8.3　三角形的中位线 课件2025-2026学年苏科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦三角形中位线的定义、定理及应用，通过折叠三角形纸片成矩形信封的操作活动引导学生发现中点，自然引出中位线定义，再经剪拼探究定理，构建从具体操作到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以探究活动为载体，通过折叠、剪拼培养几何直观（数学眼光），定理证明与例题推理发展逻辑思维（数学思维），中点四边形模型构建提升应用意识（数学语言）。如例1证明中点四边形是平行四边形，例2探究特殊条件下的形状，助力学生系统掌握知识，教师可借分层练习提升教学效率。

三角形的中位线 第8章　四边形 8.3 1 探究与应用 活动1　领会三角形的中位线的定义 活动尝试 1.按图8-3-1的方式将一张三角形包装纸折叠成一个矩形信封. 图8-3-1 2 2.你能在图8-3-1(1)中找到哪些相等的线段? 图8-3-1 解:根据上面的折叠过程,可得DA=DA',DB=DA',所以DA=DB. 同理可得EA=EC,即D,E分别是AB,AC的中点. 3 三角形的中位线的定义:连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 如图8-3-2,在△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,DE,DF,EF都是△ABC的中位线. 概括新知 图8-3-2 4 活动2　探究三角形的中位线定理 尝试探究 如图8-3-3,完成下列操作,并回答问题: 1.剪一张三角形纸片ABC. 2.沿中位线 DE 将纸片剪成两部分,拼得的图形是平行四边形吗? 图8-3-3 5 如图8-3-4,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点.延长DE到点F,使EF=DE,连接CF. 由EA=EC,∠AED=　　　　,  DE=EF,可得△ADE≌　　　　. 于是AD=　　　　,∠ADE=　　　　.  所以BD∥CF,BD=AD=　　.所以四边形BCFD是　　 　　.  所以DE∥BC, DE=DF=BC. ∠CEF　 图8-3-4 △CFE　 CF ∠F　 CF 平行四边形 6 三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 符号语言:如图8-3-5,在△ABC中,如果D,E分别是边AB,AC的中点,那么DE∥　　　　,且DE=　　　　.  概括新知 BC 图8-3-5 　BC 7 (教材典例)如图8-3-6,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB, BC,CD,DA 的中点.连接 EF,FG,GH,HE.求证:四边形EFGH是平行四边形. 例 1 证明:如图,连接AC. ∵E,F分别是AB,BC的中点, ∴EF∥AC,EF=AC(三角形的中位线定理). 同理可得GH∥AC,GH=AC.∴EF∥GH,EF=GH. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 图8-3-6 8 由例1可知,首尾顺次连接四边形ABCD的各边中点,可以得到一个平行四边形.那么,当四边形ABCD 满足什么条件时,所得的平行四边形是矩形、菱形或正方形呢? 讨论探究 解:当四边形ABCD的对角线互相垂直时,所得平行四边形是矩形; 当四边形ABCD的对角线相等时,所得平行四边形是菱形; 当四边形ABCD的对角线互相垂直且相等时,所得平行四边形是正方形. 9 (教材补充例题)如图8-3-7,在四边形ABCD中,AB与CD不平行,E,F,G,H分别是AD,BC,BD,AC的中点. (1)求证:四边形EGFH是平行四边形. 例 2 解:(1)证明:∵E,G分别是AD,BD的中点, ∴EG是△DAB的中位线,∴EG=AB,EG∥AB. 同理FH=AB,FH∥AB.∴EG=FH,EG∥FH, ∴四边形EGFH是平行四边形. 图8-3-7 10 (2)①当AB与CD满足条件　　　　时,四边形EGFH是菱形;  ②当AB与CD满足条件　　　　时,四边形EGFH是矩形.  AB=CD 图8-3-7 AB⊥CD 11 | 总结 | 课堂总结与反思 12 | 反思 | 不管原四边形的形状怎样改变,中点四边形的形状始终是什么图形?中点四边形的面积是原四边形面积的多少? 解:始终是平行四边形.中点四边形的面积是原四边形面积的一半. 相关解析 【探究与应用】 例2　[解析] (2)①AB=CD.理由: ∵F,G分别是BC,BD的中点,∴FG是△DCB的中位线,∴FG=CD,FG∥CD. 当AB=CD时,EG=FG,∴平行四边形EGFH是菱形. ②AB⊥CD.理由:∵HF∥AB,∴∠HFC=∠ABC. ∵FG∥CD,∴∠GFB=∠DCB.∵AB⊥CD,∴∠ABC+∠DCB=90°, ∴∠HFC+∠GFB=90°,则∠GFH=90°, ∴平行四边形EGFH是矩形. 14 知识技能巩固练 1.如图8-3-1,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,则下列说法正确的是 (　　) A.CE=BC B.DE=AB C.∠AED=∠C D.∠A=∠C C 图8-3-1 15 2.