平方和与最大边的平方比较，相等即可构成直角三角形． 【详解】解：A．，可得，能构成直角三角形； B．，，不能构成直角三角形； C．，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形； D．，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使为直角三角形，则点的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理与网格问题，根据网格的特点，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，共有6个格点使为直角三角形． 故选：B． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，点，都是数轴上的点，，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了与数轴，根据勾股定理列式求出的长，即为的长，再根据数轴上的点的表示即可解答，利用勾股定理求出的值为解题的关键． 【详解】由勾股定理得，， ∴，     ∵点表示的数是， ∴点表示的数是， 故选：． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可． 【详解】在中，，，， 以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）一辆装满货物，高为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门，只有一个单向车道)，则卡车的宽度不得宽于（     ） A．2米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了三线合一，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先求出米，再利用勾股定理求得即可． 【详解】解：∵长方形的长为米，宽为米，卡车高为米，米， ∴米，过点作垂线交半圆于点，在上截取米，符合卡车的高度， 过作交半圆于、两点，连接与， ∵， ∴为的中线， ∴，即为卡车的最大宽度， ∵是半圆的直径， ∴米， ∴米， ∴米， 即卡车的宽度不得宽于米， 故选：C． 6．（24-25八年级上·陕西西安·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列四幅图中，不能验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．根据等面积法证明即可． 【详解】解：A、这个图无法证明勾股定理，故本选项符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、， 整理得：， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：A． 7．（25-26八年级上·山西长治·期末）如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1．手指沿折线顺序解锁，则按此手势解锁一次手指滑过的路径长为（   ） A．5 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 连接，由题意可得：，由勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，如图， 由题意得，， ∴在中， ， ∴按此手势解锁一次手指滑过的路径长为 ， 故选C． 8．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　） A．2，4，6 B．2，3，5 C．3，3，6 D．2，2，4 【答案】C 【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题． 【详解】解：当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是2，4，6时，围成的直角三角形的面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是3，3，6时，围成的三角形面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是， ∵， 因为当选取2，3，4；2，3，6；3，4，5；4，5，6；四种情况时，都不能构成直角三角形， ∴要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是3，3，6． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答． 9．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积． 【详解】解：连接AC 在中，，，，， 在中，，， ∴ ∴是直角三角形，且． ∴ ∴这块菜地的面积是 故选：B    【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10．（2025·山东济南·一模）如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（    ） A．海里 B．海里 C．40海里 D．海里 【答案】D 【分析】过作于，解直角三角形求出和，即可解决问题． 【详解】解：过作于，如图所示： 在中，，海里， ∴（海里），（海里）， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∴海里， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形-方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·上海·期末）已知点，，，且，则__________． 【答案】7或 【分析】过点A分别作x轴、y轴的垂线段，结合勾股定理解题即可． 【详解】如图，过点A分别作x轴、y轴的垂线段， 根据题意得， ，且点B在y轴上， 在中， 即t=7； 在中， 即t=-1， 综上所述，t=7或， 故答案为：t=7或． 【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12．（24-25八年级下·重庆大足·期末）在中，，，，当、、满足___________时，． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握当两边平方和等于第三边的平方时第三边所对的角为直角是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理可得到满足的条件，可得到答案． 【详解】解：∵， ∴为斜边，和为直角边， 如图所示： ∵在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 ∴当a、b、c满足时，． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则______． 【答案】 【分析】利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，后直角三角形的面积公式计算即可，本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】∵，，， 且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为______．（结果用含的式子表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律． 根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到的值． 【详解】解：如图所示，为等腰直角三角形，    则． ， 即， 同理可得：， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·福建三明·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为_____． 【答案】58 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明，由题意得，，证明，再证明，得出，根据，，通过计算可得，． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， ，，， ， ，， ，     ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 16．（24-25八年级上·山东青岛·月考）如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，（n为正整数），则点的坐标为__________．    【答案】 【分析】先根据伸长的变化规律求出的长度，再根据每8次变化为一个循环组，求出点是第几组第几次的变化，然后确定出所在的位置即可解决问题． 【详解】解：解：由题意可得，，， ， ， ， … ， ∵每一次都旋转，， ∴每8次变化为一个循环组， ， ∴点是第253组的第7次变换对应的点，与点一样同在x轴正半轴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的坐标的规律探寻，读懂题意，需要从伸长的变化规律求出的长度，从旋转的变化规律求出点所在的象限两个方面考虑求解． 