如图8-3-2,在△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,已知∠ADE=65°,则∠EFC的度数为 (　　) A.60° B.65° C.70° D.75° B 图8-3-2 16 3.(2025南通通州区模拟)如图8-3-3,在△ABC中,AD是△ABC的中线, E,F分别是AC,AD的中点,连接EF,已知BC=12,则EF的长为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 A 图8-3-3 17 4.(2025扬州江都区期末)如图8-3-4,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,F为BC延长线上的一点,若∠A=60°,∠ADE=79°,则 ∠ACF=　　　　°.  139 图8-3-4 18 5.(2024长沙期中)如图8-3-5,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是边AD的中点,F是AO的中点,连接EF.若AC=12,则EF= 　　　　.  3 图8-3-5 19 6.(教材习题T4变式)(2025泰州海陵区期末)如图8-3-6,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,E和F分别是AB与CD的中点.若∠PEF=20°,求∠PFE的度数. 解:∵P是对角线BD的中点,E和F分别是AB与CD的中点, ∴FP,PE分别是△CDB与△DAB的中位线, ∴PF=BC,PE=AD. ∵AD=BC,∴PF=PE, ∴∠PFE=∠PEF=20°. 图8-3-6 20 7.(2025镇江润州区期末)如图8-3-7,在△ABC中,中线BE,CD交于点O,F,G分别是OB,OC的中点,连接DF,FG,EG,DE.求证:DF=EG. 证明:∵BE,CD都是△ABC的中线, ∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=BC. ∵F,G分别是OB,OC的中点, ∴FG∥BC,FG=BC,∴DE∥FG且DE=FG, ∴四边形DEGF是平行四边形,∴DF=EG. 图8-3-7 21 能力提升综合练 8.(2024南通期中)如图8-3-8,四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AD, BC,BD,AC的中点.若四边形EGFH是菱形,则四边形ABCD需满足的条件是 (　　) A.AB=DC B.AB⊥DC C.AC=BD D.AC⊥BD A 图8-3-8 22 9.如图8-3-9,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD=∠ABC= 90°, E,F分别为AC,CD的中点,∠D=α,则∠BEF的度数为_________ (用含α的式子表示).  270°-3α 图8-3-9 23 10.如图8-3-10,在△ABC中,D是BC的中点,AE平分∠BAC,AE⊥BE, AB=3,AC=5,则DE=　　　　.  1 图8-3-10 24 11.(2025徐州云龙区期末)如图8-3-11,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=BD,M,P,N分别是边AB,BC,CD的中点,Q是MN的中点. (1)求证:PQ⊥MN; 解:(1)证明:如图,连接MP,PN. ∵M,P分别是边AB,BC的中点, ∴PM∥AC,PM=AC. 图8-3-11 25 ∵P,N分别是边BC,CD的中点, ∴PN∥BD,PN=BD. 又∵AC=BD, ∴PM=PN. ∵Q是MN的中点, ∴PQ⊥MN. 26 (2)判断△OEF的形状,并说明理由. (2)△OEF是等腰三角形.理由如下: ∵PM∥AC,∴∠PMN=∠EFO. ∵PN∥BD,∴∠OEF=∠FNP. 易知∠PMN=∠PNM, ∴∠EFO=∠OEF, ∴△OEF是等腰三角形. 图8-3-11 27 12.(2024镇江期中)如图8-3-12①②,在△ABC中, AE平分∠BAC, BE⊥ AE于点E,F是BC的中点. 【探究】 (1)如图①,BE的延长线与边AC相交于点D,求证:EF=(AC-AB); 素养发展创新练 解:(1)证明:∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠DAE. ∵BE⊥AE,∴∠AEB=∠AED=90°. 又AE=AE,∴△ABE≌△ADE(ASA),∴BE=DE,AB=AD. ∵F是BC的中点,∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB). 图8-3-12 28 (2)如图②,线段AB,AC,EF之间满足的数量关系为　　　　　　　;  EF=(AB-AC) 图8-3-12 29 【初步运用】 (3)如图③,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D,过点D作DE∥AB交AC于点E,BD=3,AD=4,则DE=　　　　;  2.5 图8-3-12 【灵活运用】 (4)如图④,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,点D在AC上,∠EDC= ∠BAC,DE⊥CE,垂足为E,DE与BC交于点F,线段DF,CE之间满足的数量关系为　　　　.  DF=2CE 图8-3-12 $