17．（24-25八年级下·河北承德·月考）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为4 ，3 ，5 ． （1）一根长7 的木棒能否放入盒子里？__________（选填“能”或“不能”） （2）一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，蚂蚁爬行的最短行程为__________ ． 【答案】 能 【分析】（1）利用勾股定理求出线段的长度与7比较大小即可； （2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】如图， 长方体盒子的长、宽、高分别为4 ，3 ，5 ∴ （1）在中， 在中， ∴一根长7的木棒能放入盒子里． 故答案为：能； （2）①如图1，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ③如图3，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：． ∴蚂蚁爬行的最短路程是. 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线． 18．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地四边形，经测量，，，，，．小区美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地需花_________元． 【答案】3600 【分析】连接AC，根据勾股定理的性质，计算得AC、；根据勾股定理的逆定理，推导得，计算得，从而得四边形面积；结合草坪每平方米100元，通过计算即可得到答案． 【详解】如图，连接AC ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴四边形面积为： ∵草坪每平方米100元 ∴铺满这块空地需花：元， 故答案为：3600． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理，从而完成求解． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级下·福建福州·开学考试）如图，O是数轴的原点，过点O作数轴的垂线，请用圆规和无刻度直尺在数轴上作出表示的点A（保留作图痕迹），写出作法，并说明理由．    【答案】作法和理由见解析 【分析】在数轴上取到1的长度为，以O为圆心，长为半径，画弧，交于点N，连接，以O为圆心，长为半径，画弧，交数轴正半轴于点A，则点A即为所求． 【详解】解：在数轴上取到1的长度为，以O为圆心，长为半径，画弧，交于点N，连接，以O为圆心，长为半径，画弧，交数轴正半轴于点A，则点A即为所求．    由作图可知：， ∴； ∴点即为所求． 【点睛】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴．熟练掌握利用勾股定理在数轴上构造无理数，是解题的关键． 20．（24-25八年级下·天津东丽·月考）如图，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，先根据勾股定理求出的长度， 再根据勾股定理的逆定理判断出的形状， 再利用三角形的面积公式求解即可 ． 【详解】解：：∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积的面积的面积． 21．（24-25八年级下·西藏拉萨·期末）猜想直角三角形的三边关系： 图中每个小方格子都是边长为1的小正方形． (1) ， ， ． (2) ， ， ． (3)的关系是： ． 【答案】(1)3，4，5 (2)9，16，25 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）观察图形即可得出答案； （2）观察图形即可得出答案； （3）观察三个数的数量关系即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得，， 故答案为：3，4，5； （2）解：由图可知， ，，， 故答案为：9，16，25； （3）解：∵， ∴的关系是， 故答案为：． 22．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读下列文字，然后回答问题． 已知在平面内有两点，它们之间的距离． (1)已知，，试求，两点间的距离． (2)已知各顶点的坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）根据两点的距离公式即可求解； （2）根据两点的距离公式求得，继而即可求解． 【详解】（1）解：根据两点的距离公式得，； （2）为等腰三角形． 理由：，，，，，， ， ， ， ， 为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理求两点距离，掌握勾股定理是解题的关键． 23．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1) (2)有危险，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据题意，，结合，代入计算即可． （2）根据，，得到，求得，根据勾股定理求出的长，比较后判断即可． 【详解】（1）根据题意，，， ∵， ∴， 解得， 故的长度为3米． （2）根据(1)得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 故有危险． 24．（25-26八年级上·广东深圳·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 【答案】(1) (2)着火点C不能被飞机扑灭，计算说明解解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，再利用等面积法求出的长即可得到答案； （2）在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出飞机灭火的时间即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：飞机距离着火点C的最短距离为； （2）解：如图，在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ，且， ∴着火点C不能被飞机扑灭， 答：着火点C不能被飞机扑灭． 25．（24-25八年级下·江西赣州·月考）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． (3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) (3)点P的坐标为或 【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论． （1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标； （2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）过点C作交于点E，交于点F，根据题意得到，然后分两种情况讨论：和，分别根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵将沿折叠，点C落在点处 ∴，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴点P的坐标为； （2）∵ ∴ ∵沿将折叠得， ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴的面积； （3）如图所示，过点C作交于点E，交于点F， ∵， ∴ ∴四边形是长方形 ∴ 当时， ∴， 由折叠得， ∴ ∴ ∴设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴点P的坐标为； 当时， ∴， 由折叠得， ∴ ∴ ∴设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 26．（24-25八年级下·云南昆明·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．    (1)定理证明： 图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决： 如图2，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2)从点A爬到点B的最短路程是厘米 【分析】（1）利用阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积额即可得答案； （2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积， ， ， ； （2）画出圆柱侧面展开图：   根据圆柱底面半径为，得出， 高为， ， 从点爬到点的最短路程是厘米． 【点睛】本题考查勾股定理证明，掌握面积法是